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10.3 频率与概率
一、频率的稳定性
1．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
知识点二 游戏公平性的判断
游戏规则公平的判断标准
在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等．例如：体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等，这样才是公平的；每个人购买彩票中奖的概率应该是相等的，这样才是公平的；抽签决定某项事务时，任何一支签被抽到的概率也是相等的，这样才是公平的等等．
三、用随机模拟估计概率
1．利用随机模拟试验，只适用于试验结果是有限个的情形．
2．利用随机模拟试验，关键是建立好适当的模型．
3．利用随机模拟的方法估算概率的步骤：一是建立概率模型；二是进行模拟试验；三是统计计算，随着模拟的数量的不断增加，模拟结果就越来越接近概率．
(1)试验的基本结果是等可能的时，样本空间即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点．
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数．
考法一 频率与概率的概念区分
【例1】(2021·全国高一课时练习)下列说法正确的有(　　)
①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；
②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；
③任意事件A发生的概率P(A)总满足0④若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．
∴随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴①正确．
∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．∴②正确．
∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1，∴③错误．
若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，∴④错误
∴说法正确的有两个，故选C．
【练1】(2021·全国单元测试)下列说法正确的有(　　)
①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．
②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生．
③任意事件A发生的概率总满足.
④若事件A的概率为0，则A是不可能事件．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】不可能事件的概率为0，但概率为0的事件不一定是不可能事件，如几何概率中“单点”的长度、面积、体积都是0，但不是不可能事件，∴④不对；抛掷一枚骰子出现1点和出现2点是不同的基本事件，在同一次试验中，不可能同时发生，故②正确；任意事件A发生的概率P(A)满足，∴③错误；又①正确．∴选C.
考法二 概率的计算
【例2】(2021·全国高一课时练习)今年第一季度在某妇幼医院出生的男、女婴人数统计表(单位：人)如表：
月份性别 一 二 三 总计
男婴 22 19 23 64
女婴 18 20 21 59
总计 40 39 44 123
则今年第一季度该医院男婴的出生频率是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意：第一季度的男婴数为64，婴儿总数为123，
故该医院生男婴的出生频率为.故选：D.
【练2】(2020·全国高一课时练习)2020年新型冠状病毒席卷全球，美国是疫情最严重的国家，截止2020年6月8日美国确诊病例约为200万人，经过随机抽样，从感染人群中抽取1000人进行调查，按照年龄得到如下频数分布表：
年龄(岁)
频数 50 a 320 300 80
(Ⅰ)求a的值及这1000例感染人员的年龄的平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(Ⅱ)用频率估计概率，求感染人群中年龄不小于60岁的概率.
【答案】(Ⅰ)，平均数为52.2；(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)由题意知，
∴，
年龄平均数.
(Ⅱ)1000人中年龄不小于60岁的人有380人，
所以年龄不小于60岁的频率为，
用频率估计概率，所以感染人群中年龄不小于60岁的概率为.
考法三 生活中的概率
【例3】(2021·全国高一课时练习)(多选题)张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是( )
A．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜
B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜
D．张明 李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜
【答案】ACD
【解析】选项A中,向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等,A符合题意;
选项B中,张明获胜的概率是,而李华获胜的概率是,故游戏规则不公平,B不符合题意;选项C中,扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等,C符合题意;
选项D中,两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等,D符合题意.
故选：ACD
【练3】(2021·全国高一课时练习)一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.
在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？
【答案】支持甲对游戏公平性的判断，理由见解析
【解析】：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；
当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7，
根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.
考法四 随机模拟
【例4】(2021·全国高一课时练习)用计算机随机模拟掷骰子的试验,估计出现点的概率,则下列步骤中不正确的是( )
A．用计算机的随机函数产生个不同的到之间的取整数值的随机数,如果,我们认为出现点.
B．我们通常用计数器记录做了多少次掷骰子试验,用计数器记录其中有多少次出现点,置,.
C．每做一次试验,若出现点,则的值加,即,否则的值保持不变.
D．程序结束,出现点的频率作为数率的近似值.
【答案】A
【解析】计算器随机函数或计算机随机函数产生的是到之间的整数(包括),共个整数.故选: A.
【练4】(2021·河南)农历正月初一是春节，俗称“过年”，是我国最隆重、最热闹的传统节日.家家户户张贴春联，欢度春节，其中“福”字是必不可少的方形春联.如图，该方形春联为边长是的正方形，为了估算“福”字的面积，随机在正方形内撒100颗大豆，假设大豆落在正方形内每个点的概率相同，如果落在“福”字外的有65颗，则“福”字的面积约为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设“福”字的面积为，
根据几何概型可知，解得.故选：B.
课后练习
1.（2018高二上·南宁月考）分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【考点】模拟方法估计概率
【解析】设正方形的边长为 ，那么图中阴影的面积应为 ，而正方形的面积是 ，所以若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ，
故答案为：B.
【分析】则点落在阴影区域的概率为： 图中阴影的面积/正方形的面积。
2.（2018高二下·甘肃期末）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）
A. 2 B. 3 C. 10 D. 15
【答案】 C
【考点】模拟方法估计概率
【解析】设阴影部分的面积是s，由题意得 ，
故答案为：C.
【分析】结合几何概率的计算公式，阴影部分的面积所占比大致等于随机点的概率，即可得出答案。
3.（2017高二下·夏县期末）某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口3出来，那么你取胜的概率为（ ）
A. B. C. D. 都不对
【答案】 A
【考点】模拟方法估计概率
【解析】所求的概率为 ,故选A.
【分析】分析可得从A到3总共有5个岔口，每一岔口走法的概率都是 ， 而从A到3总共有C52=10种走法，计算可得答案．
4.下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是( )
A. 旋转的次数的多少不会影响估计的结果 B. 旋转的次数越多，估计的结果越精确
C. 旋转时可以按规律旋转 D. 转盘的半径越大，估计的结果越精确
【答案】 B
【考点】模拟方法估计概率
【解析】旋转时要无规律旋转，否则估计的结果与实际有较大的误差，所以C不正确；转盘的半径与估计的结果无关，所以D不正确；旋转的次数越多，估计的结果越精确，所以A不正确．
故答案为：B
【分析】利用旋转时要无规律旋转，转盘的半径与估计的结果无关，旋转的次数越多，估计的结果越精确，分别判断，即可得出结论。
5.（2019·凌源模拟）如图，在直角坐标系 中，过坐标原点 作曲线 的切线，切点为 ，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，向矩形 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】模拟方法估计概率
【解析】设切点 ，
所以切线方程 ，又因为过原点
所以 解得
所以点P
因为 与 轴在 围成的面积是
则阴影部分的面积为
而矩形 的面积为
故向矩形 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为
故答案为：A
【分析】由题意，利用模拟方法根据题中数据可得所求概率 .
生活在湖边的渔民为了方便而快速地知道湖中有多少条鱼，常用一种称为“标记后再捕”的方法．先从湖中随意捕捉一定数量的鱼，例如1 000条鱼，在每条鱼的身上作记号后又放回湖中；隔了一定时间后，再从湖中捕捉一定数量的鱼，例如300条鱼，查看其中有多少条有标记的鱼，假设有20条有标记，估计湖中鱼的总数．
【答案】 解：设湖中鱼大约由x条，
则有 = ，
得x=15000条，
经检验x=15000是方程的解．
答：湖中鱼大约有15000条．
【考点】模拟方法估计概率
【解析】第二次捕捞鱼共300条，有20条做了记号，即有记号的鱼占到总数的 ， 然后根据一共1000条做了记号，来估算总数．
用计算机模拟方法估计：从区间（0，1）内任取两个数，这两个数的和大于的概率．
【答案】 解：区间（0，1）内任取两个实数记为（x，y），则点对应的平面区域为下图所示的正方形，
其中满足两个实数的和大于 ， 即x+y＞的平面区域如下图中橘色部分所示：
其中正方形面积S=1，阴影部分面积S=1﹣ =
∴从区间（0，1）内任取两个数，这两个数的和大于的概率为=0.875
【考点】模拟方法估计概率
【解析】在区间（0，1）内任取两个实数，确定该基本事件对应的平面区域的大小，再求了满足条件两个实数的和大于对应的平面区域的面积大小，代入几何概型公式，即可得到答案．
8. （2016高一下·衡阳期中）设O为坐标原点，点P的坐标（x﹣2，x﹣y）
（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；
（2）若利用计算机随机在[0，3]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率．
【答案】 （1）解：记抽到的卡片标号为（x，y），所有的情况分别为，
（x，y） （1，1） （1，2） （1，3） （2，1） （2，2） （2，3） （3，1） （3，2） （3，3）
P（x﹣2，x﹣y） （﹣1，0） （﹣1，﹣1） （﹣1，﹣2） （0，1） （0，0） （0，﹣1） （1，2） （1，1） （1，0）
|OP| 1 1 0 1 1
共9种．由表格可知|OP|的最大值为
设事件A为“|OP|取到最大值”，则满足事件A的（x，y）有（1，3），（3，1）两种情况，
∴
（2）解：设事件B为“P点在第一象限”
若 ，其所表示的区域面积为3×3=9，
由题意可得事件B满足 ，
即如图所示的阴影部分，
其区域面积为
∴
【考点】等可能事件的概率，模拟方法估计概率
【解析】（1）记先后抽到的两张卡片的标号为（x，y），列出所有情形，然后分别求出|OP|的值，从而得到最大值；（2）求出点P落在第一象限所构成区域的面积，然后求出基本事件空间所表示的区域的面积，计算出二者的比值即可．
10. （2018高二下·牡丹江月考）如图，面积为 的正方形 中有一个不规则的图形 ，可按下面方法估计 的面积：在正方形 中随机投掷 个点，若 个点中有 个点落入 中，则 的面积的估计值为 ，假设正方形 的边长为2， 的面积为1，并向正方形 中随机投掷 个点，以 表示落入 中的点的数目．
（I）求 的均值 ；
（II）求用以上方法估计 的面积时， 的面积的估计值与实际值之差在区间 内的概率．
附表：
【答案】 解：（I） （II）依题意所求概率为 ，
【考点】模拟方法估计概率
【解析】（I）X服从二项分布， EX=np;（II）有题意可得242511. 为了了解某校高一学生体能情况，抽取200位同学进行1分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后画出频率分布直方图（如图所示），请回答下列问题：
（1）次数在100～110之间的频率是多少？
（2）若次数在110以上为达标，试估计该校全体高一学生的达标率是多少？
（3）根据频率分布直方图估计，学生跳绳次数的平均数是多少？
【答案】 （1）∵第二组面积为0.02×10=0.2，
∴次数在100～110之间的频率是0.2．
∵第二小组频数为12；
（2）∵次数在110以上（含110次）为达标，
∴高一学生的达标率是 10×（0.035+0.025+0.015）=75%
即高一有75%的学生达标．
（3）根据频率分布直方图估计，学生跳绳次数的平均数是95×0.05+105×0.2+115×0.35+125×0.25+135×0.15=117.5．
【考点】模拟方法估计概率
【解析】（1）根据第二组小矩形的面积，做出第二组的频率．
（2）从频率分步直方图中看出次数子啊110以上的频数，用频数除以样本容量得到达标率，进而估计高一全体学生的达标率．
（3）将每组的组中值乘以该组的频率即可求出学生跳绳次数的平均数．
12. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1, A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。
（1）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（2）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。
【答案】 （1）{A1 ， a1},{A1, a2}, {A1, b1}, {A1, b2}, {A2, a1}, {A2, a2},
{A2, b1}, {A2, b2}, {B, a1}, {B, a2}, {B, b1}, {B, b2},
（2）说法不正确
【考点】模拟方法估计概率
【解析】(I)利用列举法列出所有可能的结果即可: (II)在(I)中摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率，中奖概率大于不中奖概率是错误的，试题解析:(I)所有可能的摸出结果是:
{A1 ， a1},{A1, a2}, {A1, b1}, {A1, b2}, {A2, a1}, {A2, a2},
{A2, b1}, {A2, b2}, {B, a1}, {B, a2}, {B, b1}, {B, b2},
(II)不正确, 理由如下，由(I)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1 ， a1},{A1, a2}，{A2, a1}, {A2, a2},共4种，所以中奖的概率为,不中奖的概率为1-=>
这种说法不正确.
【分析】古典概型中基本事件的探求方法
1．枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．
2．树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．
13. （2012·北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．
（求：S2= [ + +…+ ]，其中 为数据x1 ， x2 ， …，xn的平均数）
【答案】 （1）解：由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为
（2）解：由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为
（3）解：由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均数为200
∴ = ，
∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2 ， 因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000
【考点】极差、方差与标准差，模拟方法估计概率
【解析】（1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；（3）计算方差可得 = ，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000．10.3 频率与概率
一、频率的稳定性
1．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
知识点二 游戏公平性的判断
游戏规则公平的判断标准
在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等．例如：体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等，这样才是公平的；每个人购买彩票中奖的概率应该是相等的，这样才是公平的；抽签决定某项事务时，任何一支签被抽到的概率也是相等的，这样才是公平的等等．
三、用随机模拟估计概率
1．利用随机模拟试验，只适用于试验结果是有限个的情形．
2．利用随机模拟试验，关键是建立好适当的模型．
3．利用随机模拟的方法估算概率的步骤：一是建立概率模型；二是进行模拟试验；三是统计计算，随着模拟的数量的不断增加，模拟结果就越来越接近概率．
(1)试验的基本结果是等可能的时，样本空间即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点．
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数．
考法一 频率与概率的概念区分
【例1】(2021·全国高一课时练习)下列说法正确的有(　　)
①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；
②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；
③任意事件A发生的概率P(A)总满足0④若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【练1】(2021·全国单元测试)下列说法正确的有(　　)
①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．
②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生．
③任意事件A发生的概率总满足.
④若事件A的概率为0，则A是不可能事件．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考法二 概率的计算
【例2】(2021·全国高一课时练习)今年第一季度在某妇幼医院出生的男、女婴人数统计表(单位：人)如表：
月份性别 一 二 三 总计
男婴 22 19 23 64
女婴 18 20 21 59
总计 40 39 44 123
则今年第一季度该医院男婴的出生频率是( )
A． B． C． D．
【练2】(2020·全国高一课时练习)2020年新型冠状病毒席卷全球，美国是疫情最严重的国家，截止2020年6月8日美国确诊病例约为200万人，经过随机抽样，从感染人群中抽取1000人进行调查，按照年龄得到如下频数分布表：
年龄(岁)
频数 50 a 320 300 80
(Ⅰ)求a的值及这1000例感染人员的年龄的平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(Ⅱ)用频率估计概率，求感染人群中年龄不小于60岁的概率.
考法三 生活中的概率
【例3】(2021·全国高一课时练习)(多选题)张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是( )
A．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜
B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜
D．张明 李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜
【练3】(2021·全国高一课时练习)一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.
在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？
考法四 随机模拟
【例4】(2021·全国高一课时练习)用计算机随机模拟掷骰子的试验,估计出现点的概率,则下列步骤中不正确的是( )
A．用计算机的随机函数产生个不同的到之间的取整数值的随机数,如果,我们认为出现点.
B．我们通常用计数器记录做了多少次掷骰子试验,用计数器记录其中有多少次出现点,置,.
C．每做一次试验,若出现点,则的值加,即,否则的值保持不变.
D．程序结束,出现点的频率作为数率的近似值.
【练4】(2021·河南)农历正月初一是春节，俗称“过年”，是我国最隆重、最热闹的传统节日.家家户户张贴春联，欢度春节，其中“福”字是必不可少的方形春联.如图，该方形春联为边长是的正方形，为了估算“福”字的面积，随机在正方形内撒100颗大豆，假设大豆落在正方形内每个点的概率相同，如果落在“福”字外的有65颗，则“福”字的面积约为( )
A． B． C． D．
课后练习
1.（2018高二上·南宁月考）分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（ ）
A. B. C. D.
2.（2018高二下·甘肃期末）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）
A. 2 B. 3 C. 10 D. 15
3.（2017高二下·夏县期末）某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口3出来，那么你取胜的概率为（ ）
A. B. C. D. 都不对
4.下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是( )
A. 旋转的次数的多少不会影响估计的结果 B. 旋转的次数越多，估计的结果越精确
C. 旋转时可以按规律旋转 D. 转盘的半径越大，估计的结果越精确
5.（2019·凌源模拟）如图，在直角坐标系 中，过坐标原点 作曲线 的切线，切点为 ，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，向矩形 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
生活在湖边的渔民为了方便而快速地知道湖中有多少条鱼，常用一种称为“标记后再捕”的方法．先从湖中随意捕捉一定数量的鱼，例如1 000条鱼，在每条鱼的身上作记号后又放回湖中；隔了一定时间后，再从湖中捕捉一定数量的鱼，例如300条鱼，查看其中有多少条有标记的鱼，假设有20条有标记，估计湖中鱼的总数．
用计算机模拟方法估计：从区间（0，1）内任取两个数，这两个数的和大于的概率．
8. （2016高一下·衡阳期中）设O为坐标原点，点P的坐标（x﹣2，x﹣y）
（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；
（2）若利用计算机随机在[0，3]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率．
9. （2018高二下·牡丹江月考）如图，面积为 的正方形 中有一个不规则的图形 ，可按下面方法估计 的面积：在正方形 中随机投掷 个点，若 个点中有 个点落入 中，则 的面积的估计值为 ，假设正方形 的边长为2， 的面积为1，并向正方形 中随机投掷 个点，以 表示落入 中的点的数目．
（I）求 的均值 ；
（II）求用以上方法估计 的面积时， 的面积的估计值与实际值之差在区间 内的概率．
附表：
10. 为了了解某校高一学生体能情况，抽取200位同学进行1分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后画出频率分布直方图（如图所示），请回答下列问题：
（1）次数在100～110之间的频率是多少？
（2）若次数在110以上为达标，试估计该校全体高一学生的达标率是多少？
（3）根据频率分布直方图估计，学生跳绳次数的平均数是多少？
11. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1, A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。
（1）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（2）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。
12.（2012·北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．
（求：S2= [ + +…+ ]，其中 为数据x1 ， x2 ， …，xn的平均数）
精讲答案
【例1】
【答案】C
【解析】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．
∴随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴①正确．
∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．∴②正确．
∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1，∴③错误．
若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，∴④错误
∴说法正确的有两个，故选C．
【练1】
【答案】C
【解析】不可能事件的概率为0，但概率为0的事件不一定是不可能事件，如几何概率中“单点”的长度、面积、体积都是0，但不是不可能事件，∴④不对；抛掷一枚骰子出现1点和出现2点是不同的基本事件，在同一次试验中，不可能同时发生，故②正确；任意事件A发生的概率P(A)满足，∴③错误；又①正确．∴选C.
【例2】
【答案】D
【解析】根据题意：第一季度的男婴数为64，婴儿总数为123，
故该医院生男婴的出生频率为.故选：D.
【练2】
【答案】(Ⅰ)，平均数为52.2；(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)由题意知，
∴，
年龄平均数.
(Ⅱ)1000人中年龄不小于60岁的人有380人，
所以年龄不小于60岁的频率为，
用频率估计概率，所以感染人群中年龄不小于60岁的概率为.
【例3】
【答案】ACD
【解析】选项A中,向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等,A符合题意;
选项B中,张明获胜的概率是,而李华获胜的概率是,故游戏规则不公平,B不符合题意;选项C中,扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等,C符合题意;
选项D中,两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等,D符合题意.
故选：ACD
【练3】
【答案】支持甲对游戏公平性的判断，理由见解析
【解析】：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；
当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7，
根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.
【例4】
【答案】A
【解析】计算器随机函数或计算机随机函数产生的是到之间的整数(包括),共个整数.故选: A.
【练4】
【答案】B
【解析】设“福”字的面积为，
根据几何概型可知，解得.故选：B.
练习答案
【答案】 B
【考点】模拟方法估计概率
【解析】设正方形的边长为 ，那么图中阴影的面积应为 ，而正方形的面积是 ，所以若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ，
故答案为：B.
【分析】则点落在阴影区域的概率为： 图中阴影的面积/正方形的面积。
【答案】 C
【考点】模拟方法估计概率
【解析】设阴影部分的面积是s，由题意得 ，
故答案为：C.
【分析】结合几何概率的计算公式，阴影部分的面积所占比大致等于随机点的概率，即可得出答案。
【答案】 A
【考点】模拟方法估计概率
【解析】所求的概率为 ,故选A.
【分析】分析可得从A到3总共有5个岔口，每一岔口走法的概率都是 ， 而从A到3总共有C52=10种走法，计算可得答案．
【答案】 B
【考点】模拟方法估计概率
【解析】旋转时要无规律旋转，否则估计的结果与实际有较大的误差，所以C不正确；转盘的半径与估计的结果无关，所以D不正确；旋转的次数越多，估计的结果越精确，所以A不正确．
故答案为：B
【分析】利用旋转时要无规律旋转，转盘的半径与估计的结果无关，旋转的次数越多，估计的结果越精确，分别判断，即可得出结论。
【答案】 A
【考点】模拟方法估计概率
【解析】设切点 ，
所以切线方程 ，又因为过原点
所以 解得
所以点P
因为 与 轴在 围成的面积是
则阴影部分的面积为
而矩形 的面积为
故向矩形 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为
故答案为：A
【分析】由题意，利用模拟方法根据题中数据可得所求概率 .
【答案】 解：设湖中鱼大约由x条，
则有 = ，
得x=15000条，
经检验x=15000是方程的解．
答：湖中鱼大约有15000条．
【考点】模拟方法估计概率
【解析】第二次捕捞鱼共300条，有20条做了记号，即有记号的鱼占到总数的 ， 然后根据一共1000条做了记号，来估算总数．
【答案】 解：区间（0，1）内任取两个实数记为（x，y），则点对应的平面区域为下图所示的正方形，
其中满足两个实数的和大于 ， 即x+y＞的平面区域如下图中橘色部分所示：
其中正方形面积S=1，阴影部分面积S=1﹣ =
∴从区间（0，1）内任取两个数，这两个数的和大于的概率为=0.875
【考点】模拟方法估计概率
【解析】在区间（0，1）内任取两个实数，确定该基本事件对应的平面区域的大小，再求了满足条件两个实数的和大于对应的平面区域的面积大小，代入几何概型公式，即可得到答案．
【答案】 （1）解：记抽到的卡片标号为（x，y），所有的情况分别为，
（x，y） （1，1） （1，2） （1，3） （2，1） （2，2） （2，3） （3，1） （3，2） （3，3）
P（x﹣2，x﹣y） （﹣1，0） （﹣1，﹣1） （﹣1，﹣2） （0，1） （0，0） （0，﹣1） （1，2） （1，1） （1，0）
|OP| 1 1 0 1 1
共9种．由表格可知|OP|的最大值为
设事件A为“|OP|取到最大值”，则满足事件A的（x，y）有（1，3），（3，1）两种情况，
∴
（2）解：设事件B为“P点在第一象限”
若 ，其所表示的区域面积为3×3=9，
由题意可得事件B满足 ，
即如图所示的阴影部分，
其区域面积为
∴
【考点】等可能事件的概率，模拟方法估计概率
【解析】（1）记先后抽到的两张卡片的标号为（x，y），列出所有情形，然后分别求出|OP|的值，从而得到最大值；（2）求出点P落在第一象限所构成区域的面积，然后求出基本事件空间所表示的区域的面积，计算出二者的比值即可．
【答案】 解：（I） （II）依题意所求概率为 ，
【考点】模拟方法估计概率
【解析】（I）X服从二项分布， EX=np;（II）有题意可得2425【答案】 （1）∵第二组面积为0.02×10=0.2，
∴次数在100～110之间的频率是0.2．
∵第二小组频数为12；
（2）∵次数在110以上（含110次）为达标，
∴高一学生的达标率是 10×（0.035+0.025+0.015）=75%
即高一有75%的学生达标．
（3）根据频率分布直方图估计，学生跳绳次数的平均数是95×0.05+105×0.2+115×0.35+125×0.25+135×0.15=117.5．
【考点】模拟方法估计概率
【解析】（1）根据第二组小矩形的面积，做出第二组的频率．
（2）从频率分步直方图中看出次数子啊110以上的频数，用频数除以样本容量得到达标率，进而估计高一全体学生的达标率．
（3）将每组的组中值乘以该组的频率即可求出学生跳绳次数的平均数．
【答案】 （1）{A1 ， a1},{A1, a2}, {A1, b1}, {A1, b2}, {A2, a1}, {A2, a2},
{A2, b1}, {A2, b2}, {B, a1}, {B, a2}, {B, b1}, {B, b2},
（2）说法不正确
【考点】模拟方法估计概率
【解析】(I)利用列举法列出所有可能的结果即可: (II)在(I)中摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率，中奖概率大于不中奖概率是错误的，试题解析:(I)所有可能的摸出结果是:
{A1 ， a1},{A1, a2}, {A1, b1}, {A1, b2}, {A2, a1}, {A2, a2},
{A2, b1}, {A2, b2}, {B, a1}, {B, a2}, {B, b1}, {B, b2},
(II)不正确, 理由如下，由(I)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1 ， a1},{A1, a2}，{A2, a1}, {A2, a2},共4种，所以中奖的概率为,不中奖的概率为1-=>
这种说法不正确.
【分析】古典概型中基本事件的探求方法
1．枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．
2．树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．
【答案】 （1）解：由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为
（2）解：由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为
（3）解：由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均数为200
∴ = ，
∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2 ， 因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000
【考点】极差、方差与标准差，模拟方法估计概率
【解析】（1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；（3）计算方差可得 = ，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000．

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