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§6.3 向心加速度
第六章 圆周运动
课前练．(多选)有一种叫飞椅的游乐项目，示意图如图所示。长为L=5m的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r=3m的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。座椅和小孩的质量为40kg，当转盘匀速转动时，钢绳与转动轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角θ =370（sin370=0.6），不计钢绳的重力和空气阻力，重力加速度的值取10m/s2，求：
(1).小孩所受向心力的大小？
(2).钢绳对转椅的拉力大小 ？
(3).座椅匀速转动的线速度大小和周期大小？
300N, 500N, 3????m/s, ???????????????? s
?
天宫二号空间实验室在轨飞行时，可认为它绕地球做匀速圆周运动，尽管线速度大小不变，但方向却时刻变化，因此，它运动的加速度一定不为0。那么，该如何确定它在轨飞行时加速度的方向和大小呢？
一、匀速圆周运动的加速度方向
(1). 回顾：做匀速圆周运动的物体，合力的方向指向哪？向心力的方向指向哪？
(2). 思考：做匀速圆周运动的物体，加速度的方向指向哪？
(3).方向：总是指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变．
(1).定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫做向心加速度
1.向心加速度
(2).物理意义：描述匀速圆周运动线速度方向变化的快慢，
不表示线速度大小变化的快慢．
(1). 向心加速度方向时刻改变，匀速圆周运动一定是非匀变速曲线运动．
2.匀速圆周运动的性质
(2). 匀速圆周运动中的“变”与“不变”
① “不变”量：角速度、周期、转速不变；线速度大小、加速度大小、向心力大小不变。
②“变化”量：线速度、加速度、向心力改变，方向时刻变化。
二、匀速圆周运动的加速度大小
Fn＝m4π2n2r
an＝ ωv
请根据向心力公式推导向心加速度的表达式。
Fn＝mωv
an＝ 4π2n2r
思考与讨论：从公式????????=????????????看，线速度一定时，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式 an＝ω2r 看，角速度一定时，向心加速度与半径成正比。
自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点 A、B、C，如图 所示。其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？给出解释。
?
(1). B、C两点角速度相同，由公式an＝ω2r知ω一定时，向心加速度与半径成正比。
(2). A、B两点线速度大小相等，由????????=????????????知v一定时，向心加速度与半径成反比。
?
若 RC＝2RA＝4RB ，aA:aB:aC =
1:2:8
(1)当r一定时，an∝v2，an∝ω2.
(2)当v一定时，an∝????????.
(3)当ω一定时，an∝r.
?
总结：向心加速度的大小与各量关系的理解
????????=???????????? =???????????? =???????????????????????? =????????=????????????????????????
?
例题. 如图所示，在长为l的细绳下端拴一个质量为m的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。当绳子跟竖直方向的夹角为θ时，小球运动的向心加速度an的大小为多少?通过计算说明：要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度。
[例2] (多选)如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则( )
A．a、b两点的线速度相同
B．a、b两点的角速度相同
C．若θ＝30°，则a、b两点的
线速度之比va∶vb＝????∶2
D．若θ＝30°，则a、b两点的
向心加速度之比ana∶anb＝????∶2
?
BCD
4．A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4：3，运动方向改变的角度之比是3：2，它们的向心加速度之比是多少？
2：1
教材 第34页第4题
O
A
B
vA
vB
Δv
Δv
Δv
O
A
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
vA
Δt趋于0时，Δv指向圆心，此时加速度a也指向圆心
推导向心加速度公式
1.向心加速度的方向
阅读教材P33
极限思想
推导向心加速度公式
2.向心加速度的大小
1. 匀速圆周运动：????????=????????=????
?
3. 速度矢量三角形与?????????????相似：
?
得 θ=???????????? =??????????
?
2. 当?????很小时，AB弦长和AB弧长近似相等，即????????=????????
?
4. ?????内速度方向变化的角度： θ = ω?t
?
则 ?v = vω?t
5. 由加速度定义式?????=??????????
?
即 θ =??????????
?
得 a = vω = ???????????? =???????????? =????????????????????????
?
三、变速圆周运动的向心加速度
Ft ：切向分力，产生切向加速度at ，改变速度大小
Fn：向心分力，产生向心加速度an ，改变速度方向
[例4] 一圆盘可绕通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动．在圆盘上放置一小木块A，它随圆盘一起做加速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法正确的是( )
A．木块A受重力、支持力和向心力
B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块的运动方向相反
C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的法向分力提供向心力
D
课堂小结
向心加速度
1. 方向：
2. 大小:
????????=???????????? =???????????? =???????????????????????? =????????=????????????????????????
?
总是指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变．
3. 思路:
(1). F合 = Fn= man
(2). an = ??????????
?
1. 方向：极限思想
2. 大小：
(2). 相似 θ=???????????? =??????????
?
(1). 极限：?????→0时 , ????????=????????
?
(3). 变形：由 θ = ω?t , 得 ?v = vω?t
(4). 定义：?????=?????????? = vω = ???????????? =???????????? =????????????????????????
?
(1)匀速圆周运动的加速度的方向始终不变．( )
(2)匀速圆周运动是匀变速运动．( )
(3)匀速圆周运动是加速度不变的运动．( )
(4)根据an＝????????????知加速度an与半径r成反比．( )
(5)根据an＝ω2r知加速度an与半径r成正比．( )
(6)物体做匀速圆周运动时，速度变化率为零．( )
?
判断题
(1)匀速圆周运动的加速度的方向始终不变．( × )
(2)匀速圆周运动是匀变速运动．( × )
(3)匀速圆周运动是加速度不变的运动．( × )
(4)根据an＝????????????知加速度an与半径r成反比．( × )
(5)根据an＝ω2r知加速度an与半径r成正比．( × )
(6)物体做匀速圆周运动时，速度变化率为零．( × )
?
判断题
3．一部机器与电动机通过皮带连接，机器皮带轮的半径是电动机皮带轮半径的3倍，皮带与两轮之间不发生滑动。已知机器皮带轮边缘上一点的向心加速度为0.10????/????????。
(1)电动机皮带轮与机器皮带轮的转速之比????????:????????是多少？
(2)机器皮带轮上A点到转轴的距离为轮半径的一半，A点的向心加速度是多少？
(3)电动机皮带轮边缘上某点的向心加速度是多少？
?
(1)3：1；(2)0.05m/s2；(3)0.3m/s2
教材 第34页第3题
2．月球绕地球公转的轨道接近圆，半径为????.????????×????????????????????，公转周期是27.3d。月球绕地球公转的向心加速度是多大？
?
教材 第30页第3题
月球的公转周期为
????=????????.????天=????????.????×????????×????????????????????≈????.????????×????????????????
轨道半径为r=3.84×108m，则月球的向心加速度为
????????=????????????????????????=????×????.????????????×????.????????×????????????(????????.????×????????×????????????????)????????/????????=????.????×?????????????????/????????
?
3．某变速箱中有甲、乙、丙三个轮，如图所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮匀速转动的角速度为ω，三个轮相互不打滑，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小为( )
A

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