2023高考数学二轮复习专项训练《幂函数》(含解析)

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2023高考数学二轮复习专项训练《幂函数》(含解析)

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2023高考数学二轮复习专项训练《幂函数》
一 、单选题(本大题共12小题,共60分)
1.(5分)有以下函数:其中幂函数的个数为
A. B. C. D.
2.(5分)直线,,及幂函数的图象将平面直角坐标系的第一象限分为个部分如图所示,那么幂函数的图象在第一象限中经过
A. B. C. D.
3.(5分)函数和图象满足
A. 关于原点对称 B. 关于x轴对称
C. 关于y轴对称 D. 关于直线对称
4.(5分)(2022.西安高一检测)若,则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.(5分)函数,不论为何值,的图象均过点,则实数的值为
A. B. C. D.
6.(5分)已知幂函数的图象经过点,则它的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
7.(5分)下列函数中,在区间上单调递增的是
A. B. C. D.
8.(5分)已知函数是幂函数,则等于
A. B. C. D.
9.(5分)在同一直角坐标系中,函数,的图象可能是
A. B.
C. D.
10.(5分)已知幂函数,,,在第一象限的图象如图所示,则()
A. a>b>c>d B. b>c>d>a C. d>b>c>a D.
11.(5分)(2019武汉四调)若点,,在反比例函数的图象上,则,,的大小关系是( )
A. B.
C. D.
12.(5分)已知幂函数在上是减函数,则的值为
A. B. C. D.
二 、填空题(本大题共6小题,共30分)
13.(5分)是一个幂函数,则m=____________________.
14.(5分)函数在区间上的最小值是__________.
15.(5分) (2019云南)若点(3,5)在反比例函数的图象上,则k=________.
16.(5分)若,则实数的取值范围为__________.
17.(5分)设幂函数同时具有以下两个性质:
①函数在第二象限内有图象;
②对于任意两个不同的正数,,都有恒成立.
请写出符合上述条件的一个幂函数__________.
18.(5分)已知幂函数f(x)的部分对应值如下表:则f(x)=____________________;不等式f(|x|)≤2的解集是____________________.
三 、解答题(本大题共6小题,共72分)
19.(12分)(教材P91练习T1改编)幂函数f(x)的图象过,则f(x)=_______________.
20.(12分)已知函数是幂函数,且在上是减函数.
求实数的值;
请画出的大致图象.
21.(12分)若点在幂函数的图象上,点在幂函数的图象上,定义
,求函数的最大值以及单调区间.
22.(12分)【典例】(2022.南宁高一检测)已知幂函数y=f(x)的图象过点.
(1)求函数f(x)的解析式,并求出它的定义域;
(2)试求满足的实数a的取值范围.
23.(12分)已知幂函数的图象过点
求的解析式
判断函数的单调性,并进行证明
若,求实数的取值范围.
24.(12分)请从下列条件中选取一个条件补充在横线上,并解答.①;②是满足的最大正整数;③是满足的最小正整数.
问题:已知函数,且_________.
判定的奇偶性;
判断在上的单调性,并用定义证明.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
四 、多选题(本大题共6小题,共30分)
25.(5分)下列函数中,在上单调递增的有
A. B. C. D.
26.(5分)[核心素养·逻辑推理]若一些函数的解析式和值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,例如函数y=,x∈[1,2]与函数y=,x∈[-2,-1]就是“同族函数”,下列四个函数中不能用来构造“同族函数”的是 ( )
A. B. C. D.
27.(5分)下列四个命题中不正确的是
A. 在上是单调递增函数
B. 若函数与轴没有交点,则且
C. 幂函数的图象都通过点
D. 和表示同一个函数
28.(5分)若函数的定义域为且为奇函数,则可能的值为
A. B. C. D.
29.(5分)下列函数是偶函数的是( )
A. B.
C. D. fx=x.lnx2+1 x
30.(5分)下列关于幂函数的图象和性质的描述中正确的有
A. 幂函数的图象都过点
B. 幂函数的图象都不经过第四象限
C. 幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种
D. 幂函数必定是增函数或减函数中的一种
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】
此题主要考查幂函数的概念,属于基础题.解:根据幂函数的概念,可判断得①⑤为幂函数.
2.【答案】C;
【解析】
此题主要考查幂函数的图像和性质,考查推理能力,属于基础题.
由幂函数的性质判断即可.
解:对于幂函数,当时,;
当时,
过②⑥,
故选
3.【答案】D;
【解析】这两个函数的图象如下:
显然它们的图象关于直线对称,
故选D.
4.【答案】B;
【解析】略
5.【答案】A;
【解析】
此题主要考查幂函数的图象和性质,属于基础题.解:幂函数过定点,过定点,结合已知条件可知,则
6.【答案】C;
【解析】设幂函数,
的图象经过点,
,解得,
则,且,
由幂函数可得的单调递增区间是,
故选C.
7.【答案】C;
【解析】
此题主要考查指数函数、对数函数以及幂函数的单调性的判断,属于基础题.
根据指数函数、对数函数以及幂函数的单调性逐一分析选项即可.
解:根据指数函数、对数函数以及幂函数的单调性可知:
:在上单调递减;
:在上单调递减;
:在上单调递增;
:在上单调递减;
故选:
8.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了幂函数的概念,属于基础题.解:因为函数是幂函数,
所以,故,,
所以
故选
9.【答案】D;
【解析】
此题主要考查幂函数、对数函数的图象和性质.
对于对数函数,当时,图象单调递增,当时,图象单调递减,而当时,幂函数在都是增函数.

解:当时,对数函数的单调性只有符合,
但幂函数图象不符
当时,对数函数有,,相符,
幂函数有,相符,
综合可知只有相符,
故选
10.【答案】B;
【解析】略
11.【答案】B;
【解析】略
12.【答案】C;
【解析】
此题主要考查幂函数定义及性质,属基础题.
根据幂函数的定义列出方程求出的值,根据幂函数的单调性可判断指数中的范围,综合即可.
解:由函数为幂函数知,,解得或
在上是减函数,而当时,,在是增函数,不符合题意;
当时,,符合题意,,
故选
13.【答案】1;
【解析】略
14.【答案】;
【解析】
此题主要考查幂函数的图象与性质,属于简单题.解:由幂函数的图象特征可知函数在区间上单调递减,
故函数的最小值为
15.【答案】15;
【解析】略
16.【答案】;
【解析】
此题主要考查幂函数的单调性的应用以及幂函数的定义域,属于基础题.
解:因为幂函数在定义域上是增函数,
所以
解得,
故的取值范围为
17.【答案】;
【解析】
此题主要考查的知识点是幂函数的图象的性质,单调性的定义,熟练掌握函数的图象和性质,理解函数性质的定义是解答本题的关键,属于基础题.
根据幂函数在第二象限内有图象 ,及在上是增函数,即可写出满足条件的一个函数解析式 .
解:由幂函数在第二象限内有图象,所以,
对于任意两个不同的正数 , ,都有恒成立则在上是增函数,
所以幂函数的解析式可以是
故答案为:
18.【答案】;;
【解析】略
19.【答案】;
【解析】设,由题意,得
所以,所以.
20.【答案】解:由函数是幂函数,则,
解得或,
又因为在上是减函数,
所以;
由知,,
定义域为,满足
结合描点法,则的大致图象如图所示:
;
【解析】
此题主要考查幂函数的图象与性质,属于基础题.
根据幂函数的定义及性质即可求解;
根据函数的奇偶性结合描点法即可画出的大致图象.
21.【答案】解:设,
因为点在幂函数的图像上,
所以,解得,
所以
设,
因为点在幂函数的图像上,
所以,解得,
所以
在同一坐标系中画出函数和的图象图略,
由题意及图,可知,作出函数的图象如图所示,可知函数
的最大值为,的单调递增区间是,单调递减区间是和
;
【解析】此题主要考查幂函数的解析式的求法,注意运用待定系数法,同时考查分段函数的运用,函数的单调性和最值的求法,属于中档题.
设,,代入点的坐标,解方程可得,的解析式,再由定义,求得的解析式,通过二次函数和反比例函数的性质,可得最大值和单调区间.
22.【答案】(1)设,代入点得,解得α,即故函数f(x)的定义域为[0,+∞).
(2)由于f(x)的定义域为[0,+∞),且在[0,+∞)上递增,f(1+a)>f(3-a),
因此,
故a的取值范围是(1,3].;
【解析】略
23.【答案】解:因为为幂函数,
所以,或
当时,,图象过点
当时,,图象不过点,舍去.
综上,
函数在上为增函数.
设,,且,
则 ,
因为,,
即,所以
所以函数在上为增函数.
函数在上为增函数,
由,则得
综上,的取值范围为;
【解析】此题主要考查了幂函数的图象与性质以及解析式,考查了利用单调性解不等式,属中档题.
由函数为幂函数求解的值,再验证即可;
根据函数单调性定义证明即可;
利用单调性结合定义域解不等式即可得解.
24.【答案】解:选①.,解得,即定义域为,,所以是偶函数.
设,则,所以
,即,所以在上是增函数.
选②.由得,即,满足上述不等式的最大正整数为,所以,即下同①.
选③.由得,即,满足上述不等式的最小的正整数是,故,即下同①.;
【解析】此题主要考查求函数的解析式,函数的奇偶性,单调性的证明,属于中档题.
先由已知条件求得,得
求定义域,由,得为偶函数;
利用单调性的定义证明在上单调递增
25.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查函数的单调性,属于基础题.
求出各个函数的单调性,进行分析求解即可.解:对于选项,,因为在上单调递增,
且在上单调递增,
所以在上单调递增
对于选项,在上不单调
对于选项,因为,所以幂函数在上单调递增
对于选项,在上单调递减.
故选
26.【答案】BCD;
【解析】由题意知,“同族函数”不能是单调函数,故B,C不能用来构造“同族函数”;因为是奇函数,图象关于原点对称,所以不同的定义域,值域不可能相同,故D不能用来构造“同族函数";函数与函数,定义域不同,值域都为,解析式一样,故可用来构造“同族函数”.故选BCD.
27.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查复合函数的单调性、二次函数的图象与性质、幂函数的图象与性质、判断两个函数是否为同一函数,属于中档题.
A.利用复合函数的单调性原理得到该命题正确;
B.讨论是否为零,确定不同函数,即可判断;
C.由幂函数的图象和性质得该命题正确;
D.两个函数的解析式不同,所以它们不是同一函数.
解:,,根据同增异减,只需求的递减区间,对称轴,即在单调递减,
故在上是单调递增函数,所以该命题正确;
B.函数与轴无交点,
当,显然不成立,
当,显然成立,
当,只需,所以该命题错误;
C.由幂函数的图象和性质得该命题正确;
D.,解析式不同,所以它们不是同一函数,所以命题错误.
故选:
28.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了常见幂函数的定义域,奇偶性,属于基础题.
根据幂函数的图像和性质判断可能的值即可.
解:当为时,定义域不是,错误;当为时,定义域不是,错误;当为时,是定义域为的奇函数,正确;当为时,是定义域为的奇函数,正确.
故选:
29.【答案】AD;
【解析】由函数奇偶性定义知,A,D中函数为偶函数,
B中函数为奇函数,C中函数为非奇非偶函数.
30.【答案】AB;
【解析】
此题主要考查幂函数的图象和性质,属于基础题.
利用幂函数的图象和性质对选项逐个判断即可.
解:由幂函数的图象可知,正确;
对于、存在幂函数是非奇非偶函数,故错误;
对于、存在幂函数不具有单调性,故错误,
故选

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