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10.2 事件的相互独立性
一、相互独立事件的概念
如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立．
二、相互独立事件的性质
1．如果事件A与事件B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
2．一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的乘积．
三、相互独立事件概率的计算
(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤
①首先确定各事件之间是相互独立的．
②求出每个事件的概率，再求积．
(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的．
四、相互独立事件概率的计算
求解相互独立事件的概率的具体步骤
(1)确定诸事件是否相互独立；
(2)确定诸事件是否会同时发生；
(3)先确定每个事件的概率，再计算其积．
五、相互独立事件的综合应用
求较复杂事件的概率的一般步骤
(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示．
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式．
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
考点一 相互独立事件的判断
【例1】(多选)(2021·全国专题练习)下列各对事件中,不是相互独立事件的有( )
A．运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B．甲 乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲 乙两运动员各射击一次,“甲 乙都射中目标”与“甲 乙都没有射中目标”
D．甲 乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
【答案】ACD
【解析】在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B中,甲 乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C中,甲,乙各射击一次,“甲 乙都射中目标”与“甲 乙都没有射中目标“不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则,因此当时,,故A B不独立,故选：ACD
【练1】(2020·全国专题练习)下列各对事件中,不是相互独立事件的有( )
A．运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B．甲 乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲 乙两运动员各射击一次,“甲 乙都射中目标”与“甲 乙都没有射中目标”
D．甲 乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
【答案】ACD
【解析】在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B中,甲 乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C中,甲,乙各射击一次,“甲 乙都射中目标”与“甲 乙都没有射中目标“不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则,因此当时,,故A B不独立,
故选：ACD
考点二 利用概率判断互斥对立事件
【例2】(2021·山东泰安市)在一个随机试验中，彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，则下列说法正确的是( )
A．与是互斥事件，也是对立事件
B．与是互斥事件，也是对立事件
C．与是互斥事件，但不是对立事件
D．与是互斥事件，也是对立事件
【答案】D
【解析】因为彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，
所以与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故A错；
与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故B错；
与是互斥事件，且，所以也是对立事件，故C错；
与是互斥事件，且，
所以也是对立事件，故D正确.
故选：D.
【练2】(2021·湖南娄底市)下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．
其中正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.
考点三 相互独立事件概率计算
【例3】(2021·山东菏泽市)甲 乙 丙三人独立地去译一个密码,译出的概率分别,,,则此密码能被译出的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】用事件A,B,C分别表示甲 乙 丙三人能破译出密码,则,,,且.
∴此密码能被译出的概率为.故选：C
【练3】(2021·北京房山区·高一期末)暑假期间，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是__________.
【答案】
【解析】设“暑假期间两人中至少有一人外出旅游”为事件，则其对立事件
为“暑假期间两人都未外出旅游”，则，
所以.
故答案为：.
课后练习
（2017·浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6 ， S6= ．
【答案】
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：如图所示，
单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，
△AOB是边长为1的正三角形，
所以正六边形ABCDEF的面积为
S6=6× ×1×1×sin60°= ．
故答案为： ．
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．
（2017·石嘴山模拟）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ．
【答案】 0.38
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，
∵随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，
∴由几何槪型的概率公式进行估计得 ，
即S=0.38，
故答案为：0.38．
【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论．
（2017高一上·邢台期末）如图，面积为10的矩形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在矩形中随机撒一粒种子，它落在阴影区域内的概率为 ，则阴影区域的面积为 ．
【答案】 6
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：由题意， = ，
∴S阴影=10× =6，
故答案为6．
【分析】根据概率之比等于面积之比可得。
在边长为2的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积．若在正方形ABCD中随机产生了10000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2000个，则在这次模拟中，不规则图形M的面积的估计值为 ．
【答案】
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：由题意，∵在正方形ABCD中随机产生了10000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2000个，
∴概率P= ，
∵边长为2的正方形ABCD的面积为4，
∴不规则图形M的面积的估计值为 ．
故答案为：
【分析】先利用古典概型的概率公式求概率，再求不规则图形M的面积的估计值．
如图所示，分别以A，B，C为圆心，在△ABC内作半径为2的扇形（图中的阴影部分），在△ABC内任取一点P，如果点P落在阴影内的概率为 ， 那么△ABC的面积是 ．
【答案】 6π
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：由题意知本题是一个几何概型，
∵试验发生包含的所有事件是直角三角形的面积S，
阴影部分的面积S1=π22=2π．
点P落在区域M内的概率为P= ．
故S=6π，
故答案为：6π．
【分析】由题意知本题是一个几何概型，先试验发生包含的所有事件是三角形的面积S，然后求出阴影部分的面积，代入几何概率的计算公式即可求解．
（2016高二上·昌吉期中）如图所示，分别以A，B，C为圆心，在△ABC内作半径为2的扇形（图中的阴影部分），在△ABC内任取一点P，如果点P落在阴影内的概率为 ，那么△ABC的面积是 ．
【答案】 6π
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：由题意知本题是一个几何概型，
∵试验发生包含的所有事件是直角三角形的面积S，
阴影部分的面积S1= π22=2π．
点P落在区域M内的概率为P= = ．
故S=6π，
故答案为：6π．
【分析】由题意知本题是一个几何概型，先试验发生包含的所有事件是三角形的面积S，然后求出阴影部分的面积，代入几何概率的计算公式即可求解．
（2017高二上·荆门期末）由计算机产生2n个0～1之间的均匀随机数x1 ， x2 ， …xn ， y1 ， y2 ， …yn ， 构成n个数对（x1 ， y1），（x2y2），…（xn ， yn）其中两数能与1构成钝角三角形三边的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 ．
【答案】
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：由题意，n对0～1之间的均匀随机数x，y，满足 ，相应平面区域面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足 且
面积为 ，所以 ，得π= ．
故答案为 ．
【分析】利用n对0～1之间的均匀随机数x，y，满足 ，相应平面区域面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足 且 ，面积为 ，结合面积比，即可得出结论．
（2017·桂林模拟）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m=56，那么可以估计π≈ ． （用分数表示）
【答案】
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：由题意，200对都小于l的正实数对（x，y），对应区域的面积为1，
两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面积为 ﹣ ，
因为统计两数能与l 构成钝角三角形三边的数对（x，y） 的个数m=56，
所以 = ﹣ ，所以π= ．
故答案为： ．
【分析】由试验结果知200对0～1之间的均匀随机数x，y，对应区域的面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面积为 ﹣ ，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．
某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据 用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.A地区用户满意度评分的频率分布直方图
B地区用户满意度评分的频率分布表
满意度评分分组 [50，60) [50，60) [50,60) [50,60) [50,60)
频数 2 8 14 10 6
（1）（I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分 散 程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
（2）（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.
【答案】 （1）
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区用户满意度评分比较集中，A地区用户满意度评分比较分散。
（2）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.
【考点】频率分布直方图，模拟方法估计概率
【解析】(I)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散
（II）记CA表示事件A地区的用户满意度等级为“不满意”；CB表示事件B地区的用户满意度等级为“不满意”，由直方图得P（CA）的估值为（0.01+0.02+0.03）X10=0.6，P（CB）的估值为（0.005+0.02）X10=0.25
所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.
【分析】本题考查主要内容是频率分布直方图及应用,注意在制作频率分布直方图或利用频率分布直方图估计概率时容易出现的一个错误是误将频率当作纵坐标画图错误或估计概率错误,故提醒考生：频率分布直方图中纵坐标是频率/组距,而不是频率.
某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖，求（1）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（2）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。。
（1）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（2）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。
【答案】 （1）
（2）说法不正确；理由如下，由（1）知所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为。 A 1 a 1 A 2 , a 1 A 2 , a 2 A 1 , a 2 共四种，，所以中奖的概率为 4 12 = 1 3 ，不中奖的概率为 1 - 1 3 = 2 3 > 1 3 ,故这种说法不正确
【考点】概率的基本性质，模拟方法估计概率，概率的应用
【解析】（1）利用列举法列出所有可能的结果即可；II在（1）中摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率，中奖概率大于不中奖概率是错误的；
所有可能的摸出结果是
（2）不正确，理由如下，由（1）知所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为。共四种，，所以中奖的概率为 ， 不中奖的概率为,故这种说法不正确
【分析】古典概型中基本事件的探求方法
1．枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．
2．树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．
一份测试题包括6道选择题，每题只有一个选项是正确的．如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率．
【答案】 解: 我们通过设计模拟试验的方法来解决问题．利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数．我们用0表示猜的选项正确，1,2,3表示猜的选项错误，这样可以体现猜对的概率是25%.因为共猜6道题，所以每6个随机数作为一组．例如，产生25组随机数：
330130　302220　133020　022011　313121　222330
231022　001003　213322　030032　100211　022210
231330　321202　031210　232111　210010　212020
230331　112000　102330　200313　303321　012033
321230
就相当于做了25次试验，在每组数中，如果恰有3个或3个以上的数是0，则表示至少答对3道题，它们分别是001003,030032,210010,112000，即共有4组数，我们得到该同学6道选择题至少答对3道题的概率近似为 ＝0.16.
【考点】模拟方法估计概率
【解析】利用随机模拟方法，估计概率，即可得出答案。
用随机模拟方法求函数 与x轴和直线x=1围成的图形的面积.
【答案】 解:如图,阴影部分是函数y= 的图象与x轴和直线x=1围成的图形.设阴影部分的面积为S.
随机模拟的步骤:
⑴利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND;
⑵统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件y< 的点(x,y)的个数);
⑶计算频率 ,即为点落在阴影部分的概率的近似值;
⑷直线x=1,y=1和x,y轴围成的正方形面积是1,由几何概型公式得点落在阴影部分的概率为 =S.
则S≈ ,即阴影部分面积的近似值为 .
【考点】模拟方法估计概率
【解析】根据随机模拟的步骤，求出相应的面积，即可得出结论。10.2 事件的相互独立性
一、相互独立事件的概念
如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立．
二、相互独立事件的性质
1．如果事件A与事件B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
2．一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的乘积．
三、相互独立事件概率的计算
(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤
①首先确定各事件之间是相互独立的．
②求出每个事件的概率，再求积．
(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的．
四、相互独立事件概率的计算
求解相互独立事件的概率的具体步骤
(1)确定诸事件是否相互独立；
(2)确定诸事件是否会同时发生；
(3)先确定每个事件的概率，再计算其积．
五、相互独立事件的综合应用
求较复杂事件的概率的一般步骤
(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示．
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式．
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
考点一 相互独立事件的判断
【例1】(多选)(2021·全国专题练习)下列各对事件中,不是相互独立事件的有( )
A．运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B．甲 乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲 乙两运动员各射击一次,“甲 乙都射中目标”与“甲 乙都没有射中目标”
D．甲 乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
【练1】(2020·全国专题练习)下列各对事件中,不是相互独立事件的有( )
A．运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B．甲 乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲 乙两运动员各射击一次,“甲 乙都射中目标”与“甲 乙都没有射中目标”
D．甲 乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
考点二 利用概率判断互斥对立事件
【例2】(2021·山东泰安市)在一个随机试验中，彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，则下列说法正确的是( )
A．与是互斥事件，也是对立事件
B．与是互斥事件，也是对立事件
C．与是互斥事件，但不是对立事件
D．与是互斥事件，也是对立事件
【练2】(2021·湖南娄底市)下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．
其中正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点三 相互独立事件概率计算
【例3】(2021·山东菏泽市)甲 乙 丙三人独立地去译一个密码,译出的概率分别,,,则此密码能被译出的概率是( )
A． B． C． D．
【练3】(2021·北京房山区·高一期末)暑假期间，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是__________.
课后练习
（2017·浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6 ， S6= ．
（2017·石嘴山模拟）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ．
（2017高一上·邢台期末）如图，面积为10的矩形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在矩形中随机撒一粒种子，它落在阴影区域内的概率为 ，则阴影区域的面积为 ．
在边长为2的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积．若在正方形ABCD中随机产生了10000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2000个，则在这次模拟中，不规则图形M的面积的估计值为 ．
如图所示，分别以A，B，C为圆心，在△ABC内作半径为2的扇形（图中的阴影部分），在△ABC内任取一点P，如果点P落在阴影内的概率为 ， 那么△ABC的面积是 ．
（2016高二上·昌吉期中）如图所示，分别以A，B，C为圆心，在△ABC内作半径为2的扇形（图中的阴影部分），在△ABC内任取一点P，如果点P落在阴影内的概率为 ，那么△ABC的面积是 ．
（2017高二上·荆门期末）由计算机产生2n个0～1之间的均匀随机数x1 ， x2 ， …xn ， y1 ， y2 ， …yn ， 构成n个数对（x1 ， y1），（x2y2），…（xn ， yn）其中两数能与1构成钝角三角形三边的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 ．
（2017·桂林模拟）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m=56，那么可以估计π≈ ． （用分数表示）
某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据 用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.A地区用户满意度评分的频率分布直方图
B地区用户满意度评分的频率分布表
满意度评分分组 [50，60) [50，60) [50,60) [50,60) [50,60)
频数 2 8 14 10 6
（1）（I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分 散 程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
（2）（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.
某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖，求（1）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（2）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。。
（1）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（2）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。
一份测试题包括6道选择题，每题只有一个选项是正确的．如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率．
用随机模拟方法求函数 与x轴和直线x=1围成的图形的面积.
精讲答案
【例1】
【答案】ACD
【解析】在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B中,甲 乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C中,甲,乙各射击一次,“甲 乙都射中目标”与“甲 乙都没有射中目标“不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则,因此当时,,故A B不独立,故选：ACD
【练1】
【答案】ACD
【解析】在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B中,甲 乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C中,甲,乙各射击一次,“甲 乙都射中目标”与“甲 乙都没有射中目标“不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则,因此当时,,故A B不独立,
故选：ACD
【例2】
【答案】D
【解析】因为彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，
所以与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故A错；
与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故B错；
与是互斥事件，且，所以也是对立事件，故C错；
与是互斥事件，且，
所以也是对立事件，故D正确.
故选：D.
【练2】
【答案】A
【解析】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.
【例3】
【答案】C
【解析】用事件A,B,C分别表示甲 乙 丙三人能破译出密码,则,,,且.
∴此密码能被译出的概率为.故选：C
【练3】
【答案】
【解析】设“暑假期间两人中至少有一人外出旅游”为事件，则其对立事件
为“暑假期间两人都未外出旅游”，则，
所以.
故答案为：.
练习答案
【答案】
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：如图所示，
单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，
△AOB是边长为1的正三角形，
所以正六边形ABCDEF的面积为
S6=6× ×1×1×sin60°= ．
故答案为： ．
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．
【答案】 0.38
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，
∵随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，
∴由几何槪型的概率公式进行估计得 ，
即S=0.38，
故答案为：0.38．
【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论．
【答案】 6
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：由题意， = ，
∴S阴影=10× =6，
故答案为6．
【分析】根据概率之比等于面积之比可得。
【答案】
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：由题意，∵在正方形ABCD中随机产生了10000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2000个，
∴概率P= ，
∵边长为2的正方形ABCD的面积为4，
∴不规则图形M的面积的估计值为 ．
故答案为：
【分析】先利用古典概型的概率公式求概率，再求不规则图形M的面积的估计值．
【答案】 6π
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：由题意知本题是一个几何概型，
∵试验发生包含的所有事件是直角三角形的面积S，
阴影部分的面积S1=π22=2π．
点P落在区域M内的概率为P= ．
故S=6π，
故答案为：6π．
【分析】由题意知本题是一个几何概型，先试验发生包含的所有事件是三角形的面积S，然后求出阴影部分的面积，代入几何概率的计算公式即可求解．
【答案】 6π
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：由题意知本题是一个几何概型，
∵试验发生包含的所有事件是直角三角形的面积S，
阴影部分的面积S1= π22=2π．
点P落在区域M内的概率为P= = ．
故S=6π，
故答案为：6π．
【分析】由题意知本题是一个几何概型，先试验发生包含的所有事件是三角形的面积S，然后求出阴影部分的面积，代入几何概率的计算公式即可求解．
【答案】
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：由题意，n对0～1之间的均匀随机数x，y，满足 ，相应平面区域面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足 且
面积为 ，所以 ，得π= ．
故答案为 ．
【分析】利用n对0～1之间的均匀随机数x，y，满足 ，相应平面区域面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足 且 ，面积为 ，结合面积比，即可得出结论．
【答案】
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：由题意，200对都小于l的正实数对（x，y），对应区域的面积为1，
两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面积为 ﹣ ，
因为统计两数能与l 构成钝角三角形三边的数对（x，y） 的个数m=56，
所以 = ﹣ ，所以π= ．
故答案为： ．
【分析】由试验结果知200对0～1之间的均匀随机数x，y，对应区域的面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面积为 ﹣ ，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．
【答案】 （1）
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区用户满意度评分比较集中，A地区用户满意度评分比较分散。
（2）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.
【考点】频率分布直方图，模拟方法估计概率
【解析】(I)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散
（II）记CA表示事件A地区的用户满意度等级为“不满意”；CB表示事件B地区的用户满意度等级为“不满意”，由直方图得P（CA）的估值为（0.01+0.02+0.03）X10=0.6，P（CB）的估值为（0.005+0.02）X10=0.25
所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.
【分析】本题考查主要内容是频率分布直方图及应用,注意在制作频率分布直方图或利用频率分布直方图估计概率时容易出现的一个错误是误将频率当作纵坐标画图错误或估计概率错误,故提醒考生：频率分布直方图中纵坐标是频率/组距,而不是频率.
【答案】 （1）
（2）说法不正确；理由如下，由（1）知所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为。 A 1 a 1 A 2 , a 1 A 2 , a 2 A 1 , a 2 共四种，，所以中奖的概率为 4 12 = 1 3 ，不中奖的概率为 1 - 1 3 = 2 3 > 1 3 ,故这种说法不正确
【考点】概率的基本性质，模拟方法估计概率，概率的应用
【解析】（1）利用列举法列出所有可能的结果即可；II在（1）中摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率，中奖概率大于不中奖概率是错误的；
所有可能的摸出结果是
（2）不正确，理由如下，由（1）知所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为。共四种，，所以中奖的概率为 ， 不中奖的概率为,故这种说法不正确
【分析】古典概型中基本事件的探求方法
1．枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．
2．树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．
【答案】 解: 我们通过设计模拟试验的方法来解决问题．利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数．我们用0表示猜的选项正确，1,2,3表示猜的选项错误，这样可以体现猜对的概率是25%.因为共猜6道题，所以每6个随机数作为一组．例如，产生25组随机数：
330130　302220　133020　022011　313121　222330
231022　001003　213322　030032　100211　022210
231330　321202　031210　232111　210010　212020
230331　112000　102330　200313　303321　012033
321230
就相当于做了25次试验，在每组数中，如果恰有3个或3个以上的数是0，则表示至少答对3道题，它们分别是001003,030032,210010,112000，即共有4组数，我们得到该同学6道选择题至少答对3道题的概率近似为 ＝0.16.
【考点】模拟方法估计概率
【解析】利用随机模拟方法，估计概率，即可得出答案。
【答案】 解:如图,阴影部分是函数y= 的图象与x轴和直线x=1围成的图形.设阴影部分的面积为S.
随机模拟的步骤:
⑴利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND;
⑵统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件y< 的点(x,y)的个数);
⑶计算频率 ,即为点落在阴影部分的概率的近似值;
⑷直线x=1,y=1和x,y轴围成的正方形面积是1,由几何概型公式得点落在阴影部分的概率为 =S.
则S≈ ,即阴影部分面积的近似值为 .
【考点】模拟方法估计概率
【解析】根据随机模拟的步骤，求出相应的面积，即可得出结论。

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