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§6.43 水平面内圆周运动的临界问题
第六章 圆周运动
课前练．如图所示，半径的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与水平地面相切于圆环的端点A。一小球从A点冲上竖直半圆环，沿轨道运动到B点飞出，最后落在水平地面上的C点（图上未画），g取10。
(1)能实现上述运动时，小球在B点的最小速度是多少？
(2)能实现上述运动时，A、C间的最小距离是多少？
(1)2m/s；(2)0.8m
教材 第41页第1题
一、绳球模型
二、杆球模型
竖直面内圆周运动的临界问题
知识回顾
[例2] 如图所示，用一根长l＝1 m的细线，一端系一质量m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，结果可用根式表示)
(1)若要使小球刚好离开锥面，则小球的角速度为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω为多大？
总结：
临界状态：接触面分离
临界条件：接触面弹力为0
[例2] 如图所示，用一根长l＝1 m的细线，一端系一质量m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，结果可用根式表示)
(1)若要使小球刚好离开锥面，则小球的角速度为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω为多大？
拓展：
(3)若小球的角速度ω = rad/s ，
求此时细绳的张力大小？
11N
例3．(多选)如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，当轻杆绕轴OO′以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平面成θ角，b绳平行于水平面且长为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　 ）
A．a 绳中张力一定不为零
B．当角速度ω>时，b绳将出现弹力
C．a绳所受拉力随角速度的增大而增大
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
AB
总结：
临界状态：轻绳拉直
临界条件：轻绳张力为0
[针对训练2] 如图所示，水平转盘上放有一质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，g为重力加速度，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；
(2)当角速度为 时，绳子对物体拉力的大小．
总结：
临界状态：接触面相对滑动
临界条件：接触面达最大静摩擦力
思路：找准临界状态
建立临界方程
变式1. (2014·全国·高考真题)(多选)如图，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（　　）
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C． 是b开始滑动的临界角速度
D．当时，a所受摩擦力的大小为kmg
AC
7．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为零，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°.重力加速度大小为g. 求转台转动的角速度。
教材 第41页第7题
变式2.(2013·重庆·高考真题)如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°．重力加速度大小为g．
（1）若ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；
（2）ω=（1±k）ω0 ，且0＜k<1 ，
求小物块受到的摩擦力大小和方向．
当ω=(1+k)ω0 时, f ；方向沿罐壁切线向下
当ω=(1- k)ω0 时, f ；方向沿罐壁切线向上
水平面内圆周运动的临界问题
课堂小结
一、找准临界状态
二、建立临界方程
(1) 临界状态：接触面分离
临界条件：接触面弹力为0
(2) 临界状态：轻绳拉直
临界条件：轻绳张力仍为0
(3) 临界状态：接触面相对滑动
临界条件：接触面达最大静摩擦力
1. 如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　）
A．A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势
B．B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力
C．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D．若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB
C
2. 如图所示，两个质量相等、可视为质点的木块A和B放在转盘上，用长为L的细绳连接，最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A与转轴的距离为L，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力。现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，重力加速度为g，下列正确的是（　 　）
A．当时，绳子一定无弹力
B．当时，A、B相对于转盘会滑动
C．在范围内增大时，
A所受摩擦力大小一直变大
D．在范围内增大时，B所受摩擦力大小变大
C
3．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA=r，RB=2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是（　　）
A．此时绳子张力为T=2μmg
B．此时圆盘的角速度为ω=
C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内
D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
B
4． (多选)如图，在水平转台上放一个质量M=2.0kg的木块，它与台面间的最大静摩擦力Ffm=6.0N，绳的一端系住木块，另一端穿过转台的中心孔O（为光滑的）悬吊一质量m=1.0kg的小球，当转台以ω=5.0rad/s的角速度转动时，欲使木块相对转台静止，则它到O孔的距离可能是（　　）
A．4cm
B．8cm
C．30cm
D．34cm
BC
5． (多选)如图所示，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆竖直光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆，开始时整个装置处于静止状态。现在让金属框绕MN轴转动，其角速度逐渐增大，即=t，式中是一个常数。则在角速度逐渐增大的过程中，下列判断正确的是（　 　）
A．小球的高度不变
B．PQ杆对小球的作用力不断增大
C．PQ杆对小球的作用力垂直指向MN
D．PQ杆对小球的作用力做正功
AD
6．(多选)如图所示，水平转台上有一个质量为m的物块，用长为l的轻质细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角为，此时绳绷直但无张力，物块与转台间动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，角速度为，重力加速度为，则（　 　）
A．当时，细线中张力为零
B．当时，物块与转台间的摩擦力为零
C．当时，物块与转台间的摩擦力为
D．当时，细绳的拉力大小为
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