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6.3.1 二项式定理
—— 高二数学人教A版（2019）
选择性必修第三册课前导学
一、新知自学
公式，叫做_____________，右边的多项式叫做的_____________，其中各项的系数叫做_____________.式中的叫做二项展开式的_________，用表示，即通项为展开式的第项：_____________.
二、问题思考
1.利用二项式定理解题的思路是什么？
2.如何求二项展开式特定项？
3.利用二项式定理证明或判断整除问题的一般方法是什么？
三、练习检测
1.的二项展开式中，第4项是( )
A. B. C. D.
2.的展开式中的系数是( )
A.5103 B.21 C. D.945
3.已知，若，则( )
A. B. C.15 D.35
4.若的展开式的第3项的二项式系数是15，则展开式的所有项系数之和为( )
A. B. C. D.
5.的展开式中常数项是____________________(用数字作答).
【答案及解析】
一、新知自学
二项式定理 二项展开式 二项式系数 通项
二、问题思考
1.（1）求二项展开式时，要根据公式利用组合数系数作为因子写出各项，然后化简得结果.
（2）逆用二项式定理可将一些特殊的多项式化简，其方法是将多项式的项数、各项的系数及幂指数等构造成满足二项展开式的结构特征，即可逆用二项式定理将多项式化为的形式.
2.利用二项展开式的通项可以求二项展开式中任一特定项，如常数项、有理项等.解题时务必须注意：（1）是求某个特定项还是求其系数；（2）是指展开式中的第项，而非第r项；（3）有些特定项不知道是第几项，需要列出r的方程解出r，进而得.
3.（1）变形：将幂底数写成两个数之和，其中一个数是除数的倍数或k次方根；
（2）展开：将变形后的式子按二项式定理展开；
（3）判断：判断或证明展开式中各项均能被除数整除；
（4）下结论.
三、练习检测
1.答案：C
解析：展开式的通项为，所以第4项为.故选C.
2.答案：D
解析：的展开式的通项是，
令，解得，所以展开式中的系数是.故选D.
3.答案：A
解析：由题意，令，可得，解得，，
∴展开式中的系数为，故选A.
4.答案：B
解析：由题意知，解得或（舍去），故，令，得所有项系数之和为.
5.答案：240
解析：展开式的通项为，令，解得，故常数项为.

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