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2014届广东高考理科数学冲刺提分训练
已知函数，的最大值是1，其图像经过点
．
（1）求的解析式；
（2）已知，且，，求的值．
2. 设函数.
（1）若是函数的一个零点，求的值；
（2）若是函数的一个极值点，求的值.
3. 在中，内角所对的边长分别是, 已知，.
（1）求的值；
（2）若为的中点，求的长.
4. 一缉私艇发现在方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）45°方向，距离15 海里的海面上有一走私船正以25 海里/小时的速度沿方位角为105°的方向逃窜．若缉私艇的速度为35 海里/小时，缉私艇沿方位角为45°+α的方向追去，若要在最短时间内追上该走私船．
（1）求角α的正弦值；
（2）求缉私艇追上走私船所需的时间．
5. 某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望．
6.汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对排放量超过
的型新车进行惩罚．某检测单位对甲、乙两类型品牌车各抽取辆进行
排放量检测，记录如下(单位：).
甲
80
110
120
140
150
乙
100
120
160
经测算发现，乙品牌车排放量的平均值为．
（1）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合排放量的概率是多少？
（2）若，试比较甲、乙两类品牌车排放量的稳定性．
7．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．
（1）求的分布列；
（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
8．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面，，分别为的中点．
（1）求证：；
（2）求与平面所成的角的正弦值．
9．一个三棱锥的三视图、直观图如图．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求点C到平面SAB的距离；
（3）求二面角的余弦值．
10．如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形所在的平面
和圆所在的平面互相垂直，且，．
（1）求证：平面；
（2）设的中点为，求证：平面；
（3）设平面将几何体分成的两个锥体
的体积分别为，，求．
11.已知等比数列的公比，，且、、成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
12.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度 （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0 ；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当车流密度为多大时，车流量可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）. (车流量为单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）
13．某地区有荒山2200亩，从2002年开始每年年初在荒山上植树造林，
第一年植树100亩，以后每年比上一年多植树50亩．
（1）若所植树全部成活，则到哪一年可以将荒山全部绿化？
（2）若每亩所植树苗木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率
为20％，那么到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量是多少？
（精确到１立方米, ）
14. 已知抛物线与双曲线有公共焦点，点
是曲线在第一象限的交点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）以双曲线的另一焦点为圆心的圆与直线相切，圆：
．过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和，设被圆截得的弦长为，被圆截得的弦长为．是否为定值？请说明理由．
15. 如图，长为m＋1（m＞0）的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，点M是线段AB上一点，且＝m．
（1）求点M的轨迹Γ的方程，并判断轨迹Γ为何种圆锥曲线；
（2）设过点Q(，0)且斜率不为0的直线交轨迹Γ于C、D两点．
试问在x轴上是否存在定点P，使PQ平分∠CPD？若存在，求点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
16.已知数列的前项和的平均数为
（1）求的通项公式；
（2）设，试判断并说明的符号；
（3）设函数，是否存在最大的实数? 当时，对于一切非零自然数，都有
17. 数列满足，且时，，
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，求证对任意的正整数都有
18. 设，函数， ，．
（1）当时，求函数的值域；
（2）试讨论函数的单调性．
19.已知函数的图像在点处的切线方程为.
（1）用表示出；
（2）若在上恒成立，求的取值范围；
（3）证明：.
20.如图,已知直线及曲线上的点的横坐标为().从曲线上的点作直线平行于轴，交直线作直线平行于轴，交曲线的横坐标构成数列.
(1)试求的关系;
(2)若曲线的平行于直线的切线的切点恰好介于点之间
(不与重合),求的取值范围;
(3)若,求数列的通项公式.
21. 已知函数的导函数是, 对任意两个不相等
的正数, 证明: (1)当时, ;
(2)当时, .
22. 对于函数，若存在∈R，使成立，则称为的不动点．
如果函数＝有且仅有两个不动点0和2．
（1）试求b、c满足的关系式；
（2）若c＝2时，各项不为零的数列{an}满足4Sn·＝1，
求证：＜＜；
（3）在(2)的条件下, 设bn＝－，为数列{bn}的前n项和，
求证：．

23.已知定义在上的单调函数，存在实数，使得对于任意实数，总有恒成立．
（1）求的值；
（2）若，且对任意正整数，有，
记，比较与的大小关系，并给出证明．
24. 已知函数，设在点N*）处的切线在轴上的截距为，数列满足：N*）．
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列中，仅当时，取最小值，求的取值范围；
（3）令函数，数列满足：，N*），
求证：对于一切的正整数，都满足：．
参考答案
解：（1）依题意有，则，将点代入得，
而，，，故.
（2）依题意有，而，
，
.
2. 解：（1）是函数的一个零点, ∴ , 从而.
∴
（2）, 是函数的一个极值点
∴, 从而.
∴.
3. 解：（1）且，∴．
∴
．
（2）由（1）可得．
由正弦定理得，即，解得．
在中，， ，∴．
4. 解：（1）设缉私艇追上走私船所需的时间为t小时，
则有|BC|＝25t，|AB|＝35t，
且∠CAB＝α，∠ACB＝120°，
根据正弦定理得： ，
即， ∴ sinα＝．
（2）在△ABC中由余弦定理得：|AB|2＝|AC|2＋|BC|2－2|AC||BC|cos∠ACB，
即 （35t）2＝152＋（25t）2－2·15·25t·cos120°，即24t2―15t―9＝0，
解之得：t=1或t=－（舍）
故缉私艇追上走私船需要1个小时的时间．
5.解：（1）众数：8.6；中位数：8.75
（2）设表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，则
（3）的可能取值为0、1、2、3.高…考.资.源+网 高.考.资.源+网
；
；
的分布列为
21世纪教育网
所以.
另解：的可能取值为0、1、2、3.高..考.资., 则，.
的分布列为

所以=.
6. 解：（1）从被检测的辆甲类品牌车中任取辆，共有种不同的排放量结果：
()；()；()；()；()；
()；()；()；()；().
设“至少有一辆不符合排放量”为事件，则事件包含以下种不同的结果：
()；()；()；()；()；()；().
所以，. 答：至少有一辆不符合排放量的概率为
（2）由题可知，，.

，
令，，，
，

，，∴乙类品牌车碳排放量的稳定性好.
7．解（1）的所有可能取值有6，2，1，-2；，
，
故的分布列为：
6
2
1
-2
0.63
0.25
0.1
0.02
（2）
（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为
依题意，，即，解得 所以三等品率最多为.
8．（1）解法1：∵是的中点，，∴．
∵平面，所以．
又，，∴，．
又，∴平面．
∵平面，∴．
解法2：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，
可得，．
因为?，所以．
（2）因为?．
所以 ，又，所以 平面，
因此 的余角即是与平面所成的角．
因为 ．
所以与平面所成的角的正弦值为．
9. 解： （1）由正视图、俯视图知；
由正视图、侧视图知，点B在平面SAC上的正投影为AC的中点D，则，
平面，；
由俯视图、侧视图知，点S在平面ABC上的正投影为DC的中点O，
则，平面，．如图．
（1）三棱锥的体积．
解法一：
以O为原点，OA为轴，过O且平行于BD的直线为轴，OS为轴，建立如图空间直角坐标系，可求，，
设是平面SAB的一个法向量，则
，取，
（2）可知，设点C到平面SAB的距离为，
则．
（3）可知是平面ABC一个法向量，故，
二面角的余弦值为．
解法二：
（2）可求，，
，
△SAB的面积，
设点C到平面SAB的距离为，
由三棱锥的体积，
得．
（3）作于H，作交AB于E，则，
连接SE，因OE是SE在底面ABC内的射影，而，故，
为二面角的平面角．
△ABC中，易求，
由△ABC的面积，，，
△AEO与△AHC相似，相似比为AO：AC=3：4，故，
中，，
故，二面角的余弦值为．
10.（1）证明： 平面平面,,
平面平面=，
平面，
平面，，
为圆的直径，， 平面．
（2）设的中点为，则，又，
则，为平行四边形，
，又平面，平面， 平面．
（3）过点作于，平面平面，
平面，，
平面，
，
．
11.解：（1）因为、、成等差数列，
所以，即.
因为，，所以，即.
因为，所以.所以.
所以数列的通项公式为.
（2）因为，所以.
所以
当时，
；
当时，
.
综上所述，
12. 解:(1)由题意，当时，当时，设
由已知得解得..
(2)依题意得
当时，为增函数，故.
当时，时，取最大值.
答：车流密度为100时，车流量达到最大值3333.
13.解：（1）设植树年后可将荒山全部绿化，记第年初植树量为，
依题意知数列是首项，公差的等差数列，
则, 即
∵ ∴
∴到2009年初植树后可以将荒山全部绿化．
（2）2002年初木材量为，到2009年底木材量增加为,
2003年初木材量为，到2009年底木材量增加为,……
2009年初木材量为，到2009年底木材量增加为.
则到2009年底木材总量
----------①
---------②
②-①得
∴ｍ2
答：到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为9060ｍ2
14. 解：（1）∵抛物线的焦点为，
∴双曲线的焦点为、，
设在抛物线上，且，
由抛物线的定义得，，∴，∴，∴，
∴，又∵点在双曲线上，由双曲线定义得，
，∴， ∴双曲线的方程为：．
（2）为定值．下面给出说明．
设圆的方程为：， ∵圆与直线相切，
∴圆的半径为，故圆：.
显然当直线的斜率不存在时不符合题意，
设的方程为，即，
设的方程为，即，
∴点到直线的距离为，点到直线的距离为，
∴直线被圆截得的弦长，
直线被圆截得的弦长，
∴， 故为定值．

15. 解：（1）设A、B、M的坐标分别为(x0，0)、(0，y0)、(x，y)，则
x＋y＝(m＋1)2， ①
由＝m，得(x－x0，y)＝m(－x，y0－y)，
∴∴ ②
将②代入①，得
(m＋1)2x2＋()2y2＝(m＋1)2，
化简即得点M的轨迹Γ的方程为x2＋＝1（m＞0）．
当0＜m＜1时，轨迹Γ是焦点在x轴上的椭圆；
当m＝1时，轨迹Γ是以原点为圆心，半径为1的圆；
当m＞1时，轨迹Γ是焦点在y轴上的椭圆．
（2）依题意，设直线CD的方程为x＝ty＋，
由消去x并化简整理，得(m2t2＋1)y2＋m2ty－m2＝0，
△＝m4t2＋3m2(m2t2＋1)＞0，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则
y1＋y2＝－，y1y2＝－． ③
假设在x轴上存在定点P(a，0)，使PQ平分∠CPD，
则直线PC、PD的倾斜角互补，
∴kPC＋kPD＝0，即＋＝0，
∵x1＝ty1＋，x2＝ty2＋，∴＋＝0，
化简，得4ty1y2＋(1－2a)( y1＋y2)＝0． ④
将③代入④，得－－＝0，即－2m2t(2－a)＝0，
∵m＞0，∴t(2－a)＝0，∵上式对?t∈R都成立，∴a＝2．
故在x轴上存在定点P(2，0)，使PQ平分∠CPD．
16.解：（1）由题意，，两式相减得，而，
（2），
(3)由（2）知是数列的最小项.
当时，对于一切非零自然数，都有,
即，即，
解得或，取.
17. 解：（1），则 则
（2） 由于，因此，
又
所以从第二项开始放缩：
因此
18.解:（1），
当时，，即时，最小值为2．
当时，，在上单调递增，所以．
所以时，的值域为．
（2）依题意得
①若，当时，，递减，当时，，递增．
②若，当时，令，解得，
当时，，递减，当时，，递增．
当时，，递增．
③若，当时，，递减．
当时，解得，
当时，，递增，
当时，，递减．
④，对任意，，在上递减．
综上所述，当时，在或上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在，上单调递减；
当时，在上单调递减．
19. 解：（1）则有.
（2）由（1）得
令,
①当时，.若，是减函数，∴ ，即故在不恒成立.
②当时，.若，是增函数，∴，
即故时.综上所述，的取值范围是.
（3）由（2）知，当时，有.令，则 即当时，总有令，则 .将上述个不等式累加得整理得
20.解:(1)因为点的坐标为,的坐标为,
所以点的坐标为,则故的关系为
设切点为,则得,所以
解不等式得.
.
的取值范围是
(3) 由得,即,故
,
所以数列是以2为公比,首项为的等比数列, 即解得,
数列的通项公式为.
21. 略解：（1）
.
，
而,
又,得,
又,得,由于,故.
所以.
所以.
（2），故
，
下面证明：成立.
法1：.
令，则，
可知.即.
法2：即
由于.
令，则，可知.
故成立.
22. 解： (1)设
∴
(2)∵c＝2 ∴b＝2 ∴，
由已知可得2Sn＝an－an2……①，且an ≠ 1．
当n ≥ 2时，2 Sn -1＝an－1－……②，
①－②得(an＋an－1)( an－an－1＋1)＝0，
∴an＝－an－1 或 an＝－an－1 ＝－1，
当n＝1时，2a1＝a1－a12 a1＝－1，
若an＝－an－1，则a2＝1与an ≠ 1矛盾．∴an－an－1＝－1， ∴an＝－n．
∴要证不等式，只要证 ，即证 ，
只要证 ，即证 ．
考虑证不等式(x＞0) . (**)
令g(x)＝x－ln(1＋x)， h(x)＝ln(x＋1)－ (x＞0) ．
∴＝， ＝，
∵x＞0， ∴＞0， ＞0，∴g(x)、h(x)在(0, ＋∞)上都是增函数，
∴g(x)＞g(0)＝0， h(x)＞h(0)＝0，∴x＞0时，．
令则(**)式成立，∴＜＜，
(3)由(2)知bn＝，则Tn＝．
在中，令n＝1，2，3，，2008，并将各式相加，
得，
即T2009－1＜ln2009＜T2008．
23.解:（1）令，得，
……①，
令得．
……②
由①、②，得．
为单调函数，．
（2）由（1）得
，，
，．
又．
．
.
．
.
24.解:（1） ，则，
得，即，
∴数列是首项为2、公差为1的等差数列，∴，即.
（2），∴函数在点N*）处的切线方程为：
，令，得．
，仅当时取得最小值，
只需，解得，故的取值范围为．
（3），故，
，故，则，即．
∴
=．
又，
故．

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