人教B版(2019)选择性必修第二册《3.1.3 组合与组合数》同步练习(含答案)

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人教B版(2019)选择性必修第二册《3.1.3 组合与组合数》同步练习(含答案)

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人教B版(2019)选择性必修第二册《3.1.3 组合与组合数》同步练习
一 、单选题(本大题共8小题,共40分)
1.(5分)我们把有相同数字相邻的数叫“兄弟数”,现从由一个、一个、两个、两个这六个数字组成的所有不同的六位数中随机抽取一个,则抽到“兄弟数”的概率为
A. B. C. D.
2.(5分)为做好社区新冠疫情防控工作,需将五名志愿者分配到三个社区去开展工作,每名志愿者只分配到一个社区,每个社区至少分配一名志愿者,志愿者甲和乙必须去同一个社区,则不同的分配方法共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.(5分)北京冬奥会将于年月日正式开幕,名大学生将参加冬奥会志愿者服务,他们被随机安排到个场馆工作,每人只能去一个场馆,每个场馆至少一人,则不同的安排方案有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.(5分)安排名学生去个社区进行志愿服务,且每人只去一个社区,要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务,则不同的安排方式共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.(5分)名同学到个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去个小区,每个小区至少安排名同学,则不同的安排方法共有
A. 种 B. 种
C. 种 D. 种
6.(5分)如图是中国古曲《苏武牧羊》的工尺谱简单示例.源自唐朝的工尺谱是中国汉族传统记谱法之一,近代工尺谱一般用四、上、尺、工、六、五、乙等字样作为表示音高同时也是唱名,相当于、、、、、、某节曲谱是由“工六六五五”五个音构成,如只考虑这五个音的排列,可形成多少种不同的曲谱
A. B. C. D.
7.(5分)高三毕业时,甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲、乙二人相邻,则甲、丙二人相邻的概率是
A. B. C. D.
(5分)
8.用个字母编拟某种信号程序大小写有区别,把这个字母全部排列如图所示的表格中,每个字母必须使用且只使用一次,不同的排列方式表示不同的信号,如果恰有一对字母同一个字母的大小写排到同一列的上下格位置,那么称此信号为“微错号”,则不同的“微错号”的总数为
A. B. C. D.
二 、多选题(本大题共5小题,共25分)
9.(5分)某人参加一次测试,在备选的道题中,他能答对其中的道.现从备选的道题中随机抽出道题进行测试,规定至少答对题才算合格.则下列选项正确的是
A. 答对题和答对题的概率相同,都为 B. 答对题的概率为
C. 答对题的概率为; D. 合格的概率为
10.(5分)北京冬奥会将于年月日到日在北京和张家口举行为纪念申奥成功,中国邮政发行《北京申办年冬奥会成功纪念》邮票,图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”现从一套枚邮票中任取枚,则
A. 一定有会徽邮票 B. 恰有枚吉祥物邮票的概率为
C. 至少有一枚吉祥物邮票的概率为 D. 没有志愿者标志邮票的概率的
11.(5分)如图,在某城市中,,两地之间有整齐的方格形道路网,其中,,,是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网,处的甲、乙两人分别要到,处,他们分别随机地选择一条沿街的最短路径,以相同的速度同时出发,直到到达,处为止,则下列说法正确的有
A. 甲从到达处的方法有种
B. 甲从必须经过到达处的方法有种
C. 甲、乙两人相遇的概率为
D. 甲、乙两人在处相遇的概率为
12.(5分)甲、乙、丙、丁、戊共位志愿者被安排到,,,四所山区学校参加支教活动,要求每所学校至少安排一位志愿者,且每位志愿者只能到一所学校支教,则下列结论正确的是
A. 不同的安排方法共有种
B. 甲志愿者被安排到学校的概率是
C. 若学校安排两名志愿者,则不同的安排方法共有种
D. 在甲志愿者被安排到学校支教的前提下,学校有两名志愿者的概率是
13.(5分)多选从名短跑运动员中选出人参加接力赛,如果甲、乙两人都不跑第一棒,那么下列说法正确的是
A. 甲、乙都不参加,有种安排方法
B. 甲参加乙不参加,有种安排方法
C. 甲、乙两人都参加,有种安排方法
D. 甲、乙中有一人参加,有种安排方法
三 、填空题(本大题共5小题,共25分)
14.(5分)从男女共名学生中选出队长人、副队长人、普通队员人组成人服务队,要求服务队中至少有名女生,共有______种不同的选法.用数字作答
15.(5分)航天员在进行一次太空实验,要先后实施个程序,其中程序只能出现在第一步或最后一步,程序和程序必须相邻,请问实验顺序排列方法有________数字作答
16.(5分)在件产品中,有件合格品,件次品,从这件产品中任意抽取件,抽出的件中至少有一件是次品的抽法的种数为 ______.
17.(5分)第届国际篮联篮球世界杯于年月日至月日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.某地名男球迷、名女球迷决定分成两组,分别去北京、上海观看比赛.若每组至少人,且每组都有男球迷,则不同的分配方案共和________种用数字作答
18.(5分)把分别写有“爸”、“爸”、“去”、“哪”、“儿”的张卡片放入个不同信封,每个信封至少放一张卡片,则写有“爸”、“爸”的两张卡片恰好被放入同一个信封的不同情况共有__________种用数字作答
四 、解答题(本大题共5小题,共60分)
19.(12分)解方程:
为了纪念建党周年,某班准备组织一次以“传承红色基因,涵育人格品行”为主题的班会,现准备从名男生和名女生中选出人在班会上发言,问:如果人中必须既有男生又有女生,有多少种选法?
20.(12分)已知,且,求证:;
设数列,,,…满足,…证明:对任意的正整数,是关于的一次式.
21.(12分)按下列要求分配本不同的书,各有多少种不同的分配方式.
平均分给甲、乙、丙三人,每人本.
甲、乙、丙三人中,一人得本,一人得本,一人得本.用数字回答
22.(12分)计算:…
证明:
23.(12分) 把椅子摆成一排,人随机就座,任何两人不相邻有多少种不同的坐法;
某车队有辆车,现要调出辆按一定顺序出去执行任务.要求甲、乙两车必须参加,且甲车要先于乙车开出,有多少种不同的调度方法.
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解:由一个、一个、两个、两个这六个数字组成的所有不同的六位数个数为个,
采用捆绑法和间接法可得组成的数为兄弟数的有个,
所求概率为
故选:
由排列组合的知识可得总的数共个,再由捆绑法和间接法可得兄弟数的个数,由概率公式可得.
此题主要考查古典概型及其概率公式,涉及排列组合知识的应用,属中档题.
2.【答案】D;
【解析】解:志愿者甲和乙必须去同一个社区,
把甲乙两人看作一个元素,则问题变成个元素分成组进行排列,
则共有种方法,
故选:
利用相邻问题捆绑法,然后先分组后排的方法进行计算即可.
此题主要考查排列组合的计数问题,利用相邻问题捆绑法以及先分后排的方法是解决本题的关键,是中档题.
3.【答案】B;
【解析】解:根据题意,分步进行:
①将人分为组,有种分组方法,
②将分好的三组安排到个场馆工作,有种排法,
则有种安排方法,
故选:
根据题意,分步进行:①先将人分为组,②再将分好的三组安排到个场馆工作,由分步计数原理计算可得答案.
此题主要考查排列组合的应用,涉及分步计数原理,属于基础题.
4.【答案】C;
【解析】解:分步分析:
先将名学生分成组,由两种分组方法,
若分成、、的三组,有种分组方法,
若分成、、的三组,有种分组方法,
则一共有种分组方法;
再将分好的三组全排列,对应三个社区,有种情况,
则有种不同的安排方式;
故选:.
分步分析:先将名大学生分成组,分种情况分类讨论,再将分好的三组全排列,对应三个城市,由分步计数原理计算可得答案;
该题考查排列、组合的应用,注意本题计算安排方式时用到分组涉及平均分组与不平均分组,要用对公式.
5.【答案】C;
【解析】
此题主要考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题.
根据题意,分步完成:先将名学生志愿者分成组,再将他们安排到个小区,由分步计数原理计算可得答案.

解:根据题意,分步完成:
①将名学生志愿者分成组,每组至少人,有种方法,
②将组志愿者安排到个小区,有种情况,
则共有种安排方法,
故选:
6.【答案】B;
【解析】解:根据题意,可以先在排列“工”的位置,只需在个位置上选取一个位置即可,故有种方案,
再从剩下的个位置上选取两个位置安排“六”,最后剩下的两个位置安排“五”即可,
故有种方案,所以根据分步乘法计数原理,有种不同的方案,
故选:
根据题意分两步完成,现在五个位置上选取一个位置安排“工”,再从剩下的个位置上选取两个位置安排“六”,最后结合分步乘法计数原理即可求解.
此题主要考查了排列组合的简单计数问题,考查了学生的分析问题的能力,属于基础题.
7.【答案】C;
【解析】
此题主要考查条件概率,涉及排列、组合的运用,注意本题中甲、丙相邻,必须是在甲乙相邻的条件下,为基础题.
根据题意,首先计算甲乙相邻时的概率,再计算甲与乙丙都相邻的概率,最后由条件概率公式求解.

解:设“甲、乙两人相邻”为事件,“甲、丙两人相邻”为事件,
则表示事件“甲与乙、丙都相邻”.
又,,
于是
故选
8.【答案】B;
【解析】
该题考查排列、组合的应用,涉及分步、分类计数原理的应用,属于基础题.
根据题意,分步进行分析:①先确定排到同一列的上下格位置的一对字母,由分步计数原理可得其放法数目,②再分析第二对字母,其不能排到同一列的上下格位置,可以假设选定的一对大小写字母为、,则分析与,由分步计数原理可得其放法数目,③对于最后的一对字母,放入最后两个位置,由排列数公式,可得其放法数目,由分步计数原理计算可得答案.

解:根据题意,分步进行:
①先确定排到同一列的上下格位置的一对字母,有种情况,
将其放进表格的任意一列中,有种情况,考虑这一对字母的顺序,有种不同顺序,
②再分析第二对字母,其不能排到同一列的上下格位置,
假设选定的一对大小写字母为、,则对于与:有种情况,的可选位置有个,
③对于最后的一对字母,放入最后两个位置,有种放法,
则共有个“微错号”,
故选:.
9.【答案】CD;
【解析】
此题主要考查古典概型概率,要明确各事件的关系,利用组合数求出基本事件是解答该题的关键,属于基础题.
根据古典概型的概率公式,结合组合数公式,逐项求出各事件的概率.

解:答对题和答对题的概率是一样的,都是,故错误
答对题的概率为,故错误;
答对题的概率为,故正确;
至少答对题才算合格,则其合格的概率为,故正确.
故选
10.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查组合数应用以及古典概型概率的求解
运用组合数公式以及古典概型概率的公式求解,即可判断选项是否正确.解:从一套枚邮票中任取枚的不同取法有种,易知,不一定有会徽邮票,故项错误
恰有枚吉祥物邮票的概率为,故项正确
至少有枚吉祥物邮票的概率为,故项正确
没有志愿者标志邮票的概率为,故项错误.
11.【答案】BC;
【解析】解:对于,甲由道路网处出发随机地选择一条沿街的最短路径到达处需走步,
共有种方法,故不正确.
对于,甲经过到达,可分为两步:
第一步:甲从经过的方法数:种,
第二步:甲从到的方法数:种,
所以:甲经过的方法数为种,故正确;
对于甲、乙两人沿最短路径行走,只可能在、、、处相遇,
他们在相遇的走法有种方法;

甲、乙两人相遇的概率,故正确;
对于,由知:甲从到达处的方法有种,甲经过的方法数为:种,
同理,乙从到达处的方法有种,乙经过的方法数也为:种,
甲、乙两人相遇经点的方法数为:种,
甲、乙两人相遇经点的概率,故错误,
故选:
甲由道路网处出发随机地选择一条沿街的最短路径到达处需走步,可判断由分步计数原理计数可判断;对于,甲、乙两人沿最短路径行走,只可能在、、、处相遇,他们在相遇的走法有种方法,根据分类计数原理得到结果数,求得概率;求得甲、乙两人沿最短路径行走,相遇的概率可判断
此题主要考查了互斥事件概率计算公式与古典概率计算公式、分类讨论方法、排列与组合计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
12.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了古典概型及其计算,涉及排列组合运算,属于中档题.解:依据题意,不同的安排方法共有种,故选项错误;
甲志愿者被安排到学校的概率是,故选项正确;
若学校安排两名志愿者,则不同的安排方法共有种,故选项错误;
在甲志愿者被安排到学校支教的前提下,学校有两名志愿者的概率是,故选项正确.
13.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查排列组合综合运用,属中档题.
由题意逐项分析即可.

解:甲、乙都不参加,有种,故正确
甲参加乙不参加,有种,甲、乙仅有人参加,有种,故错误,正确
甲、乙两人都参加,有种,故正确.
故选
14.【答案】168;
【解析】解:根据题意,分步进行分析:
①,先从男女共名学生选出人,要求至少有名女生,有种情况,
②,在选出的人中任选人,作为队长,剩余人中选出人作为副队长,
剩下人作为队员,有种情况,
则有种不同的选法;
故答案为:
根据题意,分步进行分析:①,先从男女共名学生选出人,要求至少有名女生,由排除法分析可选选法数目,②,在选出的人中任选人,作为队长,剩余人中选出人作为副队长,剩下人作为队员;由分步计数原理计算可得答案.
此题主要考查排列、组合的应用,注意要先选取,再进行排列.
15.【答案】;
【解析】根据只能出现在第一步或最后一步,从第一个位置和最后一个位置选一个位置把排列,程序和实施时必须相邻,把和看做一个元素,同除外的个元素排列,注意和之间还有一个排列.
此题主要考查分步计数原理,考查两个元素相邻的问题,注意排列过程中的相邻问题,利用捆绑法来解,不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列.解:本题是一个分步计数问题,
由题意知程序只能出现在第一步或最后一步,
从第一个位置和最后一个位置选一个位置把排列,有种结果
程序和实施时必须相邻,
把和看做一个元素,同除外的个元素排列,注意和之间还有一个排列,共有种结果
根据分步计数原理知共有种结果,
故答案为
16.【答案】9604;
【解析】解:根据题意,分种情况讨论:
①取出的件产品中有件次品,件合格品,有种取法,
②取出的件产品中有件次品,件合格品,有种取法,
则有种取法.
故答案为:
根据题意,按取出产品中次品的数目分种情况讨论,由分类加法计数原理计算可得答案.
此题主要考查排列组合的应用,涉及分步、分类计数原理的应用,属于基础题.
17.【答案】;
【解析】
此题主要考查了排列、组合的综合应用,分配的方案有两类,第一类:一组人,另一组人,第二类:两组均为人,分别求解,再相加即可.

解:分配的方案有两类,
第一类:一组人,另一组人,共有种不同的方案;
第二类:两组均为人,有种不同的方案,
所以共有种不同的方案.
故答案为
18.【答案】;
【解析】

此题主要考查分步乘法计数原理的应用和排列、组合的综合应用 ,属于中档题;
首先为“爸”、“爸”的两张卡片选一个信封,再将剩下三个字放进三个不同信封进行全排列,分步相乘即得结果.
解:张卡片放入个不同信封,分两步进行:
第一步:“爸”、“爸”的两张卡片恰好被放入同一个信封,先为其选信封,有种选法;
第二步:“去”、“哪”、“儿”三个字放入剩下的三个不同信封,有种放法,
故写有“爸”、“爸”的两张卡片恰好被放入同一个信封的不同情况共有种.
故答案为
19.【答案】解:(1)根据原方程,x应满足
解得x≥3,x∈N*.根据排列数公式,原方程化为(2x+1) 2x (2x-1) (2x-2)=140x (x-1) (x-2).
因为x≥3,两边同除以4x(x-1),得(2x+1)(2x-1)=35(x-2).即4-35x+69=0,解得x=3或(因为x为整数,所以应舍去).所以原方程的解为x=3.
(2)根据题意,分3种q看讨论:
①:1名男生、3名女生,共有种;
②:2名男生、2名女生,共有种;
③:3名男生、1名女生,共有种;
发言的4人中既有男生又有女生,共有160+420+336=916种选法.;
【解析】
利用排列数公式对原方程变形,结合排列数的性质,解可得答案;
根据题意,按选出人的男生情况,求出每种情况的选法,由加法原理计算可得答案.
此题主要考查排列组合的应用,涉及排列数公式的应用,属于基础题.
20.【答案】证明:,

所以;
证明:由题意得数列,,,…为等差数列,且公差为






所以对任意的正整数,是关于的一次式.;
【解析】此题主要考查组合数的性质、二项式定理,考查推理论证能力.
利用组合的阶乘公式,分别化简左、右边,即可得证;
由题意得数列,,,…为等差数列,且公差为,利用
,即可化简得到结论.
21.【答案】解:(1)根据题意,分2步进行分析:
①、将6本书分成3组,每组2本,有=15种分组方法;
②、将分好的3组对应甲、乙、丙三人,有A33种情况,
则不同的分配方式有15×6=90种.
(2)根据题意,分2步进行分析:
①、将6本书分成3组,各组的本书依次为1、2、3,有C61×C52×C33种分组方法;
②、将分好的3组对应甲、乙、丙三人,有A33种情况,
则不同的分配方式有C61×C52×C33×A33=360种.;
【解析】
根据题意,分步进行分析:①、将本书分成组,每组本,由平均分组公式可得其方法数目,②、将分好的组对应甲、乙、丙三人,由排列数公式可得对于方法数目,由分步计数原理计算可得答案;
分步进行分析:①、将本书分成组,各组的本书依次为、、,②、将分好的组对应甲、乙、丙三人,由排列数公式可得对于方法数目,由分步计数原理计算可得答案;
该题考查排列、组合的实际应用,涉及分组问题,注意平均分租与不平均分租的公式的正确应用.
22.【答案】(1)解:∵,
∴原式=C44+C43+C53+…+C103
=C54+C53+C63+…+C103
=C64+C63+C73+…+C103
=…
=C104+C103
=C114
=330
(2)证明:∵Anm=
∴左边=+k===An+1k=右边.;
【解析】先把化为,再根据组合数的性质,,逐个化简,即可求出…的值.
把左右两边分别用排列数公式,化简,再判断化简后得式子相等即可.
23.【答案】解:先排个空位,形成个空隙供人选择就座,
因此任何两人不相邻的坐法共有种;
先从除甲、乙外的辆车任选辆有种选法,
连同甲、乙共辆车,排列在一起,从个位置中选两个位置安排甲、乙,
甲在乙前共有种,
最后安排其他两辆车共有种方法,
所以不同的调度方法为种;
【解析】此题主要考查排列组合的应用.
先排个空位,采用插空法即可求解;
先从除甲、乙外的辆车任选辆,从个位置中选两个位置安排甲、乙,最后安排其他两辆车即可求解.

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