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2022年越南TST试题解答与评析
本年度越南TST试题的难度与CMO试题的难度基本相当.3.4两个几何
题比较漂亮.难度比CMO稍小.1.2.5题中等难度.第6题较难
I.试题
1.已知函数p(x)=x2ear(a为给定实数).求所有函数f:R→R,使得对
任意x.y∈R.都有f((x)+f(y)=y+p(f(x)
2.给定一个凸2022面体.随机选择3个面.并在上面填数26.4.2022（每
个面上填1个数).甲想在每个其它的面上填一个实数，使得它是每个与之有公
共棱的面上的实数的平均数.证明：有且仅有一种填数的方法
3.平行四边形ABCD的对角线交于点I.△ABI内有一点G.使得
∠IAG=∠IBG≠45°-∠4MB.设E为C在AG上的投影.F为D在BG上
的投影.△BEF的E-中线和△AEF的F中线交于点H.
(1)证明：AF.BE,IH三线共点（记该点为L)
(2)CE,DF相交于点K.设⊙LAB.⊙EIJ⊙FIJ的圆心分别为J,M,N.
证明：⊙GAB.⊙KCD的连心线和EM.FN三线共点
4.锐角不等边△ABC的外心为O.BC边的中点为I.直线OI分别交
AB,AC于点E.F.D为A关于O的对称点.G为A关于△AEF外心的对
称点.K为O关于△OBC外心的对称点
(1)证明：D.G.K三点共线
(2)设M,N分别是KB.KC上的点.满足IM⊥AC,IN⊥AB.IK的
修订日期：2022-05-26.
1
垂直平分线交MN于点H.IH分别交AB.AC于点P.Q.证明：△APQ的外
接圆与圆O的另一个交点（不同于A)在直线AI上
5.对于实数x.若存在b∈{2.3.··2022}，使得x在b进制下可表示为
有限小数.则称x为漂亮数”，证明：仅存在有限个正整数n(n≥4)，使得对于
任意正整数m∈（号n,n,两数，m”n,m”当中至少有一个漂亮数.
6.己知集合A∈{1.2.·，4044}.甲将其中2022个数染成白色.剩余2022
个数染成黑色.对于每个i∈A,所有小于i的白色数与所有大于i的黑色数之
和称为元的“重要数”，求所有可能的正整数k.使得存在自然数m和一种染色
方式.满足有k个数的重要数为m
II.解答与评注
题1已知函数p(x)=xear(a为给定实数).求所有函数f:R→R.使得
对任意x.y∈R.都有f(p(x)+f(y)=y+p(f(x)
解先证明f为一一映射
记f((x)+f(y)=y+(f(x)为(1)式.在(1)式中令x=0.并注意到
(0)=0,可得
f(f(y)=y+p(f(0)
(2)
一方面，由(2)知，当y遍历R时，f(f(y)也遍历R.故f为满射
另一方面，若f(1)=f(2),则由(2)可得
1+(f(0)=f(f(y1)=f(f(y2)=2+p(f(0)→1=2，
故f为单射
综上.f为一一映射.
由(1).(2)可得
f(e(x)+f(y))=f(f(y))-p(f(0))+(f(x)).
注意到f为满射，可用y代替上式中的f(y),得
f(p(x)+y)=f(y)-p(f(0)+p(f(x):
(3)
在(3)中用p(y)代替y.得
f(p(x)+p(y)=f(p(y)-p(f(0)+p(f(x):
(4)
2

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