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8.5 空间直线、平面的平行
一、基本事实4
文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行
图形语言：
符号语言：直线a，b，c，a∥b，b∥c a∥c
作用：证明两条直线平行
说明：基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性
解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
二、空间等角定理
1．定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
2.推论：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．
三、等角定理的应用
等角定理的结论是两个角相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能．
四、直线与平面平行的判定定理
文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号语言：a α，b α，a∥b a∥α
图形语言：
利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等．
五、直线与平面平行的性质定理
文字语言：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
符号语言：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
图形语言：
线面平行的性质定理和判定定理经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得到线线平行．
六、平面与平面平行的判定定理
平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 α∥β
图形语言
两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行．
七、平面与平面平行的性质定理的应用
两个平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
图形语言
利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤
(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条．
(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)．
(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上．
(4)由定理得出结论．
八、行问题的综合应用
(1)证明线面平行的两种方法：一是由线线平行推出线面平行；二是由面面平行推出线面平行．
(2)线线平行、线面平行、面面平行三者之间可以相互转化，要注意转化思想的灵活运用．
考点一 线面平行
【例1】(2020·陕西西安市·高一期末)如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求证：平面；
【答案】详见解析
【解析】如图所示：
连接与交于点O，连接OD，
因为O，D为中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
【练1】(2021·全国高一课时练习)如图所示，已知正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形为( )
A．① B．①② C．② D．①②③
【答案】C
【解析】①中，平移至，知与面只有一个交点，则与面不平行；
②中，在正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则易知，而平面，平面，故平面；
③中，同①平移至，知与面只有一个交点，则与面不平行；
故选：C．
考点二 面面平行
【例2】(2021·全国高一专题练习)下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】B中，可证AB∥DE，BC∥DF，故可以证明AB∥平面DEF，BC∥平面DEF．又AB∩BC＝B，所以平面ABC∥平面DEF．故选B．
【练2】(2020·浙江杭州市·高一期末)已知直线a与平面，能使的充分条件是( )
① ② ③ ④
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
【答案】D
【解析】对①，若，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故①错误；
对②，若，则，平面的平行具有传递性，故②正确；
对③，若，平行于同一直线的两平面可以相交，故③错误；
对④，，垂直于同一直线的两平面平行，故④正确.
综上：②④正确，
故选：D.
考法三 平行的综合运用
【例3】(2021·全国高一)已知直线a，b和平面，下列命题中正确的是( )
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则或
【答案】D
【解析】对于A，若，，则或a与b异面；所以A错；
对于B，若，，则或a与b相交或a与b异面；所以B错；
对于C，若，，则或，所以C错；
对于D，因为，所以在内存在直线c使得，因为，所以，因为，所以或，
当时，因为，，所以，故D正确；
故选：D．
【练3】(2020·全国高一课时练习)(多选题)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：
其中推断正确的序号是( )
A．FG∥平面AA1D1D； B．EF∥平面BC1D1；
C．FG∥平面BC1D1； D．平面EFG∥平面BC1D1
【答案】AC
【解析】在正方体中，，，分别是，，的中点，
，，，
平面，平面，平面，故A正确；
，与平面相交，与平面相交，故B错误；
，，分别是，，的中点，
，平面，平面，
平面，故C正确；
与平面相交，平面与平面相交，故D错误．
故选：AC．
考点四 线面、面面平行的性质
【例4】(2020·全国高一课时练习)在如图所示的几何体中，、、分别是、、的中点，．求证：平面．
【答案】证明见解析
【解析】证明：已知，分别是和的中点，再取的中点，
则，又，，
而平面，平面．
同理，，而平面，平面．
，
平面平面，
平面，平面.
【练4】(2021·陕西省黄陵县中学高一期末)如图，梯形中，，E是的中点，过和点E的平面与交于点F.求证：.
【答案】证明见解析
【解析】∵，平面，平面，
∴平面，
∵平面，平面平面，
∴
课后练习
（2021·贵州模拟）如图， ， ， ， 分别是直三棱柱的顶点或所在棱的中点，则在下列图形中 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】 D
【考点】棱柱的结构特征，直线与平面平行的性质
【解析】解：对于A，若 ，可得 ， ， ， 四点共面，则直线 ， 共面，
这与 ， 异面矛盾，所以A中的两直线不平行；
由异面直线的定义可得B，C中的两直线 ， 为异面直线；
由 ， 为中点，可得 ，且 ，则四边形 为平行四边形，
D中的两直线为平行直线.
故答案为：D.
【分析】根据题意由三棱柱的几何性质结合线面平行的性质定理以及异面直线的定义对选项逐一判断即可得出答案。
（2021·马鞍山模拟）我国的古代医学著作《神农本草经》中最早记录了蜜蜂蜂巢的药用功效.蜜蜂的蜂巢是由数千个蜂房组成的，如图是一个蜂房的结构示意图，它的几何结构是正六棱柱形，其一端是正六边形开口，另一端则由三个全等的菱形组成.经过测量，某蜂巢一个蜂房的正六边形的边长约为 ，菱形边长约为 ，则该菱形较小角的余弦值约为（ ）(参考数据： ， )
A. 0.333 B. 0.4
C. 0.5 D. 0.667
【答案】 A
【考点】直线与平面平行的性质，与二面角有关的立体几何综合题，余弦定理
【解析】如图所示：
且 ，
在 中， ， ，∴ ，
∵ ，
在 中， ，
所以菱形较小角的余弦值为0.333.
故答案为：A.
【分析】根据题意结合棱柱的几何性质得出线线平行以及边之间的关系，再由三角形中的计算关系结合余弦定理代入数值计算出结果即可。
（2021高三上·河南月考）设 ， 是两个不重合的平面， ， 是两条直线，下列命题中，真命题是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ， ，则
【答案】 C
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】在正方体中分别取平面和直线进行验证：
对于A：如图示，所取的直线m、n和平面 满足 ， ，但是 .A不符合题意；
对于B：如图示，所取的直线m和平面 满足 ， ，但是 相交.B不符合题意；
对于C：
因为 ，过m的一个平面 ，则 .
因为 ，所以 .
又 ，所以 .
C符合题意.
对于D：如图示，所取的直线m、n和平面 满足 ， ， ，但是 .D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据题意由平面与直线、平面与平面的位置关系，对选项逐一判断即可得出答案。
（2021高一下·房山期末）设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线， ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，平面与平面平行的判定
【解析】解： ，若 ，则 ，
又 ， ；
反之， ，若 ，则 ，
又 ， ．
可得 ， ，则“ ”是“ ”的充分必要条件．
故答案为：C．
【分析】 由 ， , m//n，可得 ；反之,由 ， ， ,可得m//n,再由充分必要条件的判定得答案.
（2021高二下·湖北开学考）已知直线l在平面 外，且 是直线l的方向向量， 是平面 的法向量，则直线l与平面 的位置关系为 .
【答案】 平行
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系，直线与平面平行的判定
【解析】因为 ，
且直线l在平面 外，
所以直线l与平面 平行.
故答案为：平行.
【分析】利用数量积为0两向量垂直的等价关系结合数量积的坐标表示，再利用直线l在平面 外，从而推出直线l与平面 平行。
（2021高一下·延庆期末）在空间中，两条平行直线是指 ， 并且没有公共点的两条直线.
【答案】 在同一平面内
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】根于定义：在空间中，两条平行直线是指在同一平面内，并且没有公共点的两条直线.
故答案为：在同一平面内.
【分析】根据空间中两条平行线的定义可得答案。
（2021高二上·砀山月考）已知两个平面 ， 的法向量分别是 和 ，若 ，则 .
【答案】 8
【考点】向量的共线定理，平面与平面平行的判定
【解析】解：∵
∴
∴存在实数k，使得
∴ ， 解得
∴x+y=8
故答案为：8
【分析】根据平面与平面平行的的判定，结合向量平行的充要条件求解即可.
已知 在平面 内， ， 平面 ，则直线 与 的位置关系是________.
【答案】 垂直
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】 平面 ， 平面 ， ,
在 中， ， ，
且 ，
平面 ， 平面 ，
。
故答案为：垂直.
【分析】利用线面垂直的定义证出线线垂直，即 ,在 中，因为 ， 所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，即 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而判断出直线 与 的位置关系。
（2021高一下·常州期末）如图，在棱长为 的正方体 中，点 分别是棱 的中点，则由点 确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 .
【答案】
【考点】直线与平面平行的性质
【解析】分别取 中点 ， 中点 ， 中点 ，
可得出过 ， ， 三点的平面截正方体所得截而为正六边形 ，
则正六边形的边长 ，
故截面多边形的面积等于 .
故答案为： .
【分析】 分别取AD中点P，CC1中点M，AA1中点N，可得出过E，F，G三点的平面截正方体所得截面为正六边形EFMGPN，由此能求出过E，F，G三点的平面截正方体所得截面面积.
（2021高二上·浦东新期中）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面 与两直线 ，又知 在 内的射影为 ，在 内的射影为 ．试写出 与 满足的条件，使之一定能成为 是异面直线的充分条件
【答案】 s1∥s2 ， 并且t1与t2相交（t1∥t2 ， 并且s1与s2相交）
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】作图易得“能成为 是异面直线的充分条件”的是“s1∥s2 ， 并且t1与t2相”交或“t1∥t2 ， 并且s1与s2相交”．
【分析】 由已知条件即可得出当两直线在一个平面内的射影是两条平行线，在另一个相交面内的射影是两条相交直线时，由此即可得到这两条直线一定是异面直线，结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
（2021高一下·通州期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，点E，F分别是PD，BC的中点．
（1）求证：平面PBC⊥平面PDC；
（2）在线段PC上确定一点G，使平面EFG∥平面PAB，并给出证明；
（3）求二面角P－AC－D的正弦值，并求出D到平面PAC的距离．
【答案】 （1） 平面 ， 平面 ，故 .
正方形 ，故 ， ，故 平面 ，
平面 ，故平面 平面 .
（2） 为 中点， 为 中点， 为 中点，故 ， ，即 ，
平面 ， 平面 ，故 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ，且 ，故平面 平面 .
（3） 为 中点，连接 ，则 ，
平面 ， 平面 ，故 ， ，
故 平面 ，故 为二面角 的平面角.
， ， .
作 于 ， 平面 ， 平面 ，故 ，
， ，故 平面 ，D到平面PAC的距离为 .
中，根据面积法： .
【考点】平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，点、线、面间的距离计算
【解析】(1)利用PD平面ABCD得出PD⊥BC，ABCD是正方形得出CD⊥BC，即证BC⊥平面PCD，平面PBC平面PCD；
(2)取PC的中点G，连接EG，FG，得出平面EFG//平面PAB；利用平面与平面平行的判定定理证明即可；
(3)连接BD交AC于点O，连接PO，∠POD是二面角P-AC-D的平面角，求出sin∠POD，过点D作DN⊥PO，交PO于点N，DN是点D到平面PAC的距离，利用等面积法求出DN.
（2021·江西模拟）如图， 是 的直径，动点P在 所在平面上的射影恰是 上的动点C， ，D是 的中点， 与 交于点E，F是 上的一个动点．
（1）若 平面 ，求 的值；
（2）若F为 的中点， ，求直线 与平面 所成角的余弦值．
【答案】 （1）解：因为 平面 ，所以 ，
所以 ．因为D，O分别为 的中点，
所以点E为 的重心，所以 ，即
（2）解：如图所示建立空间直角坐标系．
∴ ．
∵ ．
∴
设平面 的法向量为
，∴ 令 ，∴
直线 与平面 所成角的余弦值为
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面平行的性质，空间向量的数量积运算，用空间向量求直线与平面的夹角
【分析】(1)根据题意已知条件由线面平行的性质定理即可得到线线平行，进而得到再由中点以及重心的定义即可得出答案。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到直线 与平面 所成角的余弦值 。
（2021高一下·绍兴期末）如图，在长方体 中， ， ．
（Ⅰ）求长方体的表面积；
（Ⅱ）若 是棱 的中点，求四棱锥 的体积．
【答案】 解：（Ⅰ）因为 ， ，
又 ，
所以 ，
所以，长方体的表面积为 ．
（Ⅱ）因为 平面 ，
所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离，
所以四棱锥 的体积为
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的性质
【解析】（Ⅰ）根据长方体的表面积公式直接求解即可；
（Ⅱ）根据直线与平面平行的性质定理，结合棱锥的体积公式求解即可.
（2021·成都模拟）已知四棱锥 及其三视图如图所示，其底面 是正方形，且平面 平面 ，当 、 分别是棱 、 的中点时，连接 、 ．
（1）证明：直线 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】 （1）证明：由三视图可知， ， ， ，
即 ， ， ， .
因为四边形 为正方形， ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 .
取 的中点为 ，连接 、 ，
由 、 分别是 、 中点，则 且 ，
由 为 的中点，则 且 ，所以， 且 ，
所以四边形 为平行四边形，则 ，
平面 ， 平面 ，因此， 平面
（2）解：以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，其中 、 、 、 、 ，
设平面 的法向量 ， ， ，
由 ，令 ，则 ， ，可得 ，
由 ，则 ，
因此，直线 与平面 所成角的正弦值为
【考点】直线与平面平行的判定，空间向量的数量积运算，用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】 (1)根据题意结合三视图的性质即可得出该几何体的形状，结合三角形的几何性质由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，再中点的性质得出线线平行结合线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面PAB法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面PAB的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此即可得到到直线 与平面 所成角的正弦值 。
（2021·攀枝花模拟）如图，三棱锥 中， 面 ，△ 为正三角形，点 在棱 上，且 ， 、 分别是棱 、 的中点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）求几何体 的体积．
【答案】 （1）证明：∵ 、 分别是棱 、 的中点，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，则
（2）解：∵△ 为正三角形，且边长为6， 面 ， ，
∴ ，
又 ，∴ ， 到 的距离为 ，
则 ，
到平面 的距离为 到平面 距离的一半，为 ．
∴ ，
则
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定
【解析】(1)由已知可得 ， 得到//平面BCDE，再由直线与平面平行的性质得到DE//BC;
(2)首先根据题意求出三棱锥P-ABC的体积，再由等体积法求出的体积，然后作差可得几何体的体积.8.5 空间直线、平面的平行
一、基本事实4
文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行
图形语言：
符号语言：直线a，b，c，a∥b，b∥c a∥c
作用：证明两条直线平行
说明：基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性
解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
二、空间等角定理
1．定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
2.推论：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．
三、等角定理的应用
等角定理的结论是两个角相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能．
四、直线与平面平行的判定定理
文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号语言：a α，b α，a∥b a∥α
图形语言：
利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等．
五、直线与平面平行的性质定理
文字语言：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
符号语言：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
图形语言：
线面平行的性质定理和判定定理经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得到线线平行．
六、平面与平面平行的判定定理
平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 α∥β
图形语言
两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行．
七、平面与平面平行的性质定理的应用
两个平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
图形语言
利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤
(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条．
(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)．
(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上．
(4)由定理得出结论．
八、行问题的综合应用
(1)证明线面平行的两种方法：一是由线线平行推出线面平行；二是由面面平行推出线面平行．
(2)线线平行、线面平行、面面平行三者之间可以相互转化，要注意转化思想的灵活运用．
考点一 线面平行
【例1】(2020·陕西西安市·高一期末)如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求证：平面；
【练1】(2021·全国高一课时练习)如图所示，已知正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形为( )
A．① B．①② C．② D．①②③
考点二 面面平行
【例2】(2021·全国高一专题练习)下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是
A． B． C． D．
【练2】(2020·浙江杭州市·高一期末)已知直线a与平面，能使的充分条件是( )
① ② ③ ④
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
考法三 平行的综合运用
【例3】(2021·全国高一)已知直线a，b和平面，下列命题中正确的是( )
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则或
【练3】(2020·全国高一课时练习)(多选题)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：
其中推断正确的序号是( )
A．FG∥平面AA1D1D； B．EF∥平面BC1D1；
C．FG∥平面BC1D1； D．平面EFG∥平面BC1D1
考点四 线面、面面平行的性质
【例4】(2020·全国高一课时练习)在如图所示的几何体中，、、分别是、、的中点，．求证：平面．
【练4】(2021·陕西省黄陵县中学高一期末)如图，梯形中，，E是的中点，过和点E的平面与交于点F.求证：.
课后练习
（2021·贵州模拟）如图， ， ， ， 分别是直三棱柱的顶点或所在棱的中点，则在下列图形中 的是（ ）
A. B.
C. D.
（2021·马鞍山模拟）我国的古代医学著作《神农本草经》中最早记录了蜜蜂蜂巢的药用功效.蜜蜂的蜂巢是由数千个蜂房组成的，如图是一个蜂房的结构示意图，它的几何结构是正六棱柱形，其一端是正六边形开口，另一端则由三个全等的菱形组成.经过测量，某蜂巢一个蜂房的正六边形的边长约为 ，菱形边长约为 ，则该菱形较小角的余弦值约为（ ）(参考数据： ， )
A. 0.333 B. 0.4
C. 0.5 D. 0.667
（2021高三上·河南月考）设 ， 是两个不重合的平面， ， 是两条直线，下列命题中，真命题是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ， ，则
（2021高一下·房山期末）设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线， ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
（2021高二下·湖北开学考）已知直线l在平面 外，且 是直线l的方向向量， 是平面 的法向量，则直线l与平面 的位置关系为 .
（2021高一下·延庆期末）在空间中，两条平行直线是指 ， 并且没有公共点的两条直线.
（2021高二上·砀山月考）已知两个平面 ， 的法向量分别是 和 ，若 ，则 .
已知 在平面 内， ， 平面 ，则直线 与 的位置关系是________.
（2021高一下·常州期末）如图，在棱长为 的正方体 中，点 分别是棱 的中点，则由点 确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 .
（2021高二上·浦东新期中）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面 与两直线 ，又知 在 内的射影为 ，在 内的射影为 ．试写出 与 满足的条件，使之一定能成为 是异面直线的充分条件
（2021高一下·通州期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，点E，F分别是PD，BC的中点．
（1）求证：平面PBC⊥平面PDC；
（2）在线段PC上确定一点G，使平面EFG∥平面PAB，并给出证明；
（3）求二面角P－AC－D的正弦值，并求出D到平面PAC的距离．
（2021·江西模拟）如图， 是 的直径，动点P在 所在平面上的射影恰是 上的动点C， ，D是 的中点， 与 交于点E，F是 上的一个动点．
（1）若 平面 ，求 的值；
（2）若F为 的中点， ，求直线 与平面 所成角的余弦值．
（2021高一下·绍兴期末）如图，在长方体 中， ， ．
（Ⅰ）求长方体的表面积；
（Ⅱ）若 是棱 的中点，求四棱锥 的体积．
（2021·成都模拟）已知四棱锥 及其三视图如图所示，其底面 是正方形，且平面 平面 ，当 、 分别是棱 、 的中点时，连接 、 ．
（1）证明：直线 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（2021·攀枝花模拟）如图，三棱锥 中， 面 ，△ 为正三角形，点 在棱 上，且 ， 、 分别是棱 、 的中点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）求几何体 的体积．
精讲答案
【例1】
【答案】详见解析
【解析】如图所示：
连接与交于点O，连接OD，
因为O，D为中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
【练1】
【答案】C
【解析】①中，平移至，知与面只有一个交点，则与面不平行；
②中，在正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则易知，而平面，平面，故平面；
③中，同①平移至，知与面只有一个交点，则与面不平行；
故选：C．
【例2】
【答案】B
【解析】B中，可证AB∥DE，BC∥DF，故可以证明AB∥平面DEF，BC∥平面DEF．又AB∩BC＝B，所以平面ABC∥平面DEF．故选B．
【练2】
【答案】D
【解析】对①，若，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故①错误；
对②，若，则，平面的平行具有传递性，故②正确；
对③，若，平行于同一直线的两平面可以相交，故③错误；
对④，，垂直于同一直线的两平面平行，故④正确.
综上：②④正确，
故选：D.
【例3】
【答案】D
【解析】对于A，若，，则或a与b异面；所以A错；
对于B，若，，则或a与b相交或a与b异面；所以B错；
对于C，若，，则或，所以C错；
对于D，因为，所以在内存在直线c使得，因为，所以，因为，所以或，
当时，因为，，所以，故D正确；
故选：D．
【练3】
【答案】AC
【解析】在正方体中，，，分别是，，的中点，
，，，
平面，平面，平面，故A正确；
，与平面相交，与平面相交，故B错误；
，，分别是，，的中点，
，平面，平面，
平面，故C正确；
与平面相交，平面与平面相交，故D错误．
故选：AC．
【例4】
【答案】证明见解析
【解析】证明：已知，分别是和的中点，再取的中点，
则，又，，
而平面，平面．
同理，，而平面，平面．
，
平面平面，
平面，平面.
【练4】
【答案】证明见解析
【解析】∵，平面，平面，
∴平面，
∵平面，平面平面，
∴
练习答案
【答案】 D
【考点】棱柱的结构特征，直线与平面平行的性质
【解析】解：对于A，若 ，可得 ， ， ， 四点共面，则直线 ， 共面，
这与 ， 异面矛盾，所以A中的两直线不平行；
由异面直线的定义可得B，C中的两直线 ， 为异面直线；
由 ， 为中点，可得 ，且 ，则四边形 为平行四边形，
D中的两直线为平行直线.
故答案为：D.
【分析】根据题意由三棱柱的几何性质结合线面平行的性质定理以及异面直线的定义对选项逐一判断即可得出答案。
【答案】 A
【考点】直线与平面平行的性质，与二面角有关的立体几何综合题，余弦定理
【解析】如图所示：
且 ，
在 中， ， ，∴ ，
∵ ，
在 中， ，
所以菱形较小角的余弦值为0.333.
故答案为：A.
【分析】根据题意结合棱柱的几何性质得出线线平行以及边之间的关系，再由三角形中的计算关系结合余弦定理代入数值计算出结果即可。
【答案】 C
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】在正方体中分别取平面和直线进行验证：
对于A：如图示，所取的直线m、n和平面 满足 ， ，但是 .A不符合题意；
对于B：如图示，所取的直线m和平面 满足 ， ，但是 相交.B不符合题意；
对于C：
因为 ，过m的一个平面 ，则 .
因为 ，所以 .
又 ，所以 .
C符合题意.
对于D：如图示，所取的直线m、n和平面 满足 ， ， ，但是 .D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据题意由平面与直线、平面与平面的位置关系，对选项逐一判断即可得出答案。
【答案】 C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，平面与平面平行的判定
【解析】解： ，若 ，则 ，
又 ， ；
反之， ，若 ，则 ，
又 ， ．
可得 ， ，则“ ”是“ ”的充分必要条件．
故答案为：C．
【分析】 由 ， , m//n，可得 ；反之,由 ， ， ,可得m//n,再由充分必要条件的判定得答案.
【答案】 平行
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系，直线与平面平行的判定
【解析】因为 ，
且直线l在平面 外，
所以直线l与平面 平行.
故答案为：平行.
【分析】利用数量积为0两向量垂直的等价关系结合数量积的坐标表示，再利用直线l在平面 外，从而推出直线l与平面 平行。
【答案】 在同一平面内
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】根于定义：在空间中，两条平行直线是指在同一平面内，并且没有公共点的两条直线.
故答案为：在同一平面内.
【分析】根据空间中两条平行线的定义可得答案。
【答案】 8
【考点】向量的共线定理，平面与平面平行的判定
【解析】解：∵
∴
∴存在实数k，使得
∴ ， 解得
∴x+y=8
故答案为：8
【分析】根据平面与平面平行的的判定，结合向量平行的充要条件求解即可.
【答案】 垂直
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】 平面 ， 平面 ， ,
在 中， ， ，
且 ，
平面 ， 平面 ，
。
故答案为：垂直.
【分析】利用线面垂直的定义证出线线垂直，即 ,在 中，因为 ， 所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，即 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而判断出直线 与 的位置关系。
【答案】
【考点】直线与平面平行的性质
【解析】分别取 中点 ， 中点 ， 中点 ，
可得出过 ， ， 三点的平面截正方体所得截而为正六边形 ，
则正六边形的边长 ，
故截面多边形的面积等于 .
故答案为： .
【分析】 分别取AD中点P，CC1中点M，AA1中点N，可得出过E，F，G三点的平面截正方体所得截面为正六边形EFMGPN，由此能求出过E，F，G三点的平面截正方体所得截面面积.
【答案】 s1∥s2 ， 并且t1与t2相交（t1∥t2 ， 并且s1与s2相交）
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】作图易得“能成为 是异面直线的充分条件”的是“s1∥s2 ， 并且t1与t2相”交或“t1∥t2 ， 并且s1与s2相交”．
【分析】 由已知条件即可得出当两直线在一个平面内的射影是两条平行线，在另一个相交面内的射影是两条相交直线时，由此即可得到这两条直线一定是异面直线，结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
【答案】 （1） 平面 ， 平面 ，故 .
正方形 ，故 ， ，故 平面 ，
平面 ，故平面 平面 .
（2） 为 中点， 为 中点， 为 中点，故 ， ，即 ，
平面 ， 平面 ，故 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ，且 ，故平面 平面 .
（3） 为 中点，连接 ，则 ，
平面 ， 平面 ，故 ， ，
故 平面 ，故 为二面角 的平面角.
， ， .
作 于 ， 平面 ， 平面 ，故 ，
， ，故 平面 ，D到平面PAC的距离为 .
中，根据面积法： .
【考点】平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，点、线、面间的距离计算
【解析】(1)利用PD平面ABCD得出PD⊥BC，ABCD是正方形得出CD⊥BC，即证BC⊥平面PCD，平面PBC平面PCD；
(2)取PC的中点G，连接EG，FG，得出平面EFG//平面PAB；利用平面与平面平行的判定定理证明即可；
(3)连接BD交AC于点O，连接PO，∠POD是二面角P-AC-D的平面角，求出sin∠POD，过点D作DN⊥PO，交PO于点N，DN是点D到平面PAC的距离，利用等面积法求出DN.
【答案】 （1）解：因为 平面 ，所以 ，
所以 ．因为D，O分别为 的中点，
所以点E为 的重心，所以 ，即
（2）解：如图所示建立空间直角坐标系．
∴ ．
∵ ．
∴
设平面 的法向量为
，∴ 令 ，∴
直线 与平面 所成角的余弦值为
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面平行的性质，空间向量的数量积运算，用空间向量求直线与平面的夹角
【分析】(1)根据题意已知条件由线面平行的性质定理即可得到线线平行，进而得到再由中点以及重心的定义即可得出答案。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到直线 与平面 所成角的余弦值 。
【答案】 解：（Ⅰ）因为 ， ，
又 ，
所以 ，
所以，长方体的表面积为 ．
（Ⅱ）因为 平面 ，
所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离，
所以四棱锥 的体积为
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的性质
【解析】（Ⅰ）根据长方体的表面积公式直接求解即可；
（Ⅱ）根据直线与平面平行的性质定理，结合棱锥的体积公式求解即可.
【答案】 （1）证明：由三视图可知， ， ， ，
即 ， ， ， .
因为四边形 为正方形， ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 .
取 的中点为 ，连接 、 ，
由 、 分别是 、 中点，则 且 ，
由 为 的中点，则 且 ，所以， 且 ，
所以四边形 为平行四边形，则 ，
平面 ， 平面 ，因此， 平面
（2）解：以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，其中 、 、 、 、 ，
设平面 的法向量 ， ， ，
由 ，令 ，则 ， ，可得 ，
由 ，则 ，
因此，直线 与平面 所成角的正弦值为
【考点】直线与平面平行的判定，空间向量的数量积运算，用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】 (1)根据题意结合三视图的性质即可得出该几何体的形状，结合三角形的几何性质由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，再中点的性质得出线线平行结合线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面PAB法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面PAB的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此即可得到到直线 与平面 所成角的正弦值 。
【答案】 （1）证明：∵ 、 分别是棱 、 的中点，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，则
（2）解：∵△ 为正三角形，且边长为6， 面 ， ，
∴ ，
又 ，∴ ， 到 的距离为 ，
则 ，
到平面 的距离为 到平面 距离的一半，为 ．
∴ ，
则
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定
【解析】(1)由已知可得 ， 得到//平面BCDE，再由直线与平面平行的性质得到DE//BC;
(2)首先根据题意求出三棱锥P-ABC的体积，再由等体积法求出的体积，然后作差可得几何体的体积.

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