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5.2运动的合成与分解
【学习目标】
掌握运动的合成与分解基本解题思路
用运动的合成与分解解决小船过河问题
用运动的合成与分解解决关联速度问题
【学习重点】
小船过河问题
关联速度问题
【学习难点】
1. 船过河问题
2. 关联速度问题
【新授内容】
知识点一：运动的合成与分解
蜡块实验
1.实验现象
蜡块既向上做匀速直线运动，又由于玻璃管的移动向右做匀速直线运动，以黑板为参考系，我们看到蜡块是向右上方做匀速直线运动的。
2.实验分析
(1)建立坐标系：以蜡块开始匀速运动的位置为坐标原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向，建立平面直角坐标系。
(2)蜡块运动的轨迹：设蜡块向右、向上的速度大小分别为vx、vy，经时间t，蜡块的位置坐标为x=vxt，y=vyt。
蜡块运动的轨迹方程为y=x，可知蜡块的运动轨迹是一条直线。
蜡块的位移大小为OP=，位移与水平夹角θ的正切值为tanθ=。
蜡块的速度大小为v=，速度与水平夹角θ的正切值为tanθ=。
合运动与分运动具有以下性质
独立性 一个物体同时参与两个运动，其中的任一个分运动并不会因为有另外的分运动的存在而有所改变。即各分运动是互相独立的、互不影响的
等时性 各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历的时间相等。不是同时发生的运动不能进行运动的合成
等效性 各分运动合成起来和合运动效果相同，即分运动与合运动可以“等效替代”
同体性 合运动和它的分运动必须对应同一个物体的运动，一个物体的合运动不能分解为另一个物体的分运动
运动的合成与分解
由分运动求和运动的过程叫作运动的合成，由合运动求分运动的过程叫作运动的分解
合运动的判断：
分运动 合运动
匀速直线运动+匀速直线运动 匀速直线运动
匀速直线运动+匀加速直线运动 匀变速曲线运动
匀加速直线运动+匀加速直线运动 若合加速与和合速度共线，则做直线运动，即= 若合加速度和合速度不共线，则做曲线运动
【例题1】关于运动的合成与分解，下列说法正确的是（ ）
A．两个分运动是直线运动，则它们的合运动一定是直线运动
B．合运动的速度一定比分运动的速度大
C．合运动的位移一定比分运动的位移大
D．合运动的时间等于分运动的时间
【答案】D
【详解】A．两个直线运动的合运动不一定是直线运动，如平抛运动。故A错误。
B．根据平行四边形定则知，合速度可能比分速度大，可能比分速度小，可能与分速度相等。故B错误。
C．根据平行四边形定则知，合位移可能比分位移大,可能比分位移小，可能与分位移相等。故C错误。
D．分运动与合运动具有等时性，故D正确。
故选D。
【点睛】理解好矢量的平行四边形定则。
【例题2】某物体在水平面上运动，以物体运动的起点为坐标原点建立直角坐标系，x、y方向的速度随时间变化的规律如图所示，则该物体的运动轨迹可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，由图可知，时间内，物体在轴方向上做匀速直线运动，时间内，物体在轴方向上做匀加速直线运动，则时内，图像为向上弯曲的曲线，时间内，物体在轴方向上，也做匀速直线运动，则图像为向上倾斜的直线。
故选D。
知识点二：小船过河运动
最短时间过河：
最短位移过河
①v船>v水： ②v船【例题3】小船匀速横渡一条河流，水流速度的大小，船在静水中的速度大小，第一次船头垂直对岸方向航行时，在出发后到达对岸下游60m处；第二次船头保持与河岸成角向上游航行时，小船恰好经过时间t1能垂直河岸到达正对岸，已知=0.8，=0.6，求：
(1)求船在静水中的速度大小v2；
(2)求第二次过河的时间t1；
(3)若上游大暴雨，导致水流速度增大到10m/s时，求小船到达河对岸的最短位移x及所用时间时间t2。
【答案】(1)； (2)；(3)，
【详解】(1)第二次到达正对岸，有
第一次航行时，有
解得
(2)第一次过河时，河宽为
第二次过河时间为
(3)由于船速小于水速，所以船无法到达正对岸，设船头与上游河岸的夹角为 ，则当
时，小船到达对岸的位移最小，所用的时间为
最小位移为
知识点三：关联速度
1．关联速度问题特点
①绳(杆)物关联问题：两物体通过绳(杆)相牵连，当两物体都发生运动时，两物体的速度往往不相等，但因绳(杆)的长度是不变的，因此两物体的速度沿绳(杆)方向的分速度大小是相等的。
②杆点(面)关联问题：杆的一端和一个物体的某点(面)接触，两物体通过绳(杆)相牵连，当两物体都发生运动时，两物体的速度往往不相等，但因二者始终接触，因此两物体的速度沿杆方向的分速度大小是相等的。
2．思路及常见模型
①分析思路
②常见模型
【例题4】如图所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，绳某时刻与水平方向夹角为α，则小船的运动性质及此时刻小船水平速度vx为（　　）
A．小船做变速运动，vx＝
B．小船做变速运动，vx＝v0cosα
C．小船做匀速直线运动，vx＝v0cosα
D．小船做匀速直线运动，vx＝v0cosα
【答案】A
【详解】小船的实际运动是水平向左的运动，它的速度vx可以产生两个效果：一是使绳子OP段缩短；二是使OP段绳与竖直方向的夹角减小．所以小船的速度vx应有沿OP绳指向O的分速度v0和垂直OP的分速度v1，由运动的分解可求得
α角逐渐变大，可得vx是逐渐变大的，所以小船做的是变速运动。
故选A。
【例题5】如图所示，一个长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动，当AB杆和墙的夹角为时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为，B端沿地面的速度大小为，则、的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将A点的速度分解为沿杆子方向和垂直于杆子方向，在沿杆子方向上的分速度为
v1∥=v1cosθ
将B点的速度分解为沿杆子方向和垂直于杆子方向，在沿杆子方向上的分速度
v2∥=v2sinθ
由于
v1∥=v2∥
所以
v1=v2tanθ
故C正确ABD错误。
故选C。
【训练检测】
1.如图所示，一玻璃管中注满清水，水中放一软木塞（软木塞的直径略小于玻璃管的直径，轻重大小适宜，使它在水中能匀速上浮）。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧（图甲）。现将玻璃管倒置（图乙），在软木塞上升的同时，将玻璃管水平向右加速移动，观察软木塞的运动，将会看到它斜向右上方运动，经过一段时间，玻璃管移至图丁所示位置，软木塞恰好运动到玻璃管的顶端，在下图的四个图像中，能正确反映软木塞运动轨迹的是（　　）
A．B．C． D．
2.质量为2kg的质点在xOy平面上做曲线运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．质点的初速度大小为5m/s
B．质点所受合外力为8N，做匀变速曲线运动
C．2s内质点的位移大小为10m
D．2s末质点速度大小为10m/s
3.一条小河宽，一条小船最快能40s到达对岸，若要到达正对岸，则需要50s。若小船船头斜向下游，与河岸方向成，船在静水中速度大小不变，，，则下列说法正确的（　　）
A．小船到达对岸的时间为45s B．水流速度为3.0m/s
C．小船到达对岸位置与出发点间的距离约467m D．船在静水中速度大小4.0m/s
故选B。
4.一轮船的船头始终指向垂直于河岸的方向，并以一定的速度向对岸行驶，水匀速流动，则关于轮船通过的路程、渡河经历的时间与水流速度的关系，下列说法正确的是（　　）
A．水流速度越大，路程越长，时间越长
B．水流速度越大，路程越短，时间越短
C．渡河时间与水流速度无关
D．路程与水流速度无关
（多选）5.如图，小船在静水中的速度为，当小船在A处，船头与上游河岸夹角过河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽，小船在静水中速度大小不变，水流的速度不变，则下列说法中正确的（　　）
A．河中水流速度为
B．小船的渡河时间为
C．小船最短的渡河时间为30s
D．若小船在渡河过程中，水流速度突然增大，则小船渡河时间不变
（多选）6.如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽，、分别是甲、乙两船的出发点，两船头与河岸均成角，甲船船头恰好对准点的正对岸点，经过一段时间乙船恰好到达点，如果划船速度均为，且两船相遇不影响各自的航行。下列判断正确的是（　　）
A．水流方向向左，大小为
B．两船同时到达河对岸，花费时间均为
C．甲船水平位移为
D．甲乙两船会在上某点相遇
（多选）7.如图所示，一条小河宽，河中各处水的流速均匀，且水速的大小为，O点为岸边一点，A为O点正对岸的一点。一只小船（可视为质点）从O点保持船头始终与岸成的角匀速驶向对岸，船在静水中的速度大小为。下列说法正确的（　　）
A．船到达对岸的位置在A点
B．船到达.对岸的位置离A点50m远
C．船过河需要50s的时间
D．若水流速增大，其他条件不变，则船过河时间将不变
8．如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时（图中未标出），关于两球速度vA和vB的关系，下列说法正确的是（　　）
A．若，则A、B两球的速度大小相等
B．若，则A、B两球的速度大小相等
C．
D．
9．如图所示的机械装置可以将圆周运动转化为直线上的往复运动。连杆AB、OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动，连杆OB在竖直面内的圆周运动可通过连杆AB使滑块在水平横杆上左右滑动。已知OB杆长为L，绕O点沿逆时针方向匀速转动的角速度为ω，当连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β时，滑块的水平速度大小为（　　）
A． B．
C． D．
10．A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体B以的速度向左匀速运动，如图所示，当绳被拉成与水平面夹角分别是、时。物体A的运动速度为（绳始终有拉力）（　　）
A． B． C． D．
（多选）11．如图所示，人在岸上用跨过光滑定滑轮的轻绳拉船，已知船的质量为m，船受到水的阻力恒为Ff，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时（　　）
A．人拉轻绳行走的速度大小为vcos θ
B．人拉轻绳行走的速度大小为
C．船的加速度大小为
D．船的加速度大小为
【训练检测答案】
1.【答案】C
【详解】根据题意可知，软木塞在竖直方向上做匀速直线运动，则软木塞在竖直方向上相等时间内移动的距离相等，软木塞在水平方向上做加速运动，则软木塞在水平方向上，相等时间内移动的距离越来越大。
故选C。
2.【答案】A
【详解】A．由x方向的速度图像可知，初速度为
由y方向的位移图像可知在y方向做匀速直线运动，速度为
由平行四边形定则可知，质点的初速度为
A正确；
B．由x方向的速度图像可知，在x方向的加速度为
x方向所受合力
由y方向的位移图像可知在y方向做匀速直线运动
y方向所受合力
Fy=0
所以质点的合力
由于质点的初速度方向与合外力方向不在一条直线上，所以质点做匀加速曲运动，B错误；
C．2s内x轴方向的位移为
y轴方向的位移为
所以质点在2s末内的位移为
C错误；
D．2s末x轴方向的速度为
y轴方向的速度为
所以质点在2s末的速度为
D错误。
故选A。
3.【答案】B
【详解】BD．当船头垂直河岸到达河岸，小船用时最短，则船静水中速度大小为
若要到达正对岸，船的合速度为
解得水流速度为
故B正确，D错误;
A．若小船船头斜向下游，与河岸方向成，小船到达对岸的时间为
故A错误；
C．小船到达对岸位置沿河岸方向的位移为
小船到达对岸位置与出发点间的距离约为
故C错误。
4.【答案】C
【详解】因为船垂直于河岸方向的速度不变，即船速不变，设两侧河岸间距为。则渡河时间
而水流方向是垂直于这个方向的，在这个方向上没有分速度，所以不论水速多大，渡河时间不变；水速越大，则水流方向的位移就越大。根据路程
可知，水流速度越大，路程越长。
故选C。
5.【答案】BD
【详解】A．由题意知，船头垂直河岸渡河，其渡河时间最短，船头应朝上游，与上游河岸方向成角，则
解得河水流速为
故A错误；
B．小船的渡河时间为
故B正确；
C．小船以最短时间渡河，船头应垂直对岸，则
故C错误；
D．渡河时间与水流速度无关，若小船在渡河过程中，仅水流速度突然增大，则小船渡河时间不变，故D正确。
故选BD。
6.【答案】BD
【详解】A．以乙船为研究对象，如果水流方向向左，则如图1所示
则船的合速度方向为左斜向上，不可能会到达P点，则说明水流方向一定向右，且依题意乙船的合速度垂直对岸，则船向左的分速度与水流速度相抵消，可得
故A错误；
B．两船在与垂直水流方向上的速度均为，且河宽均为d，则两船同时到达河对岸，根据运动的独立性，可知花费时间均为
故B正确；
C．以甲船为研究对象，水流方向向右，则如图2所示
则船在水平方向上的速度为
则甲船水平位移为
故C错误；
D．甲乙两船在纵向上的速度均为，且这也是乙的合速度，而甲船还有横向速度，相当于两船在纵向上相对静止，而横向上甲船以的水平速度靠近乙船，所以甲乙两船会在PN上某点相遇，故D正确。
故选BD。
7.【答案】AD
【详解】ABC．沿垂直河岸方向满足
沿河岸方向满足
联立解得
即船垂直到达河对岸A点，故A正确，BC错误；
D．船过河时间与水流速度无关，故水流速增大时，其他条件不变，船过河时间不变，故D正确。
故选AD。
8.【答案】C
【详解】当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解，如图所示
沿杆方向两分速度大小相等，则
即
当
时，可得
故选C。
9.【答案】D
【详解】设滑块的水平速度大小为v，A点的速度的方向沿水平方向，如图将A点的速度分解
根据运动的合成与分解可知，沿杆方向的分速度
vA分=vcosα
B点做圆周运动，实际速度是圆周运动的线速度，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直于杆方向的分速度，如图设B的线速度为v′则：
vB分=v′cosθ=v′cos(β 90°)=v′sinβ
v′=ωL
又二者沿杆方向的分速度是相等的，即
vA分=vB分
联立可得
v=
故选D
10【答案】B
【详解】将A物体的速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解，则有沿着绳子方向的速度大小为；将B物体的速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解，则有沿着绳子方向的速度大小为。由于沿着绳子方向速度大小相等，故有
所以物体A的运动速度为
故选B。
【答案】AC
【详解】AB．船运动的速度是沿绳子收缩方向的速度和垂直绳子方向速度的合速度，如图所示
根据平行四边形定则有
则人拉绳行走的速度为，故B错误，A正确；
CD．对小船受力分析，如图所示
根据牛顿第二定律有
船的加速度大小为
故D错误，C正确。
故选AC。

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