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第6章 重难点专项突破
重难点突破一 竖直面内的圆周运动
1.竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
如图，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例.
(1)最低点动力学方程：FT1－mg＝m；所以FT1＝mg＋m
(2)最高点动力学方程：FT2＋mg＝m；所以FT2＝m－mg
(3)最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由FT2＋mg＝可知，当FT2＝0时，v2最小，最小速度为v2＝.
讨论：当v2＝时，拉力或压力为零.
当v2>时，小球受向下的拉力或压力.
当v2<时，小球不能到达最高点.
2.竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
如图，细杆上固定的小球和光滑管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下做圆周运动.
(1)最高点的最小速度
由于杆和管在最高点处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg.
(2)小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况
①v>，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，mg＋F＝m，所以F＝m－mg，F随v 增大而增大；
②v＝，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F＝0，mg＝m；
③0二、圆周运动的临界问题
物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态.
通常碰到较多的是涉及如下三种力的作用：
(1)与绳的弹力有关的临界条件：绳弹力恰好为0.
(2)与支持面弹力有关的临界条件：支持力恰好为0.
(3)因静摩擦力而产生的临界问题：静摩擦力达到最大值.
考点一：竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
【例1】如图，轻绳拴着质量为m的物体，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．小球过最高点时的最小速度是0
B．小球过最高点时，绳子拉力可以为零
C．若将轻绳换成轻杆，则小球过最高点时，轻杆对小球的作用力不可以与小球所受重力大小相等，方向相反
D．若将轻绳换成轻杆，则小球过最高点时的最小速度是
【变式练习】
1．如图所示，长为L的轻绳一端系一质量为m的小球A，另一端固定于O点，当绳竖直时小球静止。现给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，且刚好能过最高点，重力加速度为g，则（　　）
A．小球过最高点时，速度可能为零
B．小球过最高点时，绳的拉力为mg
C．开始运动时，绳的拉力为m
D．小球过最高点时，速度大小为
2．如图所示，细绳的一端固定在悬点O，细绳的另一端连接一个小球，小球绕O点在竖直平面内沿顺时针方向做完整的圆周运动。当小球运动到最高点P时，突然剪断细绳，则关于小球以后运动的大致轨迹，下列说法正确的是（不计空气阻力）（　　）
A．小球的运动轨迹可能是1 B．小球的运动轨迹可能是2
C．小球的运动轨迹可能是3 D．小球沿着原来的运动轨迹运动到Q点后，再竖直向下运动
考点二：竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
【例2】如图所示，内壁光滑的细圆管用轻杆固定在竖直平面内，其质量为0.22kg，半径为0.5m。质量为0.1kg的小球，其直径略小于细圆管的内径，小球运动到圆管最高点时，杆对圆管的作用力为零，重力加速度的值取。则小球在最高点的速度大小为（ ）
A．2m/s B．4m/s C．6m/s D．8m/s
【变式练习】
1．一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内作半径为R的圆周运动，如图所示，则（　　）
A．小球过最高点时，杆所受弹力一定不为零
B．小球过最高点时的最小速度是
C．小球过最高点时，杆的弹力可以向上，此时杆对球的作用力一定不大于重力
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定跟小球所受重力的方向相反
2．长为0.5m的轻杆绕O点在竖直平面内做圆周运动，另一端连着一个质量为1kg的小球。某时刻经过最高点时，杆的角速度，则（　　）
A．小球受到拉力为5N B．杆受到拉力为5N
C．小球受到压力为5N D．杆受到压力为5N
考点三：临界问题
【例3】如图所示装置可绕竖直轴OO′转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，当细线AB沿水平方向绷直时，细线AC与竖直方向的夹角θ=37°。已知小球的质量m=1 kg，细线AC长L=0.5m，AB能承受的最大拉力为22.5N。（重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）若装置匀速转动，细线AB刚好被拉直成水平状态，求此时的角速度ω1的大小；
（2）若装置匀速转动的角速度ω2=8rad/s，求细线AB和AC上的拉力大小TAB、TAC；
（3）若装置匀速转动的角速度ω3=15rad/s，求系统稳定转动后细线AC上的拉力大小T'AC。
【变式练习】
1．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度ω匀速转动。一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°。重力加速度的大小为g。
（1）若，小物块受到的摩擦力恰好为零，求。
（2）若，求小物块受到的摩擦力大小和方向。
2．图1是某游乐场中水上过山车的实物图片，图2是其原理示意图。在原理图中半径为R=8m的圆形轨道固定在离水面高h=3.2m的水平平台上，圆轨道与水平平台相切于A点，A、B分别为圆形轨道的最低点和最高点。过山车（实际是一艘带轮子的气垫小船，可视作质点）高速行驶，先后会通过多个圆形轨道，然后从A点离开圆轨道而进入光滑的水平轨道AC，最后从C点水平飞出落入水中，整个过程刺激惊险，受到很多年轻人的喜爱。已知水面宽度为s=12m，假设运动中不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，结果可保留根号。
（1）若过山车恰好能通过圆形轨道的最高点B，则其在B点的速度为多大？
（2）为使过山车安全落入水中，则过山车在C点的最大速度为多少？
一、单选题
1．如图所示，一轻杆一端固定一质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为r的圆周运动。以下说法正确的是（　　）
A．小球过最高点时，杆受力不可以是零
B．小球过最高点时的最小速率为
C．小球过最高点时，杆对球的作用力可以竖直向上，此时球受到的重力一定大于杆对球的作用力
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定竖直向下
2．如图所示，悬线一端系一小球，另一端固定于点，在点正下方的点钉一个钉子，使悬线拉紧与竖直方向成一角度，然后由静止释放小球，当悬线碰到钉子时，下列说法正确的是（　　）
①小球的瞬时速度突然变大 ②小球的加速度突然变大
③小球所需的向心力突然变大 ④悬线所受的拉力突然变大
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
3．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT-v2图像如图乙所示，则（　　）
A．数据a与小球的质量无关
B．当地的重力加速度为
C．当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为
D．当v2＝2b时，小球受到的拉力与重力大小相等
4．如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，则小球对管内上壁有压力
B．若，则小球对管内下壁有压力
C．若，则小球对管内下壁有压力
D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力
5．如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动。圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述不正确的是（重力加速度为g）（　　）
A．小球对圆环的压力大小等于mg
B．重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力
C．小球的线速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
6．火车转弯时，如果铁路弯道的内、外轨一样高，则外轨对轮缘（如图所示）挤压的弹力F提供了火车转弯的向心力（如图中所示），但是靠这种办法得到向心力，铁轨和车轮极易受损。在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨（如图所示），当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，以下说法中正确的是（　　）
A．该弯道的半径
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度也将改变
C．当火车速率小于v时，外轨将受到轮缘的挤压
D．分别按规定速度v和大于速度v行驶时，火车所受的支持力不相等
7．天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转。一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B（m1 ≠ m2）。设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则（ ）
A．球A、B运动的周期之比等于m2：m1
B．两球的向心加速度大小相等
C．球A、B到P的距离之比等于m2：m1
D．球A、B运动的线速度之比等于m2：m1
8．如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过后又恰好垂直与倾角为的斜面相碰。已知半圆形管道的半径，小球可看作质点且其质量为，g取。则（　　）
A．小球经过管道的B点时，受到下管道的作用力的大小是
B．小球经过管道的B点时，受到上管道的作用力的大小是
C．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是
D．小球在斜面上的相碰点C与B点的竖直距离是
二、多选题
9．如图所示是饲养员在池塘堤坝边缘投放颗粒状鱼饲料的示意图，饲料颗粒从圆弧形滑道OA滑下，然后在滑道末端A点以水平速度v0抛出，落到倾角为θ的斜坡AB上或水面上，不计空气阻力，则（　　）
A．若饲料颗粒在O点时的速度加倍，则其在O点对轨道的压力变为原来的4倍
B．若饲料颗粒在A点时的速度加倍，则其在A点对轨道的压力变为原来的4倍
C．若饲料颗粒不能落入水中，则以不同的v0水平抛出，落到坡面时的速度方向不同
D．若饲料颗粒能落入水中，平抛初速度v0越大，落水时速度方向与水平面的夹角越小
10．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其图像如图乙所示，则（　　）
A．当地的重力加速度为
B．轻质绳长为
C．小球在最低点和最高点的拉力之差为5a
D．若把轻绳换成轻杆，则从最高点由静止转动的过程中杆始终对小球产生支持力
11．如图所示，长0.5m的轻质细杆，一端固定有一个质量为3kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为2m/s。取g=10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．小球通过最高点时，对杆的拉力大小是6N
B．小球通过最高点时，对杆的压力大小是6N
C．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24N
D．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54N
三、解答题
12．如图所示，一个质量为的滑板运动员，以的初速度从某一高台的点水平飞出，恰好从圆轨道的点的切线方向进入圆弧（不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失），最终滑板运动员刚好到达圆轨道的最高点D。已知圆弧的半径，，g取，求：
（1）A距C点的高度和滑板运动员在D点的速度大小。
（2）若滑板运动员运动到圆弧轨道点C时的速度大小为则滑板运动员对轨道的压力。
13．如图所示装置可绕竖直轴转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，当细线AB沿水平方向绷直时，细线AC与竖直方向的夹角。已知小球的质量m＝1kg，细线AC长L＝1m，（重力加速度取，sin37°＝0.6）
（1）若装置匀速转动时，细线AB刚好被拉直成水平状态，求此时的角速度；（结果可用根号表示）
（2）若装置匀速转动的角速度，求细线AB和AC上的张力大小、。
14．如图所示，半径为R=0.5m的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台静止不转动时，将一个质量为2kg、可视为质点的小物块放入陶罐内，小物块恰能静止于陶罐内壁的A点，且A点与陶罐球心O的连线与对称轴OO′成θ=37°角。重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则：
（1）当转台绕转轴匀速转动时，若物块在陶罐中的A点与陶罐一起转动且所受的摩擦力恰好为0，则转台转动的角速度为多少？
（2）若转台转动的角速度为，物块仍在陶罐中的A点随陶罐一起转动，则陶罐给物块的弹力和摩擦力大小为多少？
15．如图所示，用一根长为l的细线，一端系一质量为m的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角为θ。设小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T，重力加速度为g，求：
（1）若要小球刚好离开锥面，则此时小球的角速度为多大？
（2）细线的张力T与小球匀速转动的角速度有关，请通过计算在图中画出在不同取值范围的T-ω2的图象（要求标明关键点的坐标）。
16．《水流星》是中国传统民间杂技艺术，杂技演员用一根绳子兜着里面倒上水的两个碗，迅速地旋转着绳子做各种精彩表演，即使碗底朝上。碗里的水也不会洒出来。假设水的质量为m。绳子长度为2L，重力加速度为g，不计空气阻力。绳子的长度远远大于碗口直径，杂技演员手拿绳子的中点，让碗在空中旋转。
（1）如图甲所示，两碗在竖直平面内做圆周运动，若碗通过最高点时，水对碗的压力大小等于mg，求碗通过最高点时的线速度大小；
（2）如图甲所示，若两只碗在竖直平面内做圆周运动，两的线速度大小始终相等，当正上方碗内的水恰好不流出来时，求正下方碗内的水对碗的压力大小；
（3）如图乙所示，若两只碗绕着同一点在水平面内做匀速圆周运动。已如绳与竖直方向的夹角为θ，求碗和水转动的角速度大小。
第6章 重难点专项突破
重难点突破一 竖直面内的圆周运动
1.竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
如图，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例.
(1)最低点动力学方程：FT1－mg＝m；所以FT1＝mg＋m
(2)最高点动力学方程：FT2＋mg＝m；所以FT2＝m－mg
(3)最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由FT2＋mg＝可知，当FT2＝0时，v2最小，最小速度为v2＝.
讨论：当v2＝时，拉力或压力为零.
当v2>时，小球受向下的拉力或压力.
当v2<时，小球不能到达最高点.
2.竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
如图，细杆上固定的小球和光滑管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下做圆周运动.
(1)最高点的最小速度
由于杆和管在最高点处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg.
(2)小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况
①v>，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，mg＋F＝m，所以F＝m－mg，F随v 增大而增大；
②v＝，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F＝0，mg＝m；
③0二、圆周运动的临界问题
物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态.
通常碰到较多的是涉及如下三种力的作用：
(1)与绳的弹力有关的临界条件：绳弹力恰好为0.
(2)与支持面弹力有关的临界条件：支持力恰好为0.
(3)因静摩擦力而产生的临界问题：静摩擦力达到最大值.
考点一：竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
【例1】如图，轻绳拴着质量为m的物体，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．小球过最高点时的最小速度是0
B．小球过最高点时，绳子拉力可以为零
C．若将轻绳换成轻杆，则小球过最高点时，轻杆对小球的作用力不可以与小球所受重力大小相等，方向相反
D．若将轻绳换成轻杆，则小球过最高点时的最小速度是
【答案】B
【详解】AB．因为绳子只能提供拉力，所以当小球到最高点时，至少有重力提供此时的向心力，此时绳子拉力为零，因此最小速度不可能为零，A错误，B正确；
CD．若将轻绳换成轻杆，小球过最高点时，轻杆可对小球产生竖直向上的弹力，若此时小球速度为零，所需向心力为零，由力的平衡可知此时轻杆对小球的作用力与小球所受重力大小相等，方向相反，此时向心力为零，得最小速度为零，CD错误。故选B。
【变式练习】
1．如图所示，长为L的轻绳一端系一质量为m的小球A，另一端固定于O点，当绳竖直时小球静止。现给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，且刚好能过最高点，重力加速度为g，则（　　）
A．小球过最高点时，速度可能为零
B．小球过最高点时，绳的拉力为mg
C．开始运动时，绳的拉力为m
D．小球过最高点时，速度大小为
【答案】D
【详解】ABD．小球刚好越过最高点，可知FT=0，根据牛顿第二定律得
mg=m
解得
v=
故AB错误，D正确；C．开始运动时，根据牛顿第二定律得
FT-mg=m
解得
FT=mg+m
故C错误。故选D。
2．如图所示，细绳的一端固定在悬点O，细绳的另一端连接一个小球，小球绕O点在竖直平面内沿顺时针方向做完整的圆周运动。当小球运动到最高点P时，突然剪断细绳，则关于小球以后运动的大致轨迹，下列说法正确的是（不计空气阻力）（　　）
A．小球的运动轨迹可能是1 B．小球的运动轨迹可能是2
C．小球的运动轨迹可能是3 D．小球沿着原来的运动轨迹运动到Q点后，再竖直向下运动
【答案】A
【详解】小球经过P点时，速度最小值满足
即
绳子断裂后小球做平抛运动，则运动轨迹为抛物线，当下落到OQ水平线上时，根据
x=vt
解得
小球的运动轨迹可能是1。故选A。
考点二：竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
【例2】如图所示，内壁光滑的细圆管用轻杆固定在竖直平面内，其质量为0.22kg，半径为0.5m。质量为0.1kg的小球，其直径略小于细圆管的内径，小球运动到圆管最高点时，杆对圆管的作用力为零，重力加速度的值取。则小球在最高点的速度大小为（ ）
A．2m/s B．4m/s C．6m/s D．8m/s
【答案】B
【详解】根据题意，对圆管受力分析，由平衡条件可知，小球在最高点给圆管竖直向上的作用力，大小等于圆管的重力，由牛顿第三定律可知，圆管给小球竖直向下的作用力，大小等于圆管的重力，在最高点，对小球，由牛顿第二定律有
代入数据解得
故选B。
【变式练习】
1．一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内作半径为R的圆周运动，如图所示，则（　　）
A．小球过最高点时，杆所受弹力一定不为零
B．小球过最高点时的最小速度是
C．小球过最高点时，杆的弹力可以向上，此时杆对球的作用力一定不大于重力
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定跟小球所受重力的方向相反
【答案】C
【详解】A．小球过最高点时，若只靠小球重力提供向心力时，杆所受弹力为零，故A错误；B．由于小球连接的轻杆，所以小球过最高点时的最小速度可以为零，故B错误；C．当小球过最高点，杆的弹力可以向上时，杆对小球的作用力反向向下，此时重力和杆的弹力的合力提供向心力，即
此时杆对球的作用力小于或者等于重力，故C正确；
D．当小球过最高点时的速度时，此时合外力提供向心力，即
此时杆对球的作用力与小球的重力方向相同，故D错误。故选C。
2．长为0.5m的轻杆绕O点在竖直平面内做圆周运动，另一端连着一个质量为1kg的小球。某时刻经过最高点时，杆的角速度，则（　　）
A．小球受到拉力为5N B．杆受到拉力为5N
C．小球受到压力为5N D．杆受到压力为5N
【答案】D
【详解】小球在最高点时，对小球受力分析，受重力mg和杆的弹力FN作用，假定弹力竖直向下，由向心力公式得
且
联立解得
负号表示竖直向上，故小球受到向上5N的支持力，杆受到向下5N的压力。故选D。
考点三：临界问题
【例3】如图所示装置可绕竖直轴OO′转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，当细线AB沿水平方向绷直时，细线AC与竖直方向的夹角θ=37°。已知小球的质量m=1 kg，细线AC长L=0.5m，AB能承受的最大拉力为22.5N。（重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）若装置匀速转动，细线AB刚好被拉直成水平状态，求此时的角速度ω1的大小；
（2）若装置匀速转动的角速度ω2=8rad/s，求细线AB和AC上的拉力大小TAB、TAC；
（3）若装置匀速转动的角速度ω3=15rad/s，求系统稳定转动后细线AC上的拉力大小T'AC。
【答案】（1）5rad/s；（2）12.5N；11.7N；（3）112.5N
【详解】（1）细线AB上张力恰为零时，小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有
解得
ω1＝5rad/s
（2）依题意
ω2＞ω1
细线AB有张力，由小球的受力情况及牛顿第二定律得
，
解得
，TAB=11.7N
（3）设AB细线能承受的最大拉力时的角速度为ω0，则有
，
解得
可知若装置匀速转动的角速度ω3=15rad/s，AB细线已断，小球将上移，设细线AC与竖直方向夹角为，有
解得
TAC=112.5N
【变式练习】
1．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度ω匀速转动。一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°。重力加速度的大小为g。
（1）若，小物块受到的摩擦力恰好为零，求。
（2）若，求小物块受到的摩擦力大小和方向。
【答案】（1） ；（2），方向沿罐壁切线向下
【详解】（1）当摩擦力为零时，支持力和重力的合力提供向心力，如图所示
根据牛顿第二定律得
解得
（2）当时，物块所受重力和支持力的合力不足以提供其做圆周运动的向心力，物块相对罐壁有上滑的趋势，摩擦力方向沿罐壁的切线向下，如图所示
在水平方向上有
在竖直方向上有
联立解得
2．图1是某游乐场中水上过山车的实物图片，图2是其原理示意图。在原理图中半径为R=8m的圆形轨道固定在离水面高h=3.2m的水平平台上，圆轨道与水平平台相切于A点，A、B分别为圆形轨道的最低点和最高点。过山车（实际是一艘带轮子的气垫小船，可视作质点）高速行驶，先后会通过多个圆形轨道，然后从A点离开圆轨道而进入光滑的水平轨道AC，最后从C点水平飞出落入水中，整个过程刺激惊险，受到很多年轻人的喜爱。已知水面宽度为s=12m，假设运动中不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，结果可保留根号。
（1）若过山车恰好能通过圆形轨道的最高点B，则其在B点的速度为多大？
（2）为使过山车安全落入水中，则过山车在C点的最大速度为多少？
【答案】（1）；（2）15m/s
【详解】（1）过山车恰好过最高点时，只受重力，有
则
（2）离开C点后做平抛运动，由，解得运动时间为
故最大速度为
一、单选题
1．如图所示，一轻杆一端固定一质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为r的圆周运动。以下说法正确的是（　　）
A．小球过最高点时，杆受力不可以是零
B．小球过最高点时的最小速率为
C．小球过最高点时，杆对球的作用力可以竖直向上，此时球受到的重力一定大于杆对球的作用力
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定竖直向下
【答案】C
【详解】小球过最高点时,如果速度等于，则只由重力提供向心力
如果速度大于，则由重力和杠对小球竖直向下的拉力的合力提供向心力
如果速度小于，则由重力和杠对小球竖直向上的支持力的合力提供向心力，且重力大于支持力
所以小球通过最高点的最小临界速度为0。故选C。
2．如图所示，悬线一端系一小球，另一端固定于点，在点正下方的点钉一个钉子，使悬线拉紧与竖直方向成一角度，然后由静止释放小球，当悬线碰到钉子时，下列说法正确的是（　　）
①小球的瞬时速度突然变大 ②小球的加速度突然变大
③小球所需的向心力突然变大 ④悬线所受的拉力突然变大
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【答案】B
【详解】①速度变化需要一段时间，速度不会突变。故①错误；②小球做圆周运动，在最低点的加速度就是向心加速度
半径突然变小，向心加速度变大。故②正确；③向心力为
F=ma
a变大，则向心力会突然变大。故③正确；④绳子的拉力为
可知拉力T会突然变大。故④正确。故选B。
3．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT-v2图像如图乙所示，则（　　）
A．数据a与小球的质量无关
B．当地的重力加速度为
C．当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为
D．当v2＝2b时，小球受到的拉力与重力大小相等
【答案】D
【详解】AB．设绳长为R，由牛顿第二定律知小球在最高点满足
即
由题图乙知a＝mg，b＝gR
所以
故AB错误；CD．当v2＝c时，有
将g和R的值代入得
故C错误；D．当v2＝2b时，由
可得
FT2＝a＝mg
即拉力与重力大小相等，故D正确。故选D。
4．如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，则小球对管内上壁有压力
B．若，则小球对管内下壁有压力
C．若，则小球对管内下壁有压力
D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力
【答案】C
【详解】A．在最高点，只有重力提供向心力时，有
解得
此时小球对管内壁无压力，故A错误；B．若
则有
此时小球受向下的压力，这表明小球对管内上壁有压力，故B错误；CD．若
则有
此时小球受向上的支持力，表明小球对管内下壁有压力，故C正确，D错误。故选C。
5．如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动。圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述不正确的是（重力加速度为g）（　　）
A．小球对圆环的压力大小等于mg
B．重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力
C．小球的线速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
【答案】A
【详解】A．因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，A错误，符合题意；BCD．小球经过圆环内侧最高点时，只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，则有
mg＝m＝ma
即
v＝
a＝g
BCD正确，不符合题意。故选A。
6．火车转弯时，如果铁路弯道的内、外轨一样高，则外轨对轮缘（如图所示）挤压的弹力F提供了火车转弯的向心力（如图中所示），但是靠这种办法得到向心力，铁轨和车轮极易受损。在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨（如图所示），当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，以下说法中正确的是（　　）
A．该弯道的半径
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度也将改变
C．当火车速率小于v时，外轨将受到轮缘的挤压
D．分别按规定速度v和大于速度v行驶时，火车所受的支持力不相等
【答案】D
【详解】A．当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，有
解得
A错误；
B．根据 ，可知，规定的行驶速度与火车的质量无关，B错误；
C．当火车速率小于v时，火车有向心运动的趋势，则对内轨有挤压，C错误；D．按规定速度行驶时，支持力为
则支持力大于重力，大于速度v行驶时，外轨给火车垂直轨道向内的力，由竖直方向的平衡条件可知，火车所受的支持力大于，故D正确。故选D。
7．天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转。一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B（m1 ≠ m2）。设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则（ ）
A．球A、B运动的周期之比等于m2：m1
B．两球的向心加速度大小相等
C．球A、B到P的距离之比等于m2：m1
D．球A、B运动的线速度之比等于m2：m1
【答案】C
【详解】A．对其中一个小球受力分析，其受到重力和绳的拉力FT，绳中拉力在竖直方向的分力与重力平衡，设轻绳与竖直方向的夹角为θ，则有
FTcosθ = mg
拉力在水平方向上的分力提供向心力，设该小球到P的距离为l，则有
解得周期为
因为任意时刻两球均在同一水平面内，h相等，所以两球运动的周期相等，A错误；B．小球的向心加速度
两球做圆周运动半径r不相等，所以两球向心加速度大小也不相等，B错误；C．连接两球的绳的张力FT相等，由于向心力为
Fn = FTsinθ = mω2lsinθ
则有
故m与l成反比，C正确；D．小球线速度v = ωlsinθ，结合选项C有
D错误。故选C。
8．如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过后又恰好垂直与倾角为的斜面相碰。已知半圆形管道的半径，小球可看作质点且其质量为，g取。则（　　）
A．小球经过管道的B点时，受到下管道的作用力的大小是
B．小球经过管道的B点时，受到上管道的作用力的大小是
C．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是
D．小球在斜面上的相碰点C与B点的竖直距离是
【答案】A
【详解】AB．小球到达斜面时竖直分速度为
因为小球垂直撞在斜面上，则
解得小球经过B点的速度
在B点，根据牛顿第二定律得
解得轨道对小球的作用力
可知轨道对小球的作用力方向向上，大小为1N，即小球经过管道的B点时，受到下管道的作用力的大小是，故A正确，B错误；
C．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离为
故C错误；
D．小球在斜面上的相碰点C与B点的竖直距离为
故D错误。故选A。
二、多选题
9．如图所示是饲养员在池塘堤坝边缘投放颗粒状鱼饲料的示意图，饲料颗粒从圆弧形滑道OA滑下，然后在滑道末端A点以水平速度v0抛出，落到倾角为θ的斜坡AB上或水面上，不计空气阻力，则（　　）
A．若饲料颗粒在O点时的速度加倍，则其在O点对轨道的压力变为原来的4倍
B．若饲料颗粒在A点时的速度加倍，则其在A点对轨道的压力变为原来的4倍
C．若饲料颗粒不能落入水中，则以不同的v0水平抛出，落到坡面时的速度方向不同
D．若饲料颗粒能落入水中，平抛初速度v0越大，落水时速度方向与水平面的夹角越小
【答案】AD
【详解】A．在O点，根据
解得在O点对轨道的压力
可知，若饲料颗粒在O点时的速度加倍，则其在O点对轨道的压力变为原来的4倍，A正确；B．在A点，根据
解得在O点对轨道的压力
可知，若饲料颗粒在A点时的速度加倍，则其在A点对轨道的压力小于原来的4倍，B错误；
C．令落到坡上的速度与水平方向夹角为，则有
解得
可知，若饲料颗粒不能落人水中，则以不同的v0水平抛出，落到坡面时的速度方向相同，C错误；
D．令落水时速度方向与水平面的夹角为，坡面高度为h，则有
解得
可知，若饲料颗粒能落入水中，平抛初速度v0越大，落水时速度方向与水平面的夹角越小，D正确。故选AD。
10．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其图像如图乙所示，则（　　）
A．当地的重力加速度为
B．轻质绳长为
C．小球在最低点和最高点的拉力之差为5a
D．若把轻绳换成轻杆，则从最高点由静止转动的过程中杆始终对小球产生支持力
【答案】AB
【详解】AB．在最高点时，绳对小球的拉力和重力的合力提供向心力，则得
化简得
①
由图像知，时，，图像的斜率，则得
得绳长
当时，，由①得
解得
故A正确，B正确；
C．只要，绳子的拉力大于0，根据牛顿第二定律得有最高点：
②
最低点：
③
从最高点到最低点的过程中，根据机械能守恒定律得
④
联立②③④解得
即小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为，故C错误；D．若把轻绳换成轻杆，则从最高点由静止转过的过程中开始时杆对小球的作用力为支持力；当转过后，小球的向心力必定由杆的拉力提供，所以可知，在小球从最高点由静止转过的过程中，杆对小球的作用力开始时是支持力，然后是拉力，故D错误。故选AB。
11．如图所示，长0.5m的轻质细杆，一端固定有一个质量为3kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为2m/s。取g=10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．小球通过最高点时，对杆的拉力大小是6N
B．小球通过最高点时，对杆的压力大小是6N
C．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24N
D．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54N
【答案】BD
【详解】AB．设在最高点杆子表现为拉力，则有
代入数据得
F=-6N
则杆子表现为推力，大小为6N。根据牛顿第三定律可知小球对杆子表现为压力，大小为6N，选项A错误，B正确；CD．在最低点，杆子表现为拉力，有
代入数据得
F=54N
根据牛顿第三定律可知小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54N，选项C错误，D正确。故选BD。
三、解答题
12．如图所示，一个质量为的滑板运动员，以的初速度从某一高台的点水平飞出，恰好从圆轨道的点的切线方向进入圆弧（不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失），最终滑板运动员刚好到达圆轨道的最高点D。已知圆弧的半径，，g取，求：
（1）A距C点的高度和滑板运动员在D点的速度大小。
（2）若滑板运动员运动到圆弧轨道点C时的速度大小为则滑板运动员对轨道的压力。
【答案】（1），；（2）
【详解】（1）运动员在A、B点之间做平抛运动，设B点处运动员的竖直分速度为，则有
解得
运动员在竖直方向上做自由落体运动，则有
解得
又
所以A距C点的高度为
运动员在D点时重力恰好提供向心力，即
解得
（2）运动员在圆弧轨道C点时，重力和支持力的合力提供向心力，即
解得
根据牛顿第三定律可知，运动员对轨道的压力为
13．如图所示装置可绕竖直轴转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，当细线AB沿水平方向绷直时，细线AC与竖直方向的夹角。已知小球的质量m＝1kg，细线AC长L＝1m，（重力加速度取，sin37°＝0.6）
（1）若装置匀速转动时，细线AB刚好被拉直成水平状态，求此时的角速度；（结果可用根号表示）
（2）若装置匀速转动的角速度，求细线AB和AC上的张力大小、。
【答案】（1）；（2），。
【详解】（1）当细线刚好被拉直时，细线的拉力为零，细线AC的拉力和重力的合力提供向心力，则有
代入数据解得
（2）若装置匀速转动的角速度，则两根绳均有张力，竖直方向上有
水平方向上有
代入数据解得
14．如图所示，半径为R=0.5m的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台静止不转动时，将一个质量为2kg、可视为质点的小物块放入陶罐内，小物块恰能静止于陶罐内壁的A点，且A点与陶罐球心O的连线与对称轴OO′成θ=37°角。重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则：
（1）当转台绕转轴匀速转动时，若物块在陶罐中的A点与陶罐一起转动且所受的摩擦力恰好为0，则转台转动的角速度为多少？
（2）若转台转动的角速度为，物块仍在陶罐中的A点随陶罐一起转动，则陶罐给物块的弹力和摩擦力大小为多少？
【答案】（1）5rad/s；（2）26.8N，2.4N
【详解】（1）若物块在陶罐中的A点与陶罐一起转动且所受的摩擦力恰好为0，对物块分析有
圆周运动半径
r=Rsinθ
解得
ω0=5rad/s
（2）当转台的角速度为时，由于该角速度大于5rad/s，则物块有向外滑的趋势，摩擦力方向向内，则有
，
解得
N=26.8N，f=2.4N
15．如图所示，用一根长为l的细线，一端系一质量为m的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角为θ。设小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T，重力加速度为g，求：
（1）若要小球刚好离开锥面，则此时小球的角速度为多大？
（2）细线的张力T与小球匀速转动的角速度有关，请通过计算在图中画出在不同取值范围的T-ω2的图象（要求标明关键点的坐标）。
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平。
在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得
解得
（2）当时
当时，小球受三个力：重力、支持力、拉力。根据牛顿第二定律有
水平方向有
竖直方向有
联立解得
显然是线性关系
当，小球恰离开锥面，则
当时，球离开锥面，绳子与竖直方向的夹角为，则
得
即也是线性关系;因此画出图象如图所示
16．《水流星》是中国传统民间杂技艺术，杂技演员用一根绳子兜着里面倒上水的两个碗，迅速地旋转着绳子做各种精彩表演，即使碗底朝上。碗里的水也不会洒出来。假设水的质量为m。绳子长度为2L，重力加速度为g，不计空气阻力。绳子的长度远远大于碗口直径，杂技演员手拿绳子的中点，让碗在空中旋转。
（1）如图甲所示，两碗在竖直平面内做圆周运动，若碗通过最高点时，水对碗的压力大小等于mg，求碗通过最高点时的线速度大小；
（2）如图甲所示，若两只碗在竖直平面内做圆周运动，两的线速度大小始终相等，当正上方碗内的水恰好不流出来时，求正下方碗内的水对碗的压力大小；
（3）如图乙所示，若两只碗绕着同一点在水平面内做匀速圆周运动。已如绳与竖直方向的夹角为θ，求碗和水转动的角速度大小。
【答案】（1）；（2）2mg，方向竖直向下；（3）
【详解】（1）由题意可知
解得
（2）重力提供向心力，速度为v0，则
设最低点碗对水的支持力为F2，则
解得
由牛顿第三定律可知，水对碗的压力为2mg，方向竖直向下；（3）设碗的质量为M，绳子的拉力为F，竖直方向有
水平方向上
联立解得

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