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2023高考数学二轮复习专项训练《幂函数》
一 、单选题（本大题共12小题，共60分）
1.（5分）有以下函数：其中幂函数的个数为
A. B. C. D.
2.（5分）直线，，及幂函数的图象将平面直角坐标系的第一象限分为个部分如图所示，那么幂函数的图象在第一象限中经过
A. B. C. D.
3.（5分）函数和图象满足
A. 关于原点对称 B. 关于x轴对称
C. 关于y轴对称 D. 关于直线对称
4.（5分）（2022.西安高一检测）若，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5.（5分）函数，不论为何值，的图象均过点，则实数的值为
A. B. C. D.
6.（5分）已知幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
7.（5分）下列函数中，在区间上单调递增的是
A. B. C. D.
8.（5分）已知函数是幂函数，则等于
A. B. C. D.
9.（5分）在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是
A. B.
C. D.
10.（5分）已知幂函数,,,在第一象限的图象如图所示，则（）
A. a＞b＞c＞d B. b＞c＞d＞a C. d＞b＞c＞a D.
11.（5分）(2019武汉四调)若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
12.（5分）已知幂函数在上是减函数，则的值为
A. B. C. D.
二 、填空题（本大题共6小题，共30分）
13.（5分）是一个幂函数，则m=____________________.
14.（5分）函数在区间上的最小值是__________.
15.（5分） (2019云南)若点(3，5)在反比例函数的图象上，则k=________.
16.（5分）若，则实数的取值范围为__________.
17.（5分）设幂函数同时具有以下两个性质：
①函数在第二象限内有图象；
②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立.
请写出符合上述条件的一个幂函数__________.
18.（5分）已知幂函数f（x）的部分对应值如下表：则f（x）=____________________；不等式f（|x|）≤2的解集是____________________.
三 、解答题（本大题共6小题，共72分）
19.（12分）（教材P91练习T1改编）幂函数f(x)的图象过，则f(x)=_______________.
20.（12分）已知函数是幂函数，且在上是减函数.
求实数的值；
请画出的大致图象.
21.（12分）若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，定义
，求函数的最大值以及单调区间．
22.（12分）【典例】（2022.南宁高一检测）已知幂函数y=f(x)的图象过点.
（1）求函数f(x)的解析式，并求出它的定义域；
（2）试求满足的实数a的取值范围.
23.（12分）已知幂函数的图象过点
求的解析式
判断函数的单调性，并进行证明
若，求实数的取值范围.
24.（12分）请从下列条件中选取一个条件补充在横线上，并解答．①；②是满足的最大正整数；③是满足的最小正整数．
问题：已知函数，且_________.
判定的奇偶性；
判断在上的单调性，并用定义证明．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
四 、多选题（本大题共6小题，共30分）
25.（5分）下列函数中，在上单调递增的有
A. B. C. D.
26.（5分）［核心素养·逻辑推理］若一些函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y＝，x∈［1,2］与函数y＝，x∈［-2，-1］就是“同族函数”，下列四个函数中不能用来构造“同族函数”的是 ( )
A. B. C. D.
27.（5分）下列四个命题中不正确的是
A. 在上是单调递增函数
B. 若函数与轴没有交点，则且
C. 幂函数的图象都通过点
D. 和表示同一个函数
28.（5分）若函数的定义域为且为奇函数，则可能的值为
A. B. C. D.
29.（5分）下列函数是偶函数的是（ ）
A. B.
C. D. fx=x.lnx2+1 x
30.（5分）下列关于幂函数的图象和性质的描述中正确的有
A. 幂函数的图象都过点
B. 幂函数的图象都不经过第四象限
C. 幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种
D. 幂函数必定是增函数或减函数中的一种
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】
此题主要考查幂函数的概念，属于基础题.解：根据幂函数的概念，可判断得①⑤为幂函数.
2.【答案】C;
【解析】
此题主要考查幂函数的图像和性质，考查推理能力，属于基础题.
由幂函数的性质判断即可．
解：对于幂函数，当时，；
当时，
过②⑥，
故选
3.【答案】D;
【解析】这两个函数的图象如下：
显然它们的图象关于直线对称，
故选D．
4.【答案】B;
【解析】略
5.【答案】A;
【解析】
此题主要考查幂函数的图象和性质，属于基础题.解：幂函数过定点，过定点，结合已知条件可知，则
6.【答案】C;
【解析】设幂函数，
的图象经过点，
，解得，
则，且，
由幂函数可得的单调递增区间是，
故选C．
7.【答案】C;
【解析】
此题主要考查指数函数、对数函数以及幂函数的单调性的判断，属于基础题.
根据指数函数、对数函数以及幂函数的单调性逐一分析选项即可.
解：根据指数函数、对数函数以及幂函数的单调性可知：
：在上单调递减；
：在上单调递减；
：在上单调递增；
：在上单调递减；
故选：
8.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了幂函数的概念，属于基础题.解：因为函数是幂函数，
所以，故，，
所以
故选
9.【答案】D;
【解析】
此题主要考查幂函数、对数函数的图象和性质.
对于对数函数，当时，图象单调递增，当时，图象单调递减，而当时，幂函数在都是增函数.

解：当时，对数函数的单调性只有符合，
但幂函数图象不符
当时，对数函数有，，相符，
幂函数有，相符，
综合可知只有相符，
故选
10.【答案】B;
【解析】略
11.【答案】B;
【解析】略
12.【答案】C;
【解析】
此题主要考查幂函数定义及性质，属基础题.
根据幂函数的定义列出方程求出的值，根据幂函数的单调性可判断指数中的范围，综合即可.
解：由函数为幂函数知，，解得或
在上是减函数，而当时，，在是增函数，不符合题意；
当时，，符合题意，，
故选
13.【答案】1;
【解析】略
14.【答案】;
【解析】
此题主要考查幂函数的图象与性质，属于简单题.解：由幂函数的图象特征可知函数在区间上单调递减，
故函数的最小值为
15.【答案】15;
【解析】略
16.【答案】;
【解析】
此题主要考查幂函数的单调性的应用以及幂函数的定义域，属于基础题.
解：因为幂函数在定义域上是增函数，
所以
解得，
故的取值范围为
17.【答案】;
【解析】
此题主要考查的知识点是幂函数的图象的性质，单调性的定义，熟练掌握函数的图象和性质，理解函数性质的定义是解答本题的关键，属于基础题.
根据幂函数在第二象限内有图象 ，及在上是增函数，即可写出满足条件的一个函数解析式 .
解：由幂函数在第二象限内有图象，所以，
对于任意两个不同的正数 ， ，都有恒成立则在上是增函数，
所以幂函数的解析式可以是
故答案为：
18.【答案】;;
【解析】略
19.【答案】;
【解析】设，由题意，得
所以，所以.
20.【答案】解：由函数是幂函数，则，
解得或，
又因为在上是减函数，
所以；
由知，，
定义域为，满足
结合描点法，则的大致图象如图所示：
;
【解析】
此题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题.
根据幂函数的定义及性质即可求解；
根据函数的奇偶性结合描点法即可画出的大致图象.
21.【答案】解：设，
因为点在幂函数的图像上，
所以，解得，
所以
设，
因为点在幂函数的图像上，
所以，解得，
所以
在同一坐标系中画出函数和的图象图略，
由题意及图，可知，作出函数的图象如图所示，可知函数
的最大值为，的单调递增区间是，单调递减区间是和
;
【解析】此题主要考查幂函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，同时考查分段函数的运用，函数的单调性和最值的求法，属于中档题．
设，，代入点的坐标，解方程可得，的解析式，再由定义，求得的解析式，通过二次函数和反比例函数的性质，可得最大值和单调区间.
22.【答案】（1）设，代入点得，解得α，即故函数f(x)的定义域为[0，+∞）.
（2）由于f(x)的定义域为[0，+∞)，且在[0，+∞)上递增，f(1+a)＞f(3-a)，
因此，
故a的取值范围是(1，3].;
【解析】略
23.【答案】解：因为为幂函数，
所以，或
当时，，图象过点
当时，，图象不过点，舍去.
综上，
函数在上为增函数.
设，，且，
则 ，
因为，，
即，所以
所以函数在上为增函数.
函数在上为增函数，
由，则得
综上，的取值范围为;
【解析】此题主要考查了幂函数的图象与性质以及解析式，考查了利用单调性解不等式，属中档题.
由函数为幂函数求解的值，再验证即可；
根据函数单调性定义证明即可；
利用单调性结合定义域解不等式即可得解.
24.【答案】解：选①．，解得，即定义域为，，所以是偶函数．
设，则，所以
，即，所以在上是增函数．
选②．由得，即，满足上述不等式的最大正整数为，所以，即下同①．
选③．由得，即，满足上述不等式的最小的正整数是，故，即下同①．;
【解析】此题主要考查求函数的解析式，函数的奇偶性，单调性的证明，属于中档题.
先由已知条件求得，得
求定义域，由，得为偶函数；
利用单调性的定义证明在上单调递增
25.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查函数的单调性，属于基础题.
求出各个函数的单调性，进行分析求解即可.解：对于选项，，因为在上单调递增，
且在上单调递增，
所以在上单调递增
对于选项，在上不单调
对于选项，因为，所以幂函数在上单调递增
对于选项，在上单调递减.
故选
26.【答案】BCD;
【解析】由题意知，“同族函数”不能是单调函数，故B，C不能用来构造“同族函数”；因为是奇函数，图象关于原点对称，所以不同的定义域，值域不可能相同，故D不能用来构造“同族函数"；函数与函数，定义域不同，值域都为，解析式一样，故可用来构造“同族函数”.故选BCD.
27.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查复合函数的单调性、二次函数的图象与性质、幂函数的图象与性质、判断两个函数是否为同一函数，属于中档题.
A.利用复合函数的单调性原理得到该命题正确；
B.讨论是否为零，确定不同函数，即可判断；
C.由幂函数的图象和性质得该命题正确；
D.两个函数的解析式不同，所以它们不是同一函数.
解：，，根据同增异减，只需求的递减区间，对称轴，即在单调递减，
故在上是单调递增函数，所以该命题正确；
B.函数与轴无交点，
当，显然不成立，
当，显然成立，
当，只需，所以该命题错误；
C.由幂函数的图象和性质得该命题正确；
D.，解析式不同，所以它们不是同一函数，所以命题错误.
故选：
28.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了常见幂函数的定义域，奇偶性，属于基础题.
根据幂函数的图像和性质判断可能的值即可.
解：当为时，定义域不是，错误；当为时，定义域不是，错误；当为时，是定义域为的奇函数，正确；当为时，是定义域为的奇函数，正确.
故选：
29.【答案】AD;
【解析】由函数奇偶性定义知，A，D中函数为偶函数，
B中函数为奇函数，C中函数为非奇非偶函数.
30.【答案】AB;
【解析】
此题主要考查幂函数的图象和性质，属于基础题.
利用幂函数的图象和性质对选项逐个判断即可.
解：由幂函数的图象可知，正确；
对于、存在幂函数是非奇非偶函数，故错误；
对于、存在幂函数不具有单调性，故错误，
故选

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