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第六章 6.3.1 平行向量基本定理
【基础篇】
题型1　平面向量基本定理的理解
1．已知{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是(　　)
A．2e1－e2和2e2－4e1
B．e1＋e2和e1－2e2
C．e1－2e2和e1
D．e1＋e2和2e2＋e1
2．(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列叙述中正确的有(　　)
A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)
D．若存在实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
3．如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足(　　)
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
题型2　向量相等
4． 如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点．若＝＋2μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于(　　)
A．1 B．－1
C. D.
5．设E为△ABC的边AC的中点，＝m＋n，则m＋n＝________.
题型3　平面向量的分解
6．如图所示，在正六边形ABCDEF中，设＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋2b
B．2a＋3b
C．2a＋b
D.a＋b
7．如图，在△ABC中，点D是线段AB上靠近A的三等分点，点E是线段CD的中点，则(　　)
A.＝＋
B.＝＋
C.＝－
D.＝－
8．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，用向量a和b表示c，则c＝________．
9．在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y＝(　　)
A. B. C. D.
【提升篇】
1．如果{a，b}是一个基底，那么下列不能作为基底的是(　　)
A．a＋b与a－b B．a＋2b与2a＋b
C．a＋b与－a－b D．a与－b
2．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
3．(多选)[浙江宁波九校2022高一期末]在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于M.设＝a，＝b，则下列结论正确的有(　　)
A.＝a＋b
B.＝－a＋b
C.＝－a＋b
D.＝－a＋b
4．如图，在△ABC中，D，E分别在边BC，AC上，且＝3，＝λ，F是AD，BE的交点．若＝，则λ＝(　　)
A．2 B．3 C．6 D．7
5．某中学八角形校徽由两个正方形叠加组合而成，体现“方方正正做人”之意，又体现南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神．如图的多边形，由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形组合而成．已知向量n，k，则向量a＝(　　)
A．3k＋2n
B．3k＋(2＋)n
C．(2＋)k＋(2＋)n
D．(2＋)k＋(1＋)n
6．(多选)[湖北孝感2022高一期末]已知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设＝m，＝n，其中m>0，n>0，则下列结论正确的是(　　)
A.＝＋
B.＝＋
C．2m＋n＝3
D．m＋2n＝3
7．在等腰梯形ABCD中，＝2，E为BC的中点，F为DE的中点，记＝a，＝b.若用a，b表示，则＝________.
8．在△ABC中，＝，＝.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.
9．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．
10．如图，在正△ABC中，点G为边BC的中点，边AB，AC上的动点D，E分别满足＝λ，＝(1－2λ)，λ∈R.设DE的中点为F，记＝R(λ)，则R(λ)的取值范围为________．
11．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F，G分别是AD，BC的四等分点.设＝a，＝b.
(1)用a，b表示，.
(2)如果|b|＝2|a|，EF，EG 有什么位置关系？用向量的方法证明你的结论．
12．如图所示，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M.过点M的直线l与OA，OB分别交于点E，F.
(1)试用，表示向量；
(2)设＝λ，＝μ，求证：＋是定值．
13．如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，OA⊥OC，OA＝2BC＝2OC，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于点D，P为线段BC上的动点．
(1)用和表示；
(2)求；
(3)设＝λ＋μ，求λμ的取值范围．
答案及解析
1．【答案】A
【详解】对于A选项，因为2e2－4e1＝－2(2e1－e2)，所以2e1－e2和2e2－4e1共线，A选项不满足条件；对于B选项，设e1＋e2＝λ(e1－2e2)＝λe1－2λe2，则无解，故e1＋e2和e1－2e2不共线，B选项能作为基底；同理可知e1－2e2和e1不共线，e1＋e2和2e2＋e1也不共线，C，D选项均能作为基底．故选A.
2．【答案】AD
【详解】由平面向量基本定理可知，A，D正确．对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，λ有无数个．故选AD.
3．【答案】B
【详解】取第Ⅲ部分内一点画图易得a>0，b<0.
4．【答案】D
【详解】因为E为AO的中点，所以＝＝(＋)，
所以＝－＝(＋)－＝－.
又因为＝＋2μ，
所以解得所以λ＋μ＝，故选D.
5．【答案】－
【详解】因为＝＋＝－＋＝m＋n，所以m＝－1，n＝，所以m＋n＝－.
6．【答案】C
【详解】在正六边形ABCDEF中，连接FC，则FC∥AB，FC＝2AB，所以＝＋＝＋2＝2a＋b.故选C.
7．【答案】A
【详解】由题图知＝＋＝＋.故选A.
8．【答案】a－2b
【详解】因为a，b不共线，设c＝xa＋yb(x，y∈R)，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.又因为e1，e2不共线，所以解得所以c＝a－2b.
9．【答案】D
【详解】如图所示，
设＝μ＝2μ＋μ(μ∈R)．因为F，T，B共线，所以3μ＝1，解得μ＝.
所以＝，
所以＝－＝－＝＋.
又＝x＋y，所以x＝，y＝，所以x＋y＝.故选D.
1．【答案】C
【详解】由题意知，a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A，B，D选项中的两个向量都可以作为基底，而a＋b与－a－b共线，不能作为基底．
2．【答案】B
【详解】∵CD平分∠ACB，∴＝＝2.∴＝2＝＝(－)＝(a－b)．∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.
3．【答案】ABD
【详解】由题意得，＝＋＝b＋a，故A正确；＝＋＝－a＋b＋a＝b－a，故B正确；由△CMD∽△AMB，且CD＝AB得＝，则＝＋＝－a＋＝－a＋b＋a＝b－a，故C错误；＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a，故D正确．故选ABD.
4．【答案】A
【详解】由题意得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
因为B，E，F三点共线，所以＝k＋(1－k)＝k＋.
因为＝，所以k＋＝，则解得λ＝2，故选A.
5．【答案】D
【详解】根据题意可得|n|＝|k|，已知该图形是由以正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形与原正方形组合而成，
如图，由对称性可得|AB|＝|BC|＝|CD|＝|DE|＝|EQ|＝|QF|，|CE|＝|EF|＝|FG|＝|AB|＝|n|.
由图可知点B，C，E，Q共线，点Q，F，G共线，
所以＝＋＋＝(2＋)k，
＝＋＝(1＋)n，
所以a＝＝＋＝(2＋)k＋(1＋)n.故选D.
6．【答案】AC
【详解】＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，A正确，B错误．
因为＝m，＝n，所以＝＋＝＋.
又因为M，O，N三点共线，所以＋＝1，故2m＋n＝3，C正确，D错误．
故选AC.
7．【答案】a＋b
【详解】＝＋＝(＋)＋＝＋，
∴＝＝＋，即＝a＋b.
8．【答案】
【详解】＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，又＝λ1＋λ2，所以λ1＋λ2＝.
9．【答案】
【详解】∵E，F是AD的两个三等分点，D是BC的中点，
∴＝＋，＝＋＝－，＝＋＝＋3，＝＋＝3－.
∴·＝9||2－||2＝4，
·＝||2－||2＝－1，
解得||2＝，||2＝.
又∵＝＋＝＋2，＝CD＋＝2－，
∴·＝4||2－||2＝－＝.
10．【答案】 　
【解析】设正△ABC的边长为2，则·＝2×2×cos ＝2，||＝2.
＝－＝(＋)－(＋)＝(1－λ)＋λ，所以||＝
＝.又0≤1－2λ≤1，0≤λ≤1，所以0≤λ≤，因此||＝∈，R(λ)＝∈.
11．【答案】(1)由已知，得＝＝a，＝＝b，
所以＝＋＝b－a，
＝＋＝b＋a.
(2)EF与EG互相垂直．证明如下：
·＝·(b－a)＝b2－a2，
因为|b|＝2|a|，所以·＝0，
即EF⊥EG，
所以EF与EG互相垂直．
12．【答案】(1)【解】由A，M，D三点共线可得存在实数m，使得＝m＋(1－m)，
又＝，故＝m＋.
由C，M，B三点共线可得存在实数n，使得＝n＋(1－n)，又＝，故＝＋(1－n).
由题意知，不共线，
则解得
故＝＋.
(2)【证明】由E，M，F三点共线，可设＝k＋(1－k)(k∈R)，
由＝λ，＝μ，得＝kλ＋(1－k)μ.
由(1)知＝＋，
则即
所以＋＝7，故＋是定值．
13．
【答案】(1)依题意＝，＝，
∴＝(－)＝(＋)－＝－，
∴＝＋＝＋＝＋.
(2)设＝t(t∈R)．
由(1)可知＝t＋t.
又A，C，D三点共线，∴t＋t＝1，解得t＝，故＝3.
(3)由题意得＝＋＝＋，
已知P是线段BC上的动点，设＝x.
∵＝λ＋μ＝λ(－)＋μ(＋)＝(λ＋μx)＋(μ－λ)，
又，不共线，∴解得
又0≤x≤，∴1≤x＋1≤，∴1≤μ≤.
可知λμ＝μ(μ－1)＝－在区间上单调递增，
当μ＝1时，(λμ)min＝0，当μ＝时，(λμ)max＝，
故λμ的取值范围是.

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