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2023年浙教版八下数学第一章二次根式章节复习
（教师版）
一、知识梳理
知识点一、二次根式的概念：
1、像 这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式叫做二次根式。为了方便，我们把一个数的算术平方根（如 ）也叫做二次根式。
2、二次根式被开方数不小于0。
知识点二、二次根式有意义的条件：
1、二次根式被开方数不小于0
2、分母含有字母的，分母不等于0
知识点三、最简二次根式：
最简二次根式必须同时满足下列条件：
1、被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；
2、被开方数中不含分母；
3、分母中不含根式。
知识点四、同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
知识点五、二次根式的性质：
两个基本性质：
①
②
知识点四、二次根式的化简与计算
1、计算规则
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
2、计算公式
①
②
③
④
⑤
⑥
知识点五、二次根式的应用
二、典例分析
知识点一．二次根式的定义
例1．下列的式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、当x＝0时，﹣x﹣2＜0，无意义，故本选项错误；
B、当x＝﹣1时，无意义；故本选项错误；
C、∵x2+2≥2，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；
D、当x＝±1时，x2﹣2＝﹣1＜0，无意义；故本选项错误；
故选：C．
变式1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、当a+1≥0，即a≥﹣1时，是二次根式，本选项错误；
B、当a﹣1≥0，即a≥1时，是二次根式，本选项错误；
C、当a2﹣1≥0时，是二次根式，本选项错误；
D、a2+2a+2＝a2+2a+1+1＝（a+1）2+1＞0，
∴一定是二次根式，本选项正确；
故选：D．
变式2．在式子中，二次根式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：根据二次根式的定义，y＝﹣2时，y+1＝﹣2+1＝﹣1，
所以二次根式有（x＞0），，（x＜0），，共4个．
故选：C．
例2．已知n是正整数，是整数，n的最小值为（　　）
A．21 B．22 C．23 D．24
【解答】解：∵189＝32×21，
∴＝3，
∴要使 是整数，n的最小正整数为21．
故选：A．
变式1．二次根式的值等于（　　）
A．﹣2 B．±2 C．2 D．4
【解答】解：原式＝|﹣2|＝2．
故选：C．
变式2．若是二次根式，则下列说法正确的是（　　）
A．x≥0 B．x≥0且y＞0
C．x、y同号 D．x≥0，y＞0或x≤0，y＜0
【解答】解：依题意有≥0且y≠0，即≥0且y≠0．
所以 x≥0，y＞0或x≤0，y＜0．
故选：D．
变式3．若是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：∵＝＝3，且是整数；
∴3是整数，即7n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为7．
故选：D．
知识点二．二次根式有意义的条件
例1．式子+有意义的条件是（　　）
A．x≥0 B．x≤0 C．x≠﹣2 D．x≤0且x≠﹣2
【解答】解：根据题意得﹣x≥0且x+2≠0，
解得x≤0且x≠﹣2．
故选：D．
变式1．二次根式在实数范围内有意义，则a的取值围是（　　）
A．a≥0 B．a≤0 C．a＜0 D．a≤﹣2
【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴﹣2a≥0，
∴a≤0．
故选：B．
变式2．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，
则2x﹣6≥0，
解得：x≥3，
则x的取值范围在数轴上表示为：．
故选：A．
变式3．使二次根式有意义的x的取值范围是　x≤2　．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴1﹣x≥0，
解得：x≤2．
故答案为：x≤2．
知识点三．二次根式的性质与化简
例1．若5＜m＜9，则化简+的结果是（　　）
A．﹣7 B．7 C．2m﹣13 D．13﹣2m
【解答】解：∵5＜m＜9，
∴3﹣m＜0，m﹣10＜0，
∴+＝m﹣3+10﹣m＝7，
故选：B．
变式1．下列各式中计算正确的是（　　）
A． B． C．＝x+1 D．
【解答】解：A、原式＝，所以A选项错误；
B、原式＝＝3，所以B选项错误；
C、是最简二次根式不能化简，所以C选项错误；
D、原式＝，所以D选项正确．
故选：D．
变式2．已知xy＜0，把代数式中的x移到根号内，那么这个代数式等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵﹣≥0，xy＜0，
∴y＜0，x＞0，
∴＝＝．
故选：B．
例2．已知﹣1＜a＜0，化简+的结果为（　　）
A．2a B．2a+ C． D．﹣
【解答】解：∵﹣1＜a＜0，
∴+
＝+
＝+
＝a﹣﹣（a+）
＝﹣．
故选：D．
变式1．已知a＜0，b＞0，化简＝　b﹣a　．
【解答】解：∵a＜0，b＞0，
∴b﹣a＞0，
∴＝|a﹣b|＝b﹣a，
故答案为：b﹣a．
变式2．用一组a，b的值说明式子“＝2a2b”是错误的，这组值可以是a＝　1　，b＝　﹣1　．
【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，＝＝2，2a2b＝2×12×（﹣1）＝﹣2，
∴“＝2a2b”是错误的，
故答案为：1；﹣1（答案不唯一）．
知识点四．最简二次根式
例1．下列二次根式中最简二次根式为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、原式＝，不符合题意；
B、原式＝，不符合题意；
C、原式＝|x|，不符合题意；
D、原式为最简二次根式，符合题意，
故选：D．
变式1．下列式子为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：（B）原式＝2，故B不是最简二次根式；
（C）原式＝2，故C不是最简二次根式；
（D）原式＝，故D不是最简二次根式；
故选：A．
变式2．下列式子中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：是最简二次根式，故选项A正确；
＝3，不是最简二次根式，故选项B不正确；
＝2，不是最简二次根式，故选项C不正确；
被开方数含分母，不是最简二次根式，故选项D不正确，
故选：A．
例2．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B．﹣ C． D．
【解答】解：A、＝，不是最简二次根式；
B、，是最简二次根式；
C、＝|2a+1|，不是最简二次根式；
D、＝，不是最简二次根式；
故选：B．
变式1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：（B）原式＝，故选项B不是最简二次根式；
（C）原式＝，故选项C不是最简二次根式；
（D）原式＝3|a|，故选项（D）不是最简二次根式；
故选：A．
变式2．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：（A）原式＝2，故选项A不是最简二次根式；
（C）原式＝，故选项C不是最简二次根式；
（D）原式＝|x|，故选项D不是最简二次根式；
故选：B．
知识点五．二次根式的乘除法
例1．等式成立的条件是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜9 C．﹣2≤x＜9 D．﹣2≤x≤9
【解答】解：由题意可知：，
解得：﹣2≤x＜9，
故选：C．
例2．计算：×＝　7　．
【解答】解：原式＝××＝7，
故答案为：7．
例3．先化简，再求值：6x2+2xy﹣8y2﹣2（3xy﹣4y2+3x2），其中x＝，y＝．
【解答】解：原式＝6x2+2xy﹣8y2﹣6xy+8y2﹣6x2
＝（6x2﹣6x2）+（2xy﹣6xy）+（﹣8y2+8y2）
＝﹣4xy．
当x＝，y＝时，
原式＝﹣4××
＝﹣8．
知识点六．分母有理化
例1．有理化分母：＝　+　．
【解答】解：原式＝＝+，
故答案为：+
变式1．下列各式中，互为有理化因式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：与互为有理化因式，
故选：C．
变式2．若a＝，b＝1﹣，则a、b两数的关系是（　　）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数
【解答】解：化简得：a＝＝＝﹣1，b＝1﹣，
则a与b互为相反数，
故选：A．
例2．下列结论中正确的是（　　）
A．是的有理化因式
B．不是最简二次根式
C．3﹣2的绝对值是3﹣2
D．3+2的倒数是3﹣2
【解答】解：A、是的有理化因式，故此选项错误；
B、，是最简二次根式，故此选项错误；
C、3﹣2的绝对值是2﹣3，故此选项错误；
D、3+2的倒数是3﹣2，故此选项正确；
故选：D．
变式1．若a＝1﹣，b＝﹣，则a与b的关系是（　　）
A．互为相反数 B．相等
C．互为倒数 D．互为有理化因式
【解答】解：b＝﹣＝﹣（﹣1）＝﹣+1，
而a＝1﹣，
所以a＝b．
故选：B．
变式2．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（　　）
A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2
【解答】解：分母有理化，可得a＝2+，b＝2﹣，
∴a﹣b＝（2+）﹣（2﹣）＝2，故A选项错误；
a+b＝（2+）+（2﹣）＝4，故B选项错误；
ab＝（2+）×（2﹣）＝4﹣3＝1，故C选项正确；
∵a2＝（2+）2＝4+4+3＝7+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+3＝7﹣4，
∴a2≠b2，故D选项错误；
故选：C．
例3．已知a＝+1，b＝，则a与b的关系是（　　）
A．ab＝1 B．a+b＝0 C．ab＝﹣1 D．a＝b
【解答】解：b＝＝＝+1，
∵a＝+1，
∴a＝b，
故选：D．
例4．在将式子（m＞0）化简时，
小明的方法是：；
小亮的方法是：；
小丽的方法是：．
则下列说法正确的是（　　）
A．小明、小亮的方法正确，小丽的方法不正确
B．小明、小丽的方法正确，小亮的方法不正确
C．小明、小亮、小丽的方法都正确
D．小明、小丽、小亮的方法都不正确
【解答】解：在将式子（m＞0）化简时，
小明的方法是：＝＝＝，正确；
小亮的方法是：＝＝，正确；
小丽的方法是：＝＝＝，正确，
则小明、小亮、小丽的方法都正确．
故选：C．
例5．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简：＝　　；＝　　．
（2）填空：的倒数为　﹣　．
（3）化简：．
【解答】解：（1）＝＝；＝＝；
（2）＝﹣，
即的倒数为﹣；
故答案为，，﹣；
（3）原式＝+++…+）（+1）
＝（﹣1）（+1）
＝（2n+1﹣1）
＝n．
知识点七．同类二次根式
例1．在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
【解答】解：A、＝2，被开方数是3，与的被开方数2不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
B、＝＝，被开方数是3，与的被开方数2相同，是同类二次根式，故本选项符合题意．
C、＝|b|，被开方数是ab，与的被开方数2ab不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
D、和的被开方数分别是a﹣1、a+1，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
故选：B．
变式1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、＝5，与不是同类二次根式；
B、＝，与是同类二次根式；
C、与不是同类二次根式；
D、＝5，与不是同类二次根式；
故选：B．
变式2．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（　　）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣2
【解答】解：根据题意，得x+4＝3x，
解得x＝2．
故选：C．
变式3．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值为（　　）
A．1 B．±3 C．3 D．3
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴3a+8＝12﹣a，
解得：a＝1，
故选：A．
变式4．最简二次根式与是同类二次根式，则b＝　2　．
【解答】解：∵与是同类二次根式，
∴2b+1＝7﹣b，7﹣b＞0，2b＞+1＞0，
∴b＝2，
故答案为：2
知识点八．二次根式的加减法
例1．计算4+3﹣的结果是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：原式＝2+﹣2＝，
故选：A．
例2．下列运算正确的是（　　）
A．2a3+5a2＝7a5
B．3﹣＝3
C．（﹣x2） （﹣x3）＝﹣x5
D．（m﹣n）（﹣m﹣n）＝n2﹣m2
【解答】解：A、2a3和5a2不是同类项不能合并，错误；
B、3﹣＝2，错误；
C、（﹣x2） （﹣x3）＝x5，错误；
D、（m﹣n）（﹣m﹣n）＝n2﹣m2，正确．
正确的是D．故选D．
例3．计算﹣4的结果是　3　．
【解答】解：原式＝4﹣4×
＝4﹣
＝3．
故答案为：3．
知识点九．二次根式的混合运算
例1．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝＝，不符合题意；
C、原式＝＝×，不符合题意；
D、原式＝2﹣1＝1，符合题意，
故选：D．
例2．计算
（1）
（2）
【解答】解：（1）原式＝++1
＝2++1
＝3+1；
（2）原式＝2﹣2+1+2+2
＝5．
例3．计算：
（1）（x+2）（2x﹣1）
（2）（﹣）2
【解答】解：（1）原式＝2x2﹣x+4x﹣2
＝2x2+3x﹣2；
（2）原式＝3+2﹣2
＝5﹣2．
例4．计算：
【解答】解：原式＝
＝2．
例5．计算：
（1）×（+3﹣）；
（2）（﹣1）2+×（﹣）+．
【解答】解：（1）×（+3﹣
＝×（5）
＝12；
（2）（﹣1）2+×（﹣）+
＝2﹣2+1+3﹣3+2
＝6﹣3．
例6．计算：
（1）×+÷﹣|﹣2|；
（2）（1﹣）0+（）﹣1﹣÷+|﹣2|．
【解答】解：（1）原式＝+﹣2
＝2+2﹣2
＝2；
（2）原式＝1+2﹣+2﹣
＝3﹣2+2﹣
＝3﹣．
例7．计算：
（1）+|1﹣|﹣（2019π）0+（）﹣1
（2）（1﹣）（1+）+（﹣1）2
【解答】解：（1）原式＝3+﹣1﹣1+2＝4；
（2）原式＝1﹣3+3﹣2+1＝2﹣2．
例8．计算：
×+÷﹣|﹣3|．
【解答】解：原式＝+﹣3
＝3+2﹣3
＝2．
例9．计算：
（1）×+
（2）2﹣6+
【解答】解：（1）原式＝+4
＝3+4
＝7；
（2）原式＝4﹣6+4
＝2．
知识点十．二次根式的化简求值
例1．已知a＝+，b＝﹣，那么ab的值为（　　）
A． B． C．x﹣y D．x+y
【解答】解：∵a＝+，b＝﹣，
∴ab＝（+）（﹣）＝x﹣y，
故选：C．
变式1．已知：m＝+1，n＝﹣1，则＝（　　）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．
【解答】解：∵m＝，n＝，
∴＝8，
mn＝，
∴＝＝3， 故选：C．
例2．若a＝2﹣，则代数式2a2﹣8a﹣1的值等（　　）
A．1 B．﹣1 C．4+4 D．﹣2
【解答】解：∵a＝2﹣，
∴2a2﹣8a﹣1
＝2（a﹣2）2﹣9
＝2（2﹣﹣2）2﹣9
＝2×5﹣9
＝1．
故选：A．
变式2．已知a＝﹣1，则a2+2a+2的值是　12　．
【解答】解：∵a＝﹣1，
∴a2+2a+2＝（a+1）2+1＝（﹣1+1）2+1＝11+1＝12．
故答案为：12．
变式3．已知a＝2+，b＝2﹣，则ab（a+b）＝　4　．
【解答】解：a+b＝2++2﹣＝4，ab＝（2+）（2﹣）＝1，
则ab（a+b）＝4×1＝4，
故答案为：4．
知识点十一．二次根式的应用
例1．已知a、b、c是△ABC三边的长，则+|a+b﹣c|的值为（　　）
A．2a B．2b C．2c D．2（a一c）
【解答】解：∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
∴a﹣b﹣c＜0，a+b﹣c＞0
∴+|a+b﹣c|＝b+c﹣a+a+b﹣c＝2b．
故选：B．
例2．把四张形状大小完全相同宽为1cm的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　）
A．4cm B．16cm C．2（+4）cm D．4（﹣4）cm
【解答】解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，
根据题意得：x+2y＝，
则图②中两块阴影部分周长和是2+2（4﹣2y）+2（4﹣x）＝2+4×4﹣4y﹣2x＝2+16﹣2（x+2y）＝2+16﹣2＝16（cm）．
故选：B．
例3．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式；也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该三角形的面积为S＝已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为（　　）
A．1 B． C． D．
【解答】解：∵如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝，
∴△ABC的三边长分别为1，2，，
则△ABC的面积为：＝1．
故选：A．
变式1．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域就越广．电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系r＝，其中R是地球半径，如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径之比是，则式子化简为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：＝＝，
故选：D．
例4．如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2 B． C．2+﹣2﹣3 D．2+2﹣5
【解答】解：三个正方形的边长分别为，，2，
图中阴影部分的面积＝（+）×2﹣2﹣3
＝2+2﹣5．
故选：D．
例5．中外数学家曾经针对已知三角形的三边，求其面积问题进行过深入研究，古希腊几何学家海伦给出“海伦公式”：s＝，其中p＝；我国南宋数学家秦九韶给出“秦九韶公式”s＝若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵S＝s＝，
∴若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是：S＝＝＝，
故选：B．
例6．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）求剩余木料的面积．
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为ldm的长方形木条，最多能截出　2　块这样的木条．
【解答】解：（1）∵两个正方形的面积分别为18dm2和32dm2，
∴这两个正方形的边长分别为3dm和4dm，
∴剩余木料的面积为（4﹣3）×3＝6（dm2）；
（2）4＜3＜4.5，1＜＜2，
∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为ldm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，
故答案为：2．
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2023年浙教版八下数学第一章二次根式章节复习
（学生版）
一、知识梳理
知识点一、二次根式的概念：
1、像 这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式叫做二次根式。为了方便，我们把一个数的算术平方根（如 ）也叫做二次根式。
2、二次根式被开方数不小于0。
知识点二、二次根式有意义的条件：
1、二次根式被开方数不小于0
2、分母含有字母的，分母不等于0
知识点三、最简二次根式：
最简二次根式必须同时满足下列条件：
1、被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；
2、被开方数中不含分母；
3、分母中不含根式。
知识点四、同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
知识点五、二次根式的性质：
两个基本性质：
①
②
知识点四、二次根式的化简与计算
1、计算规则
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
2、计算公式
①
②
③
④
⑤
⑥
二、典例分析
知识点一．二次根式的定义
例1．下列的式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
变式1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
B． C． D．
变式2．在式子中，二次根式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
例2．已知n是正整数，是整数，n的最小值为（　　）
A．21 B．22 C．23 D．24
变式1．二次根式的值等于（　　）
﹣2 B．±2 C．2 D．4
变式2．若是二次根式，则下列说法正确的是（　　）
A．x≥0 B．x≥0且y＞0
C．x、y同号 D．x≥0，y＞0或x≤0，y＜0
变式3．若是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
知识点二．二次根式有意义的条件
例1．式子+有意义的条件是（　　）
A．x≥0 B．x≤0 C．x≠﹣2 D．x≤0且x≠﹣2
变式1．二次根式在实数范围内有意义，则a的取值围是（　　）
a≥0 B．a≤0 C．a＜0 D．a≤﹣2
变式2．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
变式3．使二次根式有意义的x的取值范围是　 　．
知识点三．二次根式的性质与化简
例1．若5＜m＜9，则化简+的结果是（　　）
A．﹣7 B．7 C．2m﹣13 D．13﹣2m
变式1．下列各式中计算正确的是（　　）
B． C．＝x+1 D．
变式2．已知xy＜0，把代数式中的x移到根号内，那么这个代数式等于（　　）
B． C． D．
例2．已知﹣1＜a＜0，化简+的结果为（　　）
A．2a B．2a+ C． D．﹣
变式1．已知a＜0，b＞0，化简＝　 　．
变式2．用一组a，b的值说明式子“＝2a2b”是错误的，这组值可以是a＝　 　，b＝　 　．
知识点四．最简二次根式
例1．下列二次根式中最简二次根式为（　　）
A． B． C． D．
变式1．下列式子为最简二次根式的是（　　）
B． C． D．
变式2．下列式子中属于最简二次根式的是（　　）
B． C． D．
例2．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B．﹣ C． D．
变式1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
B． C． D．
变式2．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
知识点五．二次根式的乘除法
例1．等式成立的条件是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜9 C．﹣2≤x＜9 D．﹣2≤x≤9
计算：×＝　 　．
先化简，再求值：6x2+2xy﹣8y2﹣2（3xy﹣4y2+3x2），其中x＝，y＝．
知识点六．分母有理化
例1．有理化分母：＝　 　．
变式1．下列各式中，互为有理化因式的是（　　）
A． B． C． D．
变式2．若a＝，b＝1﹣，则a、b两数的关系是（　　）
互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数
例2．下列结论中正确的是（　　）
A．是的有理化因式
B．不是最简二次根式
C．3﹣2的绝对值是3﹣2
D．3+2的倒数是3﹣2
变式1．若a＝1﹣，b＝﹣，则a与b的关系是（　　）
A．互为相反数 B．相等
C．互为倒数 D．互为有理化因式
变式2．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（　　）
a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2
例3．已知a＝+1，b＝，则a与b的关系是（　　）
A．ab＝1 B．a+b＝0 C．ab＝﹣1 D．a＝b
例4．在将式子（m＞0）化简时，
小明的方法是：；小亮的方法是：；
小丽的方法是：．
则下列说法正确的是（　　）
A．小明、小亮的方法正确，小丽的方法不正确
B．小明、小丽的方法正确，小亮的方法不正确
C．小明、小亮、小丽的方法都正确
D．小明、小丽、小亮的方法都不正确
例5．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简：＝　 　；＝　 　．
（2）填空：的倒数为　 　．
（3）化简：．
知识点七．同类二次根式
例1．在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
变式1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
B． C． D．
变式2．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（　　）
x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣2
变式3．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值为（　　）
A．1 B．±3 C．3 D．3
变式4．最简二次根式与是同类二次根式，则b＝　 　．
知识点八．二次根式的加减法
例1．计算4+3﹣的结果是（　　）
A． B． C． D．
例2．下列运算正确的是（　　）
A．2a3+5a2＝7a5
B．3﹣＝3
C．（﹣x2） （﹣x3）＝﹣x5
D．（m﹣n）（﹣m﹣n）＝n2﹣m2
例3．计算﹣4的结果是　 　．
知识点九．二次根式的混合运算
例1．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
例2．计算
（1） （2）
例3．计算：
（1）（x+2）（2x﹣1）
（2）（﹣）2
例4．计算：
例5．计算：
（1）×（+3﹣）；
（2）（﹣1）2+×（﹣）+．
例6．计算：
（1）×+÷﹣|﹣2|；
（2）（1﹣）0+（）﹣1﹣÷+|﹣2|．
例7．计算：
（1）+|1﹣|﹣（2019π）0+（）﹣1
（2）（1﹣）（1+）+（﹣1）2
例8．计算：
×+÷﹣|﹣3|．
例9．计算：
（1）×+
（2）2﹣6+
知识点十．二次根式的化简求值
例1．已知a＝+，b＝﹣，那么ab的值为（　　）
A． B． C．x﹣y D．x+y
变式1．已知：m＝+1，n＝﹣1，则＝（　　）
±3 B．﹣3 C．3 D．
例2．若a＝2﹣，则代数式2a2﹣8a﹣1的值等（　　）
A．1 B．﹣1 C．4+4 D．﹣2
变式2．已知a＝﹣1，则a2+2a+2的值是　 　．
变式3．已知a＝2+，b＝2﹣，则ab（a+b）＝　 　．
知识点十一．二次根式的应用
例1．已知a、b、c是△ABC三边的长，则+|a+b﹣c|的值为（　　）
A．2a B．2b C．2c D．2（a一c）
例2．把四张形状大小完全相同宽为1cm的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　）
A．4cm B．16cm C．2（+4）cm D．4（﹣4）cm
例3．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式；也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该三角形的面积为S＝已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为（　　）
A．1 B． C． D．
变式1．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域就越广．电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系r＝，其中R是地球半径，如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径之比是，则式子化简为（　　）
A． B． C． D．
例4．如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2 B． C．2+﹣2﹣3 D．2+2﹣5
例5．中外数学家曾经针对已知三角形的三边，求其面积问题进行过深入研究，古希腊几何学家海伦给出“海伦公式”：s＝，其中p＝；我国南宋数学家秦九韶给出“秦九韶公式”s＝若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（　　）
A． B． C． D．
例6．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）求剩余木料的面积．
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为ldm的长方形木条，最多能截出　 　块这样的木条．
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