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第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
1、能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.
2、会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别.
3、理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
一、向量的概念
1.向量：既有 又有 的量叫做向量.
2.数量：只有 没有 的量称为数量.
二、向量的几何表示
1.有向线段
具有 的线段叫做有向线段，它包含三个要素： 、 、 ，如图所示.
以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||.
2.向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，).
3.模、零向量、单位向量
向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||.长度为 的向量叫做零向量，记作 ；长度等于 个单位长度的向量，叫做单位向量.
三、相等向量与共线向量
1.平行向量：方向 的 向量叫做平行向量.
(1)记法：向量a与b平行，记作a∥b.
(2)规定：零向量与任意向量 .
2.相等向量：长度 且方向 的向量叫做相等向量.
3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做 向量.
【答案】
一、1.大小 方向；2.大小 方向
二、1.方向 起点 方向 长度；3.0 0 1
三、1.相同或相反 非零 平行；2.相等 相同；3.共线
一、选择题
1.下列说法中正确的是（ ）
A. 两个长度相等的向量一定相等 B. 相等的向量起点必定相同
C. 与 共线，则 四点必在同一直线上 D. 相等的向量一定是平行向量
【答案】 D
【解析】选项A：两个向量相等，则其长度相等，方向相同，故A错；
选项B：两个向量相等，则其长度相等，方向相同，与向量的起点无关，故B错；
选项C：两向量共线，则其方向相同或相反，并不一定四点共线，故C错；
选项D：相等向量方向相同，所以一定是平行向量，故D正确.
故选D.
2.下列说法中错误的是( )
A. 零向量是没有方向的 B. 零向量的长度为0
C. 零向量与任一向量平 D. 零向量的方向是任意的
【答案】 A
【解析】本题主要考查零向量的概念，对于选项A,零向量的方向是任意的，故错误；零向量的方向是任意的；零向量与任一向量平行；故A是错误的.
3.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是(　　)
A.单位圆 B.一段弧
C.线段 D.直线
【答案】A
4.若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为(　　)
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
【答案】C
【解析】因为＝，
所以四边形ABCD为平行四边形，
又||＝||，即邻边相等，
所以四边形ABCD为菱形.
5.下列说法正确的是（ ）
A. 向量 ∥ 就是 所在的直线平行于 所在的直线
B. 共线向量是在一条直线上的向量
C. 长度相等的向量叫做相等向量
D. 零向量长度等于0
【答案】 D
【解析】解：A：向量 ∥ 就是 所在的直线平行于 所在的直线，不正确；
B：共线向量是在一条直线上的向量，不正确；
C：长度相等的向量叫做相等向量，不正确；
D：零向量长度等于0，正确；
故选：D．
6.有关向量 和向量 ，下列四个说法中：
①若 ，则 ；②若 ，则 或 ；③若 ，则 ；④若 ，则 .其中的正确有（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】 B
【解析】由零向量的定义，可知①④正确；
由向量的模定义，可知②不正确；
由向量共线可知③不正确.
故答案为：B
7.(多选)下列说法错误的有(　　)
A.共线的两个单位向量相等
B.相等向量的起点相同
C.若∥，则一定有直线AB∥CD
D.若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
【答案】ABCD
【解析】A错，共线的两个单位向量的方向可能相反；B错，相等向量的起点和终点都可能不相同；C错，直线AB与CD可能重合；D错，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不共线.
二、填空题
8.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
【答案】　0
【解析】　与不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行.
9.下列结论正确的序号是 .
⑴若 都是单位向量，则 ;⑵物理学中作用力与反作用力是一对共线向量; ⑶方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量; ⑷直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量。
【答案】 ⑵⑶
【解析】对于（1）， ， 都是单位向量，但方向不一定相同，（1）错误；
对于（2），物理学中的作用力与反作用力大小相等，方向相反，
是一对共线向量，（2）正确；
对于（3），如图所示，
方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量在一条直线上，
是共线向量，（3）正确；
对于（4），直角坐标平面上的x轴、y轴只有方向，没有大小，
不是向量，（4）错误；
综上，正确的命题序号是（2）（3）．
故答案为：（2）（3）．
三、解答题
10.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与共线的向量有几个？
【答案】(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.
(2)存在.由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与的长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个.
(3)由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个.第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
1、能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.
2、会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别.
3、理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
一、向量的概念
1.向量：既有 又有 的量叫做向量.
2.数量：只有 没有 的量称为数量.
二、向量的几何表示
1.有向线段
具有 的线段叫做有向线段，它包含三个要素： 、 、 ，如图所示.
以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||.
2.向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，).
3.模、零向量、单位向量
向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||.长度为 的向量叫做零向量，记作 ；长度等于 个单位长度的向量，叫做单位向量.
三、相等向量与共线向量
1.平行向量：方向 的 向量叫做平行向量.
(1)记法：向量a与b平行，记作a∥b.
(2)规定：零向量与任意向量 .
2.相等向量：长度 且方向 的向量叫做相等向量.
3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做 向量.
一、选择题
1.下列说法中正确的是（ ）
A. 两个长度相等的向量一定相等 B. 相等的向量起点必定相同
C. 与 共线，则 四点必在同一直线上 D. 相等的向量一定是平行向量
2.下列说法中错误的是( )
A. 零向量是没有方向的 B. 零向量的长度为0
C. 零向量与任一向量平 D. 零向量的方向是任意的
3.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是(　　)
A.单位圆 B.一段弧
C.线段 D.直线
4.若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为(　　)
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
5.下列说法正确的是（ ）
A. 向量 ∥ 就是 所在的直线平行于 所在的直线
B. 共线向量是在一条直线上的向量
C. 长度相等的向量叫做相等向量
D. 零向量长度等于0
6.有关向量 和向量 ，下列四个说法中：
①若 ，则 ；②若 ，则 或 ；③若 ，则 ；④若 ，则 .其中的正确有（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.(多选)下列说法错误的有(　　)
A.共线的两个单位向量相等
B.相等向量的起点相同
C.若∥，则一定有直线AB∥CD
D.若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
二、填空题
8.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
9.下列结论正确的序号是 .
⑴若 都是单位向量，则 ;⑵物理学中作用力与反作用力是一对共线向量; ⑶方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量; ⑷直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量。
三、解答题
10.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与共线的向量有几个？

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