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2023高考数学二轮复习专项训练《定积分》
一 、单选题（本大题共12小题，共60分）
1.（5分）由曲线和曲线所围成的图形的面积为
A. B. C. D.
2.（5分）如图，正方形的四个顶点，，，，及抛物线和，若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影部分区域的概率是
A. B. C. D.
3.（5分）已知函数，则
A. B. C. D.
4.（5分）直线y=x-4与抛物线y2=2x所围成的图形面积是（ ）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
5.（5分）
A. B. C. D.
6.（5分）若，则
A. B. C. D.
7.（5分）由曲线，直线，所围成的平面图形的面积
A. B. C. D.
8.（5分）曲线与直线所围成的平面图形绕轴转一周得到旋转体的体积为
A. B. C. D.
9.（5分） 由曲线、直线，轴与轴所围成图形的面积为
A. B. C. D.
10.（5分）的值为
A. B. C. D.
11.（5分）设，则二项式展开式的常数项是
A. B. C. D.
12.（5分）定积分的值为
A. B. C. D.
二 、填空题（本大题共6小题，共30分）
13.（5分）在平面直角坐标系内任取一个点满足，则点落在曲线与直线，围成的阴影区域如图所示内的概率为______．
14.（5分）已知由直线x=0，x=a（a＞0），y=0和曲线y=ex围成的曲边梯形的面积为1，则a=____．
15.（5分）______．
16.（5分）设的展开式中的常数项等于______．
17.（5分）由曲线，直线和及轴围成的封闭图形的面积等于______．
18.（5分）计算： ______ ．
三 、解答题（本大题共6小题，共72分）
19.（12分）已知曲线及直线
求它们围成的平面图形的面积；
求将此平面图形绕轴旋转一周所得几何体的体积。
20.（12分）一列车以的速度行驶，当制动时列车获得加速度，问列车应在进站前多长时间以及离车站多远处开始制动？
21.（12分）求曲线，及所围成的图形的面积．
22.（12分）求曲线，所围成图形的面积．
23.（12分）如图，阴影部分区域是由函数的图象，直线，围成，求这阴影部分区域面积．
24.（12分）请按要求完成下列两题．
Ⅰ求由直线，，与曲线所围成的封闭图形的面积．
Ⅱ求由直线，曲线及轴所围成的封闭图形的面积．
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】
此题主要考查定积分求阴影部分的面积，属于基础题．
绘制出积分区域，利用定积分的性质，求得阴影的面积可以转化为

解：由图形可知，

故选

2.【答案】B;
【解析】解：，，，，
正方形的面积为，
根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：

，
则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率为．
故选：．
利用牛顿莱布尼茨公式求解即可，计算过程中要学会利用对称性进行解题．
此题主要考查定积分的求解方法、几何概型的基本计算方法，计算量不大，难度适中，属于基础题．
3.【答案】B;
【解析】
试题分析：．
考点：定积分．
4.【答案】D;
【解析】解：联立得
y=x-4
y2=2x
，解得
x=2
y=-2
或
x=8
y=4
，
∴由抛物线=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积S=∫4-2[（y+4）-
1
2
y2]dy=(
1
2
y2+4y-
1
6
y3)|4-2=8+16-
32
3
-2+8-
4
3
=18．
故选：D．
5.【答案】D;
【解析】解：，
故选：．
根据定积分的计算法则计算即可．
此题主要考查了定积分计算，关键是求出原函数，属于基础题．
6.【答案】A;
【解析】解：，
，
，
故选：．
根据微积分基本定理，计算即可
该题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．
7.【答案】D;
【解析】
由题意利用定积分的几何意义知，欲求由曲线，直线，所围成的平面图形的面积曲边梯形的面积与直角三角形的面积，再计算定积分即可求得．
这道题主要考查定积分求面积．用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基本运算．

解：根据利用定积分的几何意义，得：
由曲线，直线，所围成的平面图形的面积：



．
故选D．
8.【答案】C;
【解析】解：曲线与直线交于点和
根据旋转体的积分计算公式，可得
该旋转体的体积为

故选：
求出曲线与直线交点、的坐标，结合旋转体的积分计算公式，可得所求旋转体的体积等于函数在上的积分值，再用定积分计算公式加以计算即可得到该旋转体的体积．
本题给出曲线与直线所围成的平面图形，求该图形绕轴转一周得到旋转体的体积．着重考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识，属于基础题．
9.【答案】B;
【解析】
求出交点坐标，利用定积分知识，即可求解．
此题主要考查了利用定积分求曲边梯形的面积，关键是利用定积分表示出面积．

解：如图，

曲线、直线联立可得，或，
由曲线、直线，轴与轴所围成图形的面积为，
故选B．
10.【答案】C;
【解析】解：．
故选：．
首先求出被积函数的原函数，进一步利用定积分知识的应用求出结果．
该题考查的知识要点：被积函数的原函数的求法及应用，定积分的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
11.【答案】A;
【解析】
该题考查二项展开式的常数项的求法，考查定积分、二项式定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．

解：，
，


，
由，得，
二项式展开式的常数项是：．
故选A．

12.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了定积分，关键是求出被积函数的原函数，是基础题.
求出被积函数的原函数，直接代入积分上限和积分下限后作差得答案.

解：

故选
13.【答案】;
【解析】解：，
，
则点落在曲线与直线，围成的阴影区域如图所示内的概率为，
故答案为：
根据定积分求出阴影部分的面积，结合几何概型求出事件的概率即可．
此题主要考查定积分的求法以及几何概型问题，是一道中档题．
14.【答案】ln2;
【解析】解：由题意，由直线x=0，x=a（a＞0），y=0和曲线y=围成的曲边梯形的面积为：
∫0adx=|a0=-1=1，
∴a=ln2．
故答案为：ln2．
15.【答案】;
【解析】
这道题主要考查了定积分、定积分的应用，考查运算求解能力、化归与转化思想，属于基础题．
将区间分为和，分别化简，转化成，求解即可．

解：



．
故答案为：．
16.【答案】;
【解析】解：，
则 的展开式的通项公式为
．
令 ，解得，故展开式中的常数项等于，
故答案为．
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项．
这道题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．
17.【答案】ln2;
【解析】解：函曲线，直线和及轴围成的封闭图形的面积，
故答案为：．
先确定积分上限为，积分下限为，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
此题主要考查了利用定积分求面积，同时考查了定积分的等价转化，属于基础题．
18.【答案】1;
【解析】解：


．
故答案为：．
先由组合数计算公式，把转化为，进而简化为，由此能求出结果．
此题主要考查极限的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意组合数的合理运用．
19.【答案】解：；
;
【解析】此题主要考查直线与曲线围成的曲边梯形的面积与曲线旋转围成的几何体的体积，属于中档题目.
利用定积分求出曲边梯形的面积即可；
利用定积分求出几何体的体积即可.
20.【答案】解：列车速度，当制动时列车获得加速度，
设列车由开始制动到经过秒后的速度为，则
，
令，得到，
设列车由开始制动到停止所走的路程为，
，
因此列车应在进站前，离车站处开始制动．;
【解析】此题主要考查了定积分在物理中的应用，属于基础题．设列车速度，当制动时列车获得加速度，设列车由开始制动到经过秒后的速度为，，设列车由开始制动到停止所走的路程为，，解得即可．

21.【答案】解：作图，并由解得交点
所求面积为
;
【解析】此题主要考查了利用定积分求曲边梯形的面积，属于基础题．
关键是利用定积分表示出面积．
22.【答案】解：由，
得或，
∴所求图象的面积为：
==．;
【解析】
先求出两曲线的交点坐标，利用定积分的应用即可求出对应图形的面积．
这道题主要考查积分的应用，求出曲线交点坐标，利用面积与积分之间的关系是解决本题的关键，要求熟练掌握常见函数的积分公式．
23.【答案】解：所求图形面积由f（x）=cosx，y=1，x=π围成的，
所以S==（x-sinx）|=π．;
【解析】
由题意，所求阴影部分的面积为，计算即可．
此题主要考查了利用定积分求曲线围成的面积；关键是正确利用定积分表示出面积，然后计算．
24.【答案】解：Ⅰ，
Ⅱ由得，，即，得，舍
所以两曲线的交点坐标为，直线与轴的交点为，
所以．;
【解析】利用定积分表示面积，求出其原函数，即可求出面积．
该题考查利用定积分求面积，考查学生的计算能力，属于中档题．

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