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8.2 立体图形的直观图
一、水平放置的平面图形的直观图的画法
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
二、空间几何体的直观图的画法
立体图形直观图的画法步骤
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．
(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图．
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
三、直观图的还原与计算
由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．由此可得，直观图面积是原图形面积的倍．
考点一 平面图形的直观图
【例1】按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．
【答案】参考答案见试题解析．
【解析】
画法：
(1)在图(1)中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H．
(2)在图(2)中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°．
(3)在图(2)中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD．
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图(3))．
【练1】(2020·全国高一课时练习)用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图；
(1)直角边横向；(2)斜边横向.
【答案】见解析.
【解析】(1)直角边横向如图①②.
(2)斜边横向如图③
考点二 空间几何体的直观图
【例2】用斜二测画法画一个棱长为3cm的正方体的直观图.
【答案】见解析
【解析】
如图所示：在空间直角坐标系中画出一个正方体的直观图，
擦除坐标轴，即可得到直方图的直观图.
【练2】画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图并说明画法.
【答案】答案见解析.
【解析】
(1)画轴：画轴、轴、轴，(或)，，如左图；
(2)画底面：以为中心，在平面内，画出正方形水平放置的直观图；
(3)画顶点：在轴上截取，使的长度是原四棱锥的高；
(4)成图：顺次连接、、、，
并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如下图.
考点三 直观图与原图的周长面积
【例3】是边长为1的正三角形，那么的斜二测平面直观图的面积( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，
画对应的轴，轴，使，如下图所示，
结合图形，的面积为，
作，垂足为，
则，，
所以的面积，
即原图和直观图面积之间的关系为，
所以，的面积为.
故选：A.
【练3】用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.已知点是斜边的中点，且，则的边边上的高为( )
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】∵直观图是等腰直角三角形，，∴，根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半,
∴△的边上的高.故选D.
考点四 斜二测法
【例4】关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是( )
A．原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于轴,长度不变
B．原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于轴,长度变为原来的
C．在画与直角坐标系对应的坐标系时,必须是45°
D．在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同
【答案】C
【解析】根据斜二测画法的规则,平行于x轴或在x轴上的线段其长度在直观图中不变,平行于y轴或在y轴上的线段其长度在直观图中变为原来的,并且或135°,
故选：C.
【练4】(2020·全国高三专题练习)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是( )
A．原来相交的仍相交
B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行
D．原来共点的仍共点
【答案】B
【解析】根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与轴平行的线段长度不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜，故原来垂直线段不一定垂直了；
故选：B．
课后练习
（2021高一下·宁波期末）如图，水平放置的矩形 ， ， ，则其直观图的面积为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】 C
【考点】平面图形的直观图，斜二测画法直观图
【解析】解：由题意作出该直观图，如图所示，
其中A'B'=3, ， ∠D'A'B'=45°，则
则
故答案为：C
【分析】根据直观图的画法规则，结合图象，运用等面积法求解即可.
（2021高一下·江门月考）用斜二测画法画出水平放置的正方形ABCD的直观图，若直观图的面积为 ，则正方形ABCD的面积为
A.4 B.C.2 D.
【答案】 A
【考点】斜二测画法直观图，三角形中的几何计算
【解析】解：斜二测画法画出水平放置的正方形ABCD的直观图，
如图所示，设正方形的边长为a,
则直观图的面积为
则a=2，
则正方形ABCD的面积为a2=4.
故答案为：A
【分析】根据斜二测画法，结合三角形的面积公式求解即可.
（2021高一下·白城期末）如图，正方形 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ）
A.B.1 C.D.
【答案】 A
【考点】空间几何体的直观图，斜二测画法直观图
【解析】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，
所以OB= ， 对应原图形平行四边形的高为
所以原图形的面积为:
故答案为：A【分析】根据斜二测画法，结合平行四边形的面积公式求解即可.
（2021高一下·齐齐哈尔期中）如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为 （ ）
A. 6 B. 3
C. 3 D. 3
【答案】 A
【考点】斜二测画法直观图
【解析】解：如图，
过点C'作C'D' //y'轴，交x'轴于点D'，则∠C'D'B'=45°.
∵在Rt△B'C'D'中，B'C'=3， ∴C'D'= ，所以△ABC的边AB上的高CD==2C'D'= ， 所以A正确.
故答案选：A.
【分析】利用斜二测画法还原△ABC，计算边AB上的高即可.
（2021高一下·宣城期末）已知边长为2的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ）
A.B.C.D.
【答案】 C
【考点】斜二测画法直观图
【解析】如图， 是边长为2的正 的直观图，
则 ， ，则高 ，故 的面积 .
故答案为：C.
【分析】 根据斜二测画法与平面直观图的关系进行求解即可.
（2021高二下·丽水开学考）一个三角形的斜二测画法的直观图是一个边长为 的正三角形，则原三角形的面积等于 .
【答案】
【考点】斜二测画法直观图
【解析】解：根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积 与它的直观图的面积 之间的关系是 ，
本题中直观图的面积为 ，所以原三角形的面积等于 ．
故答案为：
【分析】 求出直观图正三角形的面积，利用一个平面图形的面积 与它的直观图的面积 之间的关系是 ，求出直观图的面积.
（2021高一下·济南期中）如图所示，在所有棱长均为1的直三核柱 上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行两周到达点A1 ， 则爬行的最短路程为 .
【答案】
【考点】棱柱的结构特征，空间几何体的直观图
【解析】解：将正三棱柱 沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，
在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值，
由已知可得矩形的长等于 ，宽等于1，
所以最短距离为
故答案为：
【分析】将正三棱柱 沿侧棱展开，再拼接一次，AN长度即是。
（2021高一下·湖北期末）利用斜二测画法得到 的直观图为 ，若 轴， 轴， ，则 的面积为 .
【答案】 1
【考点】斜二测画法直观图
【解析】设直观图 如图1，则 在直角坐标平面上有：
轴，且 , 轴，且 ,
所以
所以 的面积为 .
故答案为：1
【分析】 由斜二测画法的规则可得 ， ， 再根据三角形的面积公式即可得出。
（2021高一下·淮安期末）若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且 ， ，则该平面图形的面积为 .
【答案】
【考点】斜二测画法直观图
【解析】作 ， ，因为 ， ， ，
所以 ， .因此 ，
又根据斜二测画法的特征可得，在原图中
， ，即原图为直角梯形，且高为直观图中 的2倍，
所以该平面图形的面积为
。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合斜二测画法画直观图的方法，再结合原图与斜二测画法画出的直观图的关系，从而结合梯形的面积公式，从而求出该平面图形的面积。
（2020高一上·宁县期末）已知 的斜二测直观图如图所示，则 的面积为 .
【答案】 2
【考点】斜二测画法直观图
【解析】由题意， 的斜二测直观图的面积 ，
所以 的面积 .
故答案为：2.
【分析】求出斜二测直观图的面积，再由斜二测直观图的面积与原图的面积关系，即可求出 的面积。
（2021高一下·惠州期末）如图，一块边长为 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．
（1）请在答卷指定位置的空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图；
（不需要写步骤及作图过程）
（2）求该正四棱锥形容器的体积．
【答案】 （1）根据题意画出该四棱锥的直观图，如下：
（2）设加工后的正四棱锥为 ，易得地面是边长为 的正方形，斜高为50，所以棱锥高
正四棱锥形容器的体积为 ．
故所求正四棱锥形容器的体积为 ．
【考点】斜二测画法直观图，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】（1）利用已知条件结合斜二测画立体几何图形直观图的方法，从而在空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图。
（2）利用已知条件结合勾股定理求出棱锥的高，再利用四棱锥的体积公式，进而求出该正四棱锥形容器的体积。8.2 立体图形的直观图
一、水平放置的平面图形的直观图的画法
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
二、空间几何体的直观图的画法
立体图形直观图的画法步骤
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．
(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图．
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
三、直观图的还原与计算
由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．由此可得，直观图面积是原图形面积的倍．
考点一 平面图形的直观图
【例1】按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．
【练1】(2020·全国高一课时练习)用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图；
(1)直角边横向；(2)斜边横向.
考点二 空间几何体的直观图
【例2】用斜二测画法画一个棱长为3cm的正方体的直观图.
【练2】画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图并说明画法.
考点三 直观图与原图的周长面积
【例3】是边长为1的正三角形，那么的斜二测平面直观图的面积( )
A． B． C． D．
【练3】用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.已知点是斜边的中点，且，则的边边上的高为( )
A．1 B．2 C． D．
考点四 斜二测法
【例4】关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是( )
A．原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于轴,长度不变
B．原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于轴,长度变为原来的
C．在画与直角坐标系对应的坐标系时,必须是45°
D．在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同
【练4】(2020·全国高三专题练习)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是( )
A．原来相交的仍相交
B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行
D．原来共点的仍共点
课后练习
（2021高一下·宁波期末）如图，水平放置的矩形 ， ， ，则其直观图的面积为（ ）．
A. B.
C. D.
（2021高一下·江门月考）用斜二测画法画出水平放置的正方形ABCD的直观图，若直观图的面积为 ，则正方形ABCD的面积为
A.4 B.C.2 D.
（2021高一下·白城期末）如图，正方形 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ）
A.B.1 C.D.
（2021高一下·齐齐哈尔期中）如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为 （ ）
A. 6 B. 3
C. 3 D. 3
（2021高一下·宣城期末）已知边长为2的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ）
A.B.C.D.
（2021高二下·丽水开学考）一个三角形的斜二测画法的直观图是一个边长为 的正三角形，则原三角形的面积等于 .
（2021高一下·济南期中）如图所示，在所有棱长均为1的直三核柱 上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行两周到达点A1 ， 则爬行的最短路程为 .
（2021高一下·湖北期末）利用斜二测画法得到 的直观图为 ，若 轴， 轴， ，则 的面积为 .
（2021高一下·淮安期末）若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且 ， ，则该平面图形的面积为 .
（2020高一上·宁县期末）已知 的斜二测直观图如图所示，则 的面积为 .
（2021高一下·惠州期末）如图，一块边长为 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．
（1）请在答卷指定位置的空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图；
（不需要写步骤及作图过程）
（2）求该正四棱锥形容器的体积．
精讲答案
【例1】
【答案】参考答案见试题解析．
【解析】
画法：
(1)在图(1)中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H．
(2)在图(2)中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°．
(3)在图(2)中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD．
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图(3))．
【练1】
【答案】见解析.
【解析】(1)直角边横向如图①②.
(2)斜边横向如图③
【例2】
【答案】见解析
【解析】
如图所示：在空间直角坐标系中画出一个正方体的直观图，
擦除坐标轴，即可得到直方图的直观图.
【练2】
【答案】答案见解析.
【解析】
(1)画轴：画轴、轴、轴，(或)，，如左图；
(2)画底面：以为中心，在平面内，画出正方形水平放置的直观图；
(3)画顶点：在轴上截取，使的长度是原四棱锥的高；
(4)成图：顺次连接、、、，
并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如下图.
【例3】
【答案】A
【解析】
以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，
画对应的轴，轴，使，如下图所示，
结合图形，的面积为，
作，垂足为，
则，，
所以的面积，
即原图和直观图面积之间的关系为，
所以，的面积为.
故选：A.
【练3】
【答案】D
【解析】∵直观图是等腰直角三角形，，∴，根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半,
∴△的边上的高.故选D.
【例4】
【答案】C
【解析】根据斜二测画法的规则,平行于x轴或在x轴上的线段其长度在直观图中不变,平行于y轴或在y轴上的线段其长度在直观图中变为原来的,并且或135°,
故选：C.
【练4】
【答案】B
【解析】根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与轴平行的线段长度不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜，故原来垂直线段不一定垂直了；
故选：B．
练习答案
【答案】 C
【考点】平面图形的直观图，斜二测画法直观图
【解析】解：由题意作出该直观图，如图所示，
其中A'B'=3, ， ∠D'A'B'=45°，则
则
故答案为：C
【分析】根据直观图的画法规则，结合图象，运用等面积法求解即可.
【答案】 A
【考点】斜二测画法直观图，三角形中的几何计算
【解析】解：斜二测画法画出水平放置的正方形ABCD的直观图，
如图所示，设正方形的边长为a,
则直观图的面积为
则a=2，
则正方形ABCD的面积为a2=4.
故答案为：A
【分析】根据斜二测画法，结合三角形的面积公式求解即可.
【答案】 A
【考点】空间几何体的直观图，斜二测画法直观图
【解析】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，
所以OB= ， 对应原图形平行四边形的高为
所以原图形的面积为:
故答案为：A【分析】根据斜二测画法，结合平行四边形的面积公式求解即可.
【答案】 A
【考点】斜二测画法直观图
【解析】解：如图，
过点C'作C'D' //y'轴，交x'轴于点D'，则∠C'D'B'=45°.
∵在Rt△B'C'D'中，B'C'=3， ∴C'D'= ，所以△ABC的边AB上的高CD==2C'D'= ， 所以A正确.
故答案选：A.
【分析】利用斜二测画法还原△ABC，计算边AB上的高即可.
【答案】 C
【考点】斜二测画法直观图
【解析】如图， 是边长为2的正 的直观图，
则 ， ，则高 ，故 的面积 .
故答案为：C.
【分析】 根据斜二测画法与平面直观图的关系进行求解即可.
【答案】
【考点】斜二测画法直观图
【解析】解：根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积 与它的直观图的面积 之间的关系是 ，
本题中直观图的面积为 ，所以原三角形的面积等于 ．
故答案为：
【分析】 求出直观图正三角形的面积，利用一个平面图形的面积 与它的直观图的面积 之间的关系是 ，求出直观图的面积.
【答案】
【考点】棱柱的结构特征，空间几何体的直观图
【解析】解：将正三棱柱 沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，
在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值，
由已知可得矩形的长等于 ，宽等于1，
所以最短距离为
故答案为：
【分析】将正三棱柱 沿侧棱展开，再拼接一次，AN长度即是。
【答案】 1
【考点】斜二测画法直观图
【解析】设直观图 如图1，则 在直角坐标平面上有：
轴，且 , 轴，且 ,
所以
所以 的面积为 .
故答案为：1
【分析】 由斜二测画法的规则可得 ， ， 再根据三角形的面积公式即可得出。
【答案】
【考点】斜二测画法直观图
【解析】作 ， ，因为 ， ， ，
所以 ， .因此 ，
又根据斜二测画法的特征可得，在原图中
， ，即原图为直角梯形，且高为直观图中 的2倍，
所以该平面图形的面积为
。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合斜二测画法画直观图的方法，再结合原图与斜二测画法画出的直观图的关系，从而结合梯形的面积公式，从而求出该平面图形的面积。
【答案】 2
【考点】斜二测画法直观图
【解析】由题意， 的斜二测直观图的面积 ，
所以 的面积 .
故答案为：2.
【分析】求出斜二测直观图的面积，再由斜二测直观图的面积与原图的面积关系，即可求出 的面积。
【答案】 （1）根据题意画出该四棱锥的直观图，如下：
（2）设加工后的正四棱锥为 ，易得地面是边长为 的正方形，斜高为50，所以棱锥高
正四棱锥形容器的体积为 ．
故所求正四棱锥形容器的体积为 ．
【考点】斜二测画法直观图，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】（1）利用已知条件结合斜二测画立体几何图形直观图的方法，从而在空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图。
（2）利用已知条件结合勾股定理求出棱锥的高，再利用四棱锥的体积公式，进而求出该正四棱锥形容器的体积。

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