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人教A版（2019）选择性必修第三册 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、单选题
1．3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同的选法有（ ）
A．243 B．125 C．128 D．264
2．甲 乙 丙 丁四名交通志愿者申请在国庆期间到三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表：
交通路口 A B C
志愿者 甲 乙 丙 丁 甲 乙 丙 丙 丁
这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数有（ ）A．14种 B．11种 C．8种 D．5种
3．从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（ ）
A．26 B．60
C．18 D．1080
4．某同学从3本不同的哲学图书 4本不同的自然科学图书 2本不同的社会科学图书中任选1本阅读，则不同的选法共有（ ）
A．24种 B．12种 C．9种 D．3种
5．用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．三名学生分别从5门选修课中选修一门课程，不同的选法有（ ）
A．125种 B．243种 C．60种 D．10种
7．2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年.为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部(3男4女)到三个贫困村调研走访，每个村安排男 女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有（ ）
A．72种 B．108种 C．144种 D．210种
8．四个学生，随机分配到三个车间去劳动，不同的分配方法数是（ ）
A．12 B．64 C．81 D．24
9．作家马伯庸的小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．如图所示是望楼传递信息的一种方式，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息．现要求每一行、每一列上有且只有1个紫色小方格（如图所示即满足要求），则一共可以传递的不同信息种数是（ ）
A．14 B．12 C．9 D．6
10．某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为（ ）
A．85 B．86 C．91 D．90
11．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
12．已知集合，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ）
A．49 B．48 C．47 D．46
二、填空题
13．将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）
14．一个三位数，个位 十位 百位上的数字依次为，当且仅当且时，称这样的数为“凸数”(如341)，则从集合中取出三个不相同的数组成的“凸数”个数为___________.
15．近年来，各地着力打造“美丽乡村”，彩色田野成为美丽乡村的特色风景，某乡村设计一块类似于赵爽弦图的巨型创意农田（如图所示），计划从黄、白、红、绿四种颜色的农作物选种几种种在图中区域，并且每个区域种且只种一种颜色的农作物，相邻区域所种的农作物颜色不同，则共有______种不同的种法.（用数字作答）
16．习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方．为配合国家精准扶贫战，某省示范性高中安排6名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为_________．
17．有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有______种不同的停放方法．（用数字作答）
三、解答题
18．按序给出，两类元素，类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，类中的元素排序为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．在，两类中各取1个元素组成1个排列，求类中选取的元素排在首位，类中选取的元素排在末位的排列的个数．类的10个元素叫作天干，类的12个元素叫作地支．两者按固定顺序相配，形成古代纪年历法，求天干各地支相配可形成的纪年历法可以表示多少年.
19．用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的
（1）密码箱的四位密码；
（2）比2000大的四位偶数.
20．某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动．
(1)如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？
(2)如果男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？
(3)如果4人中既有男生又有女生，有多少种选法？
21．4个男同学，3个女同学站成一排．
(1)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？
(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
(3)3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？
(4)其中甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，则有多少种不同的排法？
(5)若3个女同学身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B由分步计数原理直接得结论.
【详解】解：因为第1个班有5种选法，第2个班有5种选法，第3个班有5种选法，
所以由分步计数原理可得，不同的选法有种，
故选：B
【点睛】此题主要考查分步计数原理的运用，属于基础题.
2．B根据分类计数法进行分类讨论，然后进行求和.
【详解】解：由题意得：
以C路口为分类标准：C路口执勤分得人口数情况有种，两个人或一个人
C路口执勤分得人口数为个，丙、丁在C路口，那么甲、乙只能在路口执勤；
C路口执勤分得人口数为个，丙或丁在C路口，具体情况如下：
丙在C路口：
A（丁）B（甲乙）C（丙）；
A（甲丁）B（乙）C（丙）；
A（乙丁）B（甲）C（丙）；
丁在C路口：
A（甲乙）B（丙）C（丁）；
A（丙）B（甲乙）C（丁）；
A（甲丙）B（乙）C（丁）；
A（乙）B（甲丙）C（丁）；
A（乙丙）B（甲）C（丁）；
A（甲）B（乙丙）C（丁）；.
所以一共有2+3+6=11种选法.
故选：B.
3．A按照分类加法计数原理计算可得；
【详解】解：由分类加法计数原理知有（种）不同走法.
故选：A
4．C利用分类加法计数原理直接求出答案即可.
【详解】解：由分类加法计数原理知，不同的选法种数为.
故选：C.
5．A求出所有涂色方法数为，再求出在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同的方法数，可先从中间一个三角形涂色，然后再涂其他三个三角形．
【详解】5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色方法数为，
有公共边的三角形为同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，其他三个三角形在剩下的4色中任意涂色均可，方法为，
所以所求概率为．
故选：A．
6．A根据分步乘法计数原理计算可得；
【详解】解：三名学生分别从5门选修课中选修一门课程，对于任意1名同学均有种不同的选法，故不同的选法有种；
故选：A
7．C先安排男干部，再安排女干部，由排列组合以及分步乘法计数原理得出答案.
【详解】∵每个村男 女干部各1名，∴可先安排男干部，共种，再安排女干部，共有种，∴共有种不同的安排方案
故选：C.
【点睛】关键点睛：在从4名女干部中选3人到三个贫困村调研走访时，关键是按照先选后排的方法进行处理.
8．C根据分步乘法计数原理，即可求解.
【详解】先安排一位同学分配到三个车间去劳动，有3种安排方法，
同理，再安排一位同学分配到三个车间去劳动，也有3种安排方法，
依次类推，
因此，根据分步乘法计数原理共有种分配方法.
故选：C
【点睛】本题主要考查了利用分步乘法计数原理解决实际问题，属于容易题.
9．D由分步乘法原理求传递的不同信息种数.
【详解】根据每行中紫色小方格的位置，可分三步：第一步，在第一行中，有且只有1个紫色小方格，有3种情况；第二步，在第二行的3个方格中，要求每列有且只有1个紫色小方格，则第二行有2种情况；第三步，在第三行，只有1种情况，则一共可以传递的信息种数是，
故选：D．
10．B根据题意，分三类，第1类，男生甲入选，女生乙不入选，第2类，男生甲不入选，女生乙入选，第3类，男生甲入选，女生乙入选，分别求得其方法数，然后利用分类计数原理求解.
【详解】由题意，可分三类：
第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为；
第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为；
第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为．
所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86．
故选：B
11．D直接利用枚举法写出所有的等比数列即可得到答案.
【详解】（2）以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；
以2为首项的等比数列为2，4，8；
以4为首项的等比数列为4，6，9；
把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，
∴所求的数列共有2（2＋1＋1）＝8个.
故选：D.
【点睛】本题考查了等比关系的确定，考查了学生观察问题的能力，是中档题.
12．A利用分类计数法，当A中的最大数分别为1、2、3、4时确定A的集合数量，并得到对应的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量.
【详解】集合知：
1、若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可：的集合为，
而有 种集合，集合对(A,B)的个数为15；
2、若A中的最大数为2时，B中只要不含1、2即可：
的集合为，而B有种，
集合对(A,B)的个数为；
3、若A中的最大数为3时，B中只要不含1、2、3即可：
的集合为，而B有种，
集合对(A,B)的个数为；
4、若A中的最大数为4时，B中只要不含1、2、3、4即可：
的集合为，
而B有种，集合对(A,B)的个数为；
∴一共有个，
故选：A
【点睛】本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用加法原理加总，属于难题.
13．36先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.
【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，
可先将4人分为2、1、1的三组，有种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有种方法，
则共有种分配方案.
故答案为：36
14．首先分析只能去3,4,5，然后分类讨论满足题意的凸数个数，最后相加即可.
【详解】由题意可得只能去3,4,5，
当时，凸数有 132,231共2个；
当时，凸数有142,241,143,341,243,342共6个；
当时，凸数有152,251,153,351,154,451,253,352,254,452,354,453共12个；
综上，共有20个凸数.
故答案为：20
【点睛】本题主要考查分类加法技术原理，在求解过程中要明确分类标准，在每一类里面的计算要注意不重不漏.
15．分用三种颜色或四种颜色涂色该区域，当用四种颜色涂色该区域时，分两种情况讨论，当区域同色时和不同色时两种情况讨论求解即可.
【详解】解：当用三种颜色涂色该区域时，先从四种颜色中选三种颜色，有种方案，再用三种颜色涂色，则有种方案，故有种方案；
当用四种颜色涂色该区域时，分两种情况讨论，当区域同色时，有种不同方案，当区域不同色时，有种不同方案，故有种不同方案.
综上，共有种不同方案.
故答案为：
16．360方法1：由题意，分四种情况分类讨论，（1）甲校安排1名教师；（2）甲校安排2名教师；
（3）甲校安排3名教师；（4）甲校安排4名教师，再由分类计数原理，即可求解；
方法2：由6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4，1，1；3，2，1；2，2，2，分别求解，再由分类计数原理，即可求解.
【详解】方法1：根据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，可分四种情况：
（1）甲校安排1名教师，分配方案种数有；
（2）甲校安排2名教师，分配方案种数有；
（3）甲校安排3名教师，分配方案种数有；
（4）甲校安排4名教师，分配方案种数有；
由分类计数原理，可得共有（种）分配方案.
方法2：由6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4，1，1；3，2，1；2，2，2，
（1）对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有种，其余5名分成一人组和四人组有种，共（种）；李老师分配到四人组且该组不去甲校有（种），则第一种情况共有（种）；
（2）对于第二种情况，李老师分配到一人组有（种），李老师分配到三人组有（种），李老师分配到两人组有（种），所以第二种情况共有（种）；
（3）对于第三种情况，共有（种）；
综上所述，共有（种）分配方案.
【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
17．首先在第一行停放一辆红色车与一辆黑色车，再在第二行分类讨论停放剩下车，最后利用分步计数原理即可得出结果.
【详解】因为要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，所以第一行只能停放一辆红色车与一辆黑色车，共有种停法,
再在第二行分类讨论停放剩下车,第二辆红车如果停在第一辆黑车下方，则第二辆黑车有2种方法，如果第二辆红车不停在第一辆黑车下方，则第二辆黑车有1种方法，共有3种情况，
因此共有种情况；
故答案为：.
【点睛】关键点睛：通过已知条件得出同色车必停在斜线的位置，用列举法把满足题意的情况列举出来是解决本题的关键.
18．在，两类中各取1个元素组成1个排列，求类中选取的元素排在首位，类中选取的元素排在末位的排列的个数为120.根据分步乘法计数原理可求得符合要求排列的个数.
【详解】从类中选取一个元素排在首位的选法有10种，从类中选取一个元素排在末位的选法有12种，由分步乘法计数原理可得所有排列的个数为120种.
19．（1）360；（2）120（1）分步解决.第一步：选取第一个位置上的数字，有6种选取方法；第二步：选取第二个位置上的数字，有5种选取方法；第三步：选取第三个位置上的数字，有4种选取方法；第四步：选取第四个位置上的数字，有3种选取方法.再由分步乘法计数原理可得答案.
（2）按个位是0，2，4分为三类.第一类：个位是0的有个；第二类：个位是2的有个；第三类：个位是4的有个.再由分类加法计数原理可得答案.
【详解】解：（1）分步解决.
第一步：选取第一个位置上的数字，有6种选取方法；
第二步：选取第二个位置上的数字，有5种选取方法；
第三步：选取第三个位置上的数字，有4种选取方法；
第四步：选取第四个位置上的数字，有3种选取方法.
由分步乘法计数原理知，可组成无重复数字的四位密码共有.
（2）按个位是0，2，4分为三类.
第一类：个位是0的有个；第二类：个位是2的有个；第三类：个位是4的有个.
故由分类加法计数原理得比2000大的四位偶数有个.
20．(1)100
(2)140
(3)
（1）由组合知识结合分步乘法计数原理求解即可；
（2）先计算10人中选取4人的选法，从中除去男生甲与女生乙都不参加的选法即可；
（3）先计算10人中选取4人的选法，从中除去4人全是男生和4人全是女生的选法即可.
(1)
第一步，从5名男生中选2人，有种选法；第二步，从5名女生中选2人，有种选法．
根据分步乘法计数原理，共有种选法．
(2)
从10人中选取4人，有种选法；男生甲与女生乙都不参加，有种选法．所以男生甲与女生乙至少有1人参加，共有种选法．
(3)
从10人中选取4人，有种选法；4人全是男生，有种选法；4人全是女生，有种选法．
所以4人中既有男生又有女生，共有种选法．
21．(1)720
(2)1440
(3)144
(4)960
(5)840
小问1：我们可视排好的女同学为一整体有种排法，再与男同学排队即可；
小问2：先将男同学排好，共有种排法，再利用插空法即可；
小问3：根据分步乘法计数原理先排男生再排女生即可；
小问4：先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，再把甲、乙看一整体排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中即可；
小问5：从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．再在余下的3个空位置中排女生按身高排列有一种排法，即可求解．
(1)
3个女同学是特殊元素，她们排在一起，共有种排法．我们可视排好的女同学为一整体，
再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有种排法．由分步乘法计数原理，得共
有（种）不同的排法；
(2)
先将男同学排好，共有种排法，再在这4个男同学之间及两头的5个空当中插入3个女
同学有种方案，故符合条件的不同的排法共有（种）；
(3)
3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有（种）；
(4)
先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有种排法；
由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有种排法；
最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中有种排法．
故总共有（种）不同的排法；
(5)
从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．再在余下的3个空位置中排女
生，由于女生要按身高排列，故仅有1种排法．故总共有（种）不同的排法．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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