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第八章 立体几何
8.1　基本立体图形
授课人：
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8.1　基本立体图形
8.1.1　棱柱、棱锥、棱台的结构特征
在平面几何中，我们认识了三角形，正方形，矩形，菱形，梯形，圆，扇形等平面图形.但我们知道在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分.如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.那么对空间中各种各样的几何体，我们如何认识它们的结构特征？对空间中不同形状、大小的几何体我们如何理解它们的联系和区别？
【情境导入】
【课前预习】
阅读课本97-100页，思考并完成以下问题1、什么是空间几何体？什么是多面体与旋转体？2、多面体包含哪些图形？这些图形是怎样定义的？又有什么结构特点？
1.概念：如果只考虑物体的 和 ，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的 叫做空间几何体.
空间图形
形状
大小
知识点1：空间几何体概念
【自主探究】
类别 定义 图示
多面体 由若干个 围成的几何体
旋转体 由一个 绕它所在平面内的一条 旋转所形成的封闭几何体，其中定直线叫做旋转体的轴
知识点2：空间几何体的分类
平面多边形
定直线
平面图形
多面体 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱柱 有两个面互相 ，其余各面都是____ ，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 如图可记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相 的面. 侧面： . 侧棱：相邻侧面的 . 顶点：侧面与底面的 . 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、……
平行
公共顶点
平行
四边
形
平行
其余各面
公共边
知识点3：棱柱、棱锥、棱台的结构特征
【自主探究】
直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱
【合作探究】
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱
答案
棱锥 有一个面是__ ，其余各面都是有一个公共顶点的__ ，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 如图可记作，棱锥S－ABCD 底面(底)：___ 面. 侧面：有公共顶点的各个___ . 侧棱：相邻侧面的 . 顶点：各侧面的 . 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、……
角形
公共顶点
多
边形
三
多
边形
三
角形面
公共边
知识点3：棱柱、棱锥、棱台的结构特征
【自主探究】
【合作探究】
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥
答案
棱台 用一个____ __________ 的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台. 如图可记作：棱台ABCD－A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的_____. 下底面：原棱锥的_____. 侧面：其余各面. 侧棱：相邻侧面的公共边. 顶点：侧面与上(下) 底面的公共顶点. 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
于棱锥底面
底面
平行
截面
知识点3：棱柱、棱锥、棱台的结构特征
【自主探究】
【例1】下列关于棱柱的说法：
(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；
(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分 可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．
【合作探究】
【探究一】 棱柱的结构特征
(3)(4)
[解析]　(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱．所以说法正确的序号是(3)(4)．
反思感悟
棱柱的结构特征：
1有两个面互相平行且全等；
2其余各面是平行四边形；
3相邻侧面的公共边都互相平行.
求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，
再看是否满足其他特征
【跟踪训练1】如图，已知长方体ABCD A1B1C1D，
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，请说明理由．
(2)截面BCFE上方的部分是棱柱，且是三棱柱BEB1 CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方的部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1 DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．
解：(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为以长方体相对的两个面作为底面，则底面都是四边形，其余各面都是矩形，矩形当然是平行四边形，并且几何体的四条侧棱互相平行．
【合作探究】
. .
【例2】(1)下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②棱锥的侧面只能是三角形；③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．
(2)如图，在三棱台A′B′C′ ABC中，截去三棱锥A′ ABC，则剩余部分是(　　)
A．三棱锥 　B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台
①②③
B
【合作探究】
【探究二】 棱锥、棱台的结构特征
【解】(1)①正确，棱台的侧面都是梯形．②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．④错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．(2)由题图知，在三棱台A′B′C′ ABC中，截去三棱锥A′ ABC，剩下的部分如图所示，故剩余部分是四棱锥A′ BB′C′C.
归纳总结：判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
反思感悟
【跟踪训练2】（1）下列特征不是棱台必须具有的是(　　) A．两底面平行 B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后相交于一点
【答案】C解析：用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台，A，B，D正确，选C.
【合作探究】
【探究二】 棱锥、棱台的结构特征
【例3】画出如图所示的几何体的表面展开图.
解　表面展开图如图所示：
【合作探究】
【探究三】 空间几何体的表面展开图
【跟踪训练3】如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
解：如图：
所以(1)为五棱柱；(2)为五棱锥；(3)为三棱台.
【例4】如图所示，在侧棱长为2 的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面AEF分别交VB，VC于点E，F，求截面△AEF周长的最小值.
解　将三棱锥V－ABC沿侧棱VA剪开，将其侧面展开图平铺在一个平面上，如图所示，则△AEF的周长＝AE＋EF＋FA1.因为AE＋EF＋FA1≥AA1，
所以线段AA1(即A，E，F，A1四点共线时)的长即为所求△AEF周长的最小值.作VD⊥AA1，垂足为点D.
由VA＝VA1，知D为AA1的中点.由已知∠AVB＝∠BVC
＝∠CVA1＝40°，得∠AVD＝60°.
即AA1＝2AD＝6.所以截面△AEF周长的最小值是6.
【拓展延伸】
【探究四】 截面周长最小问题
解题技巧（多面体展开图的解题策略）
(1)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．
(2)求几何体表面上两点间的距离的方法：求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体沿某条棱剪开，使两点展在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题.
反思感悟
【跟踪训练4】长方体ABCD－A1B1C1D1中， AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线．
【拓展延伸】
【探究四】 截面周长最小问题
解析答案
1.下列命题中，真命题是(　　)
A.顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥
B.底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
C.顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心的三棱锥是正三棱锥
D.底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥
【随堂训练】
D
解析　对于选项A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心，该三角形不一定为正三角形，故该命题是假命题；
对于选项B，如图所示，△ABC为正三角形，若PA＝PB
＝AB＝BC＝AC≠PC，△PAB，△PBC，△PAC都是等
腰三角形，但它不是正三棱锥，故该命题是假命题；
对于选项C，顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故该命题是假命题；
对于选项D，顶点在底面上的正投影是底面三角形的外心，又因为底面三角形为正三角形，所以外心即为中心，故该命题是真命题.
答案　D
解析答案
2.下列三个命题：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是菱形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
其中，正确的有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
A
解析　①中的平面不一定平行于底面，故①错；
②中侧面是菱形，所以侧棱互相平行，延长后无交点，故②错；
③用反例验证(如图)，故③错.
1
2
3
4
5
解析答案
1
2
3
4
5
3.下列几何体中，________是棱柱，____是棱锥，____是棱台(仅填相应序号).
解析　结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.
①③④
⑥
⑤
【随堂训练】
1
2
3
4
5
解析答案
4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是　　　　.
解析　由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱.
四棱柱
【随堂训练】
【课堂小结】
1．空间几何体的定义
2．空间几何体的分类
(1)多面体
(2)旋转体
3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征
4.棱柱、棱锥、棱台的关系
在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).
【课堂小结】
【作业布置】
【作业】
横格本：教科书P101,T1、T2、T3.
必刷题：P55
感谢聆听

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