资源简介

2022-2023学年湘教版八年级下册数学《第1章 直角三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＝AC B．BD＝CD C．BD＝AD D．AC＝AD
2．如图所示，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB⊥BD于点B，点E是BD的中点，连接AE，CE，则AE与CE的大小关系是（　　）
A．AE＜CE B．AE＝CE C．AE＞CE D．AE＝2CE
3．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，D是BC的中点，连接AD，DE⊥AB，垂足为E，则AE的长为（　　）
A．4 B．6 C．2 D．1
4．由以下线段组成的三角形不是直角三角形的是（　　）
A．，1， B．，， C．6，8，10 D．13，14，15
5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠EDA等于（　　）
A．46° B．56° C．36° D．77°
6．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．64
7．为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（　　）
A．1.0米 B．1.2米 C．1.25米 D．1.5米
8．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（　　）
A．∠A＝∠D B．∠B＝∠C C．AE＝BF D．AB＝DC
9．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°，若OA平分∠BOC，则∠AOC的度数为（　　）
A．40° B．55° C．60° D．70°
10．如图，在Rt△BCA中，∠BAC＝90°，∠C＝30°．AD⊥BC垂足为D，BE是△ABC的角平分线，分别交AD，AC于点P，E．其中正确的结论的个数为（　　）
①BE＝CE；
②△APE是等边三角形；
③S△ABE＝；
④AP＝2PD．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，EF∥BC、若∠1＝50°，则∠C的度数为 　 　．
12．若6，a，8是一组勾股数，则a的值为 　 　．
13．如图，将两把同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一把三角尺的锐角顶点与另一把三角尺的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点D，B，C在同一条直线上．若AC＝，则BD＝　 　．
14．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为16cm，AB比AC长3cm，则△ACD的周长为 　 　．
15．如图，∠ABP＝∠CBP＝15°，PE∥BG，PD⊥BC，若PE＝8，则PD等于 　 　．
16．如图，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E，若AC＝6，则DE长为 　 　．
17．在直角三角形中，两直角边长分别为2和，则斜边长为 　 　．
18．直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，把四个相同的直角三角形拼成如图所示的正方形，则阴影部分的面积为 　 　．
19．如图，Rt△ABC和Rt△ECD中，AB＝EC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 　 　，使得Rt△ABC和Rt△ECD全等．（写出一个即可）
20．如图，∠AOB是直角，∠AOC＝40°，OD平分∠BOC，则∠AOD等于 　 　．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD＝OE，AO的延长线交BC于点M，请你从图中找出几对全等的直角三角形，并说明理由．
22．如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝70°，OM平分∠AOC．
（1）图中共有几个小于直角的角？将它们分别表示出来；
（2）计算∠AOM和∠COB的度数．
23．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，DE是AB的垂直平分线，DE分别交AC，AB于点E，D．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）求AE的长．
24．在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD是△ABC的中线，BD＝4cm，求△BCD的面积．
25．我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：
（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请你用它验证勾股定理；
（2）如图2，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，CD是AB边上高，AC＝12，BC＝5，求CD的长度．
26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，且DE∥AB，∠1＝30°，求∠B的度数．
27．如图，已知△ABC中，∠C＝2∠B，AH⊥BC于点H，D是AC中点，DE∥AB，求证：EH＝AC．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
故选：B．
2．解：∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点，
∴CE＝BE＝DE，
∵AB⊥BD，
∴∠ABE＝90°，
∴AE＞BE，
∴AE＞CE．
故选：C．
3．解：∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，D是BC的中点，
∴∠B＝∠C＝30°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝60°，
∴AD＝AB＝4，
∵DE⊥AB，∠BAD＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝2．
故选：C．
4．解：A．∵，∴组成的三角形是直角三角形，故不符合题意；
B．∵，∴组成的三角形是直角三角形，故不符合题意；
C．∵62+82＝102，∴组成的三角形是直角三角形，故不符合题意；
D．∵132+142≠152，∴组成的三角形不是直角三角形，故符合题意．
故选：D．
5．解：△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝68°，
由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，
∴∠EDA＝∠CED﹣∠A＝46°，
故选：A．
6．解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2＝225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2＝289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2＝PQ2+QR2，
∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，
则正方形QMNR的面积为64．
故选：D．
7．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.4米，BE＝CD＝1.8米，ED＝BC＝0.8米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.4﹣1.8＝0.6（米），
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：
AD＝＝＝1.0（米），
故选：A．
8．解：条件是AB＝CD，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
故选：D．
9．解：∵OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°，
∴∠AOB＝15°+40°＝55°．
∵OA平分∠BOC，
∴∠AOC＝∠AOB＝55°．
故选：B．
10．解：∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠C＝60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
∴∠C＝∠CBE，
∴BE＝CE，故①正确；
∴∠AEP＝∠C+∠CBE＝30°+30°＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝60°＝∠AEP，
∴AP＝PE，
∴△APE是等边三角形，故②正确；
∵∠BAC＝90°，∠ABE＝30°，
∴AE＝BE，
∴AE＝CE，
∵S△ABE＝AE AB，S△BEC＝，
∴S△ABE＝S△BEC，故③错误；
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
即∠ABE＝∠BAD，
∴AP＝BP，
∵∠ADB＝90°，∠CBE＝30°，
∴BP＝2PD，
∴AP＝2PD，故④正确；
即正确的个数是3，
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：∵EF∥BC，∠1＝50°，
∴∠B＝∠1＝50°，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠C＝90°﹣50°＝40°，
故答案为：40°．
12．解：当a最大时，，
当8最大时，，不是正整数，
所以a的值为10．
故答案为：10．
13．解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，
∴BC＝AC＝2，BF＝CF＝AF＝AC＝1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD＝BC＝2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝，
∴BD＝DF+BF＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵△ABD的周长为16cm，
∴AB+AD+BD＝16cm，
∴AB+AD+DC＝16cm，
∵AB比AC长3cm，
∴AB＝AC+3cm，
∴AC+3cm+AD+DC＝16cm，
∴AC+AD+DC＝13cm，
∴△ACD的周长＝AC+AD+DC＝13cm，
故答案为：13cm．
15．解：过点P作PM⊥AB于M，
∵PE∥BC，
∴∠AEP＝∠ABD＝∠ABP+∠PBD＝15°+15°＝30°，
∴PM＝PE＝4．
∵PD＝PM，
∴PD＝4．
故答案为：4．
16．解：∵∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6，
∴BC＝2AC＝12，
∵DE∥AC，
∴∠ACD＝∠EDC，∠BDE＝∠A＝90°，
∴BE＝2DE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴∠EDC＝∠DCE，
∴ED＝DC，
∴BE＝2EC，
∵BE+EC＝12，
∴3EC＝12，
∴EC＝4，
∴DE＝EC＝4，
故答案为：4．
17．解：∵两直角边长分别为2和，
∴斜边长为．
故答案为：．
18．解：在Rt△AEF中，AE＝＝＝5，
∴S△AEF＝AE AF＝×5×12＝30，
∴阴影部分的面积＝4×30＝120．
故答案是：120．
19．解：在Rt△ABC和Rt△ECD中，AB＝EC，∠ACB＝∠EDC＝90°．
若添加BC＝CD或AC＝ED时，由“HL”证得Rt△ABC≌Rt△ECD；
若添加∠A＝∠E，由“AAS”证得△ABC≌△ECD；
若添加∠B＝∠ECD，由“AAS”证得△ABC≌△ECD；
故答案可以为：BC＝CD（答案不唯一）．
20．解：∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣40°＝50°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠BOC＝25°．
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝90°﹣25°＝65°．
故答案为：65°．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．解：△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COM≌△BOM，△ACM≌△ABM，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD．理由如下：
在△ADO与△AEO中，∠ADO＝∠AEO＝90°，
，
∴△ADO≌△AEO（HL），
∴∠DAO＝∠EAO，AD＝AE．
在△DOC与△EOB中，
，
∴△DOC≌△EOB（ASA），
∴DC＝EB，OC＝OB，
∴DC+AD＝EB+AE，即AC＝AB，
∵∠DAO＝∠EAO，
∴AM⊥BC，CM＝BM．
在△COM与△BOM中，∠OMC＝∠OMB＝90°，
，
∴△COM≌△BOM（HL）．
在△ACM与△ABM中，∠AMC＝∠AMB＝90°，
，
∴△ACM≌△ABM（HL）．
在△ADB与△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS）．
在△BCE与△CBD中，∠BEC＝∠CDB＝90°，
，
∴△BCE≌△CBD（HL）．
22．解（1）图中共有3个小于直角的角，它们分别是∠AOM，∠AOC，∠MOC；
（2）∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM＝∠AOC＝×70°＝35°，
∵∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°．
23．（1）证明：∵△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，
又∵42+32＝52，
即AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）证明：连接BE．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝EB，
设AE＝x，则EC＝4﹣x．
∴x2+32＝（4﹣x）2．
解之得x＝，即AE的长是．
24．解：∵CD是△ABC的中线，BD＝4cm，
∴AD＝BD＝4cm，AB＝2BD＝8cm，
∵AB＝AC，
∴AC＝8cm，
则△BCD的面积为，
答：△BCD的面积为16cm2．
25．解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为：（b﹣a）2，
∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2
即c2＝a2+b2．
（2）在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴由勾股定理，得：AB＝＝＝13，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝AC BC＝AB CD，
∴CD＝＝．
26．解：∵∠ADE＝30°，AB∥DE，
∴∠A＝∠ADE＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°．
27．证明：连接DH，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠DEC，
∵∠C＝2∠B，
∴∠C＝2∠DEC，
∵AH⊥BC于点H，D是AC中点，
∴HD＝AC＝CD，
∴∠C＝∠DHC，
∴∠DHC＝2∠DEC，
∵∠DHC＝∠DEC+∠HDE，
∴∠DEC＝∠HDE，
∴DH＝EH，
∴EH＝AC．

展开更多......

收起↑