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2023高考数学复习专项训练《空间直角坐标系》
一 、单选题（本大题共12小题，共60分）
1.（5分）点M(3，-3，1)关于y轴的对称点是( )
A. (-3，3，-1) B. (-3，-3，-1)
C. (3，-3，-1) D. (-3，3，1)
2.（5分）在空间直角坐标系中，已知点，， ，那么点到线段中点的距离是
A. B. C. D.
3.（5分）下列说法中：
①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可记为（0，b，c）；
②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可记为（0，b，c）；
③在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可记为（0，0，c）；
④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标一定可记为（a，0，c）．
其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.（5分）下列说法中正确的是( )
①在空间直角坐标系中，x轴上的点的坐标一定是（0，y，z）；
②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，y，z)；
③在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可写成(0，0，z)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(x，0，z)。
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.（5分）点满足，则点在
A. 以点为球心，以为半径的球面上
B. 以点为中心，以为棱长的正方体内
C. 以点为球心，以为半径的球面上
D. 无法确定
6.（5分）已知A（4，1，3），B（2，-5，1），C（3，7，-5），则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是（ ）
A. （2，4，-1） B. （2，3，1）
C. （-3，1，5） D. （5，13，-3）
7.（5分）已知A（1，0，2），B（1，-3，1），点M在y轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为（ ）
A. （-1，0，0） B. （0，-1，0）
C. （0，0，1） D. （0，1，0）
8.（5分）在空间直角坐标系中，已知三点A（1，0，0），B（1，1，1），C（0，1，1），则三角形ABC 是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
9.（5分）在空间直角坐标系O-xyz，点P(1，2，3)关于xOy平面的对称点是( )
A. (-1，2，3) B. (-1，-2，3)
C. (1，2，-3) D. (1，-2，-3)
10.（5分）已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内图像上的动点，则，两点间的最短距离是
A. B. C. D.
11.（5分）点P（x，y，z）满足（x-1）2+（y-1）2+（z+1）2=4，则点P在（ ）
A. 以点（1，1，-1）为圆心，以2为半径的圆上
B. 以点（1，1，-1）为中心，以2为棱长的正方体上
C. 以点（1，1，-1）为球心，以2为半径的球面上
D. 无法确定
12.（5分）已知正方体的棱长为，点为线段含端点上的动点，平面，下列说法正确的是
A. 若点为中点，当最小时，
B. 当点与重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，别其截面的周长就越大
C. 直线与平面所成角的余弦值的取值范围为
D. 若点为的中点，平面过点，则平面截正方体所得截面图形的面积为
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
13.（5分）如图，棱长为3a正方体OABC-D'A'B'C'，点M在|B'C'|上，且|C'M|=2|MB'|，以O为坐标原点，建立如图空间直有坐标系，则点M的坐标为____．
14.（5分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，-2），B（1，-3，1）），点 M在y轴上，且|MA|=|MB|，则M的坐标是____．
15.（5分）点M（-1，2，3）是空间直角坐标系Oxyz中的一点，点M1与点M关于x轴对称，点M2与M关于xOy平面对称，则|M1M2|=____．
16.（5分）已知A（4，1，9），B（10，-1，6），则A，B两点间距离为____．
17.（5分）在空间直角坐标系中，点（1，0，2）关于坐标原点的对称点是____．
三 、解答题（本大题共6小题，共72分）
18.（12分）如图，正方形，，延长到达，使，，两点分别是线段，上的动点，且将三角形沿折起，使点到达的位置如图，且
证明：平面；
当，分别为和的中点时，判断的长度是否最短并求出；
当的长度最短时，求平面与平面所成角锐角的余弦值.
19.（12分）如图所示，，，两两互相垂直，四边形为矩形，，分别为，的中点求证：
20.（12分）已知两两垂直，，为的中点，点在上，

求的长；
若点在线段上，设，当时，求实数的值．
21.（12分）已知空间三点，，，求的面积及边上的高.
22.（12分）如图，正方体的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标及各边中点的坐标．
23.（12分）如图，已知正方体的棱长为，为的中点，点在上，且，试求的长．
四 、多选题（本大题共5小题，共25分）
24.（5分）已知向量，则与共线的单位向量可能为
A. B.
C. D.
25.（5分）如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点，点在棱上且靠近，当时，则
A. B.
C. D. 二面角的余弦值为
26.（5分）如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方形上的动点，则
A. 满足平面的点的轨迹长度为
B. 满足的点的轨迹长度为
C. 不存在点，使得平面经过点
D. 存在点满足
27.（5分）在棱长为的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是
A. 当时，直线平面
B. 当时，线段长度的最小值为
C. 当时，直线与平面所成的角不可能为
D. 当时，存在唯一点使得直线与直线所成的角为
28.（5分）如图，在直棱柱中，各棱长均为，，则下列说法正确的是
A. 三棱锥外接球的表面积为
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 当点在棱上运动时，最小值为
D. 是平面上一动点，若到直线与的距离相等，则的轨迹为抛物线
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】M关于y轴的对称点与M的纵坐标相同，而横、竖坐标都互为相反数。
2.【答案】B;
【解析】
利用中点坐标公式和两点之间的距离公式即可得出.
此题主要考查了中点坐标公式和两点之间的距离公式，属于基础题.解：由，，可得线段
的中点

故答案为：

3.【答案】C;
【解析】解：①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可记为（a，0，0），故①错误，
②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可记为（0，b，c），故②正确，
③在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可记为（0，0，c）；故③正确，
④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标一定可记为（a，0，c），故④正确，
故正确的个数为3个，
故选：C．
4.【答案】C;
【解析】在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(x，0，0)，①错；在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，y，z)，②对；在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可写成(0，0，z)，③对；在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(x，0，z)，④对，故正确命题的个数为3。
5.【答案】A;
【解析】
此题主要考查球的概念，属于基础题.解：点满足到定点的距离为，根据球的定义可知，点在以点为球心，以为半径的球面上.
6.【答案】D;
【解析】解：平行四边形ABCD中，设点D（x，y，z），
则AB=（-2，-6，-2），DC=（3-x，7-y，-5-z）；
又AB=DC，
∴
-2=3-x
-6=7-y
-2=-5-z
，
解得
x=5
y=13
z=-3
；
∴点D的坐标为（5，13，-3）．
故选：D．
7.【答案】B;
【解析】解：∵点M在y轴上，可设M（0，y，0）．
又点M到A、B两点的距离相等，即|MA|=|MB|，
∴1+y2+4=1+(-3-y)2+1，
化为y=-1．
∴M（0，-1，0）．
故选：B．
8.【答案】A;
【解析】解：∵三点A（1，0，0），B（1，1，1），C（0，1，1），
∴|AB|=(1-1)2+(0-1)2+(0-1)2=2，
|AC|=(0-1)2+(1-0)2+(1-0)2=3，
|BC|=(0-1)2+(1-1)2+(1-1)2=1，
∴AC2=AB2+BC2，
∴三角形ABC是直角三角形．
故选：A．
9.【答案】C;
【解析】空间直角坐标系中任一点P(a，b，c)关于坐标平面xOy的对称点为P4(a，b，-c)；关于坐标平面yOz的对称点为P5(-a，b，c)；关于坐标平面xOz的对称点为P6(a，-b，c)。

由题意可得：点P(1，2，3)关于xoy平面的对称点的坐标是(1，2，-3)．
故选C。
10.【答案】B;
【解析】
此题主要考查空间两点间的距离公式和二次函数的最值，是基础题.点是平面内图像上的动点，
可设点的坐标为，
由空间两点间的距离公式，
得，
令，
当时，取得最小值，
当时，取得最小值，
即，两点间的最短距离是，故选
11.【答案】C;
【解析】解：（x-1）2+（y-1）2+（z+1）2=4，化为：(x-1)2+(y-1)2+(z+1)2=2
表达式的几何意义是动点P（x，y，z）到定点（1，1，-1）的距离为2的点的集合．
就是以点（1，1，-1）为球心，以2为半径的球面上．
故选：C．
12.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了线面角，正方体中的截面，正方体的展开图，属于较难题.
根据正方体的展开图可判断，正方体中的截面判断，，线面角判断选项.
解：对于选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：
若最短，则、、三点共线，
，，
，故选项错误.

对于选项，当与重合时，连接、、、，
在正方体中，平面，

平面，，四边形是正方形，则，
，、平面，平面，
平面，，同理可证，
，、平面，
平面，
易知是边长为的等边三角形，
其面积为，周长为，
设、、、、、分别为棱、、、、、的中点，
易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，
正六边形的周长为，面积为，
则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，故选项错误
对于选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，

则点、，
设点，平面，
则为平面的一个法向量，
且，，
，
所以直线与平面所成角的正弦值范围为，
则直线与平面所成角的余弦值的取值范围为，故选项错误
对于选项，设平面交棱于点，点，，


平面，平面，，即，得，
，
所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，
则，，而，，且，
由空间中两点间的距离公式可得
，
，
，
所以，四边形为等腰梯形，
，，，
面积为，故选项正确.


13.【答案】（2a，3a，3a）;
【解析】解：由图形可知，M点在正方体的上底面上，
∴M点的纵标同D′的纵标相同，
M在面BCC′B′上，得到点的竖标为3a，
∵C′M=2MB′，
∴M点的横标是2a，
∴M点的坐标是（2a，3a，3a）
故答案为：（2a，3a，3a）
14.【答案】（0，-1，0）;
【解析】解：设设M（0，y，0），由|MA|=|MB|，
可得12+y2+22=12+(y+3)2+12，即+5=（y+3）2+2，解得：y=-1．
M的坐标是（0，-1，0）．
故答案为：（0，-1，0）．
15.【答案】4;
【解析】解：∵M（-1，2，3）是空间直角坐标系Oxyz中的一点，点M1与点M关于x轴对称，
∴M1点坐标为（-1，-2，-3）
点M2与M关于xOy平面对称，M2（-1，2，-3）
∴|M1M2|=(-1+1)2+(-2-2)2+(-3+3)2=4．
故答案为：4．
16.【答案】7;
【解析】解：∵A（4，1，9），B（10，-1，6），
∴A，B两点间距离为
|AB|=(10-4)2+(-1-1)2+(6-9)2=7
故答案为：7
17.【答案】（-1，0，-2）;
【解析】解：空间直角坐标系中，设点P（x，y，z）与点（1，0，2）关于坐标原点的对称，
则
x+1=0
y+0=0
z+2=0
；
解得
x=-1
y=0
z=-2
，
点P为（-1，0，-2）．
故答案为：（-1，0，-2）．
18.【答案】解：证明：分别在平面和平面内作交于点，
交于点，连接
，
设，
在中，，
则，，
同理可求，，
即四边形是平行四边形.
，，

，分别为和的中点时，的长度最短.
，
在中，由可得：，，
，
当时，，此时、分别是和的中点，
由知，
，分别为和的中点时，的长度最短，
以为坐标原点，分别以、、所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知，，，，
，，
，，，，
设是平面的一个法向量，
由，可得，取，可得，
设是平面的一个法向量，
由，可得，取，可得，
，
故平面与平面所成角锐角的余弦值;
【解析】
此题主要考查线面平行的证明，考查线段的中点的证明，考查面面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是拔高题．
分别在平面和平面内，作，交于点，，交于点，连接，则推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证出与平面平行；
推导出，，，从而当时，此时，分别是和的中点；
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成角锐角的余弦值．
19.【答案】【证明】如图所示，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，设，，，，连接因为，分别是，的中点，所以，，则，，，所以，所以

;
【解析】此题主要考查空间中两点间距离公式，是基础题
20.【答案】解：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
因为为的中点，，
所以，，所以
设，因为，且点在线段上，所以，
所以，
由得
因为，所以，
即，解得;
【解析】此题主要考查线段长的求法，考查空间中线线垂直的向量表示，考查运算求解能力，是中档题．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的长
设，因为，且点在线段上，所以，可得，所以，由得，由，解出即可.
21.【答案】解：由题意得，， ，， ，，， ，，
设边上的高为，则，即中边上的高为;
【解析】此题主要考查空间向量夹角的坐标表示和两点间距离公式，是中档题
22.【答案】解：如图所示，
各顶点分别D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），D1（0，0，2）．各边中点的坐标分别为P1（1，0，0），（0，1，0），（1，2，0），（2，1，0），（0，0，1），（2，0，1），（2，2，1），（0，2，1），
（1，0，2），（0，1，2），（1，2，2），（2，1，2）．;
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，即可得出正方体各顶点的坐标及各边中点的坐标．
23.【答案】null;
【解析】此题主要考查空间中两点间的坐标公式，属于基础题.
以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，分别求得点的坐标，结合空间中两点间的距离公式，即可求解.
24.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查向量共线的坐标表示，是中档题对于，，且向量的模为，故正确
对于，不存在实数，使得，故错误
对于，，且向量的模为，故正确
对于，向量的模为，，不是单位向量，故错误故选
25.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查平面与平面所成角的向量求法和空间向量垂直的坐标表示，考查空间中两点间距离公式，是较难题，依题意可知，，，
以为原点，， ，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设，，
则，，，，，，，，
所以，，
因为，所以，
即，解得或舍去，
所以，，故不正确
，故正确
因为，所以，故不正确
取平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，，，
由，得，
取，则是平面的一个法向量，
所以，，
所以二面角的余弦值为，故正确故选

26.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
对：利用线面平行的判定定理可以证得点的轨迹，进而判断；
对：建立空间直角坐标系，得到，，为正方形上的点，可设，且，，进而可对进行计算验证即可判断；
对：做辅助线，得到平面截正方体的截面与正方形没有交点，即可判断；
对：借助空间直角坐标系，求得的最小值，且存在点使得，即可判断．

解：对于，取的中点，的中点，又点为的中点，
由正方体的性质知，，
因为平面，平面，所以平面，
同理平面，因为，
所以平面平面，又平面，平面，
故点的轨迹为线段，故正确；

以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，

则，，设，且，，
，，，
对于，，即，
又，，则点的轨迹为线段，其中，，
且，故错误；
对于，如图，连接，取的中点，连接，，

则平面截正方体所得的截面为，与正方形没有交点，
所以不存在点，使得平面经过点，故正确；
对于，点关于平面的对称点的为，
三点共线时线段和最短，
故，
且当与重合时，
故存在点满足，故正确．
故本题选
27.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查了线面平行、面面平行的判定及直线与平面所成角，利用空间向量求线线，线面和面面的夹角的应用，属于中档题.
根据线面平行与面面平行的判定判断选项，由已知利用空间向量求线线，线面的夹角以及表示向量的模长，可判断其余选项.
解：在棱长为的正方体中，点满足，，，
连接，，，，，，

A.当时，，
与共线，点在平面内，
，平面，平面，
平面，同理可得平面，
，，平面，
平面平面，平面，
平面，故正确；
以为原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
可得，，，，，，
，，
B.当时，，结合，
得，此时，
，，
当时，，
当时，长度的最小值为，故正确
C.由选项可知，当时，，此时，
由正方体的结构特征可知平面的一个法向量为，
令，无解，
与平面所成的角不可能为，故正确；
D.当时，结合可得，即，
设与的夹角为，
令，
解得，
故当时，不存在点使得与直线的夹角为，故错误.
故选
28.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查异面直线所成的角及外接球问题，与抛物线有关的轨迹问题，考查学生的分析能力及运算能力，属于中档题．
对于，先求出外接圆半径，再借助求外接球半径；对于，先通过平行转化异面直线所成的角，再借助余弦定理求解；对于，借助平面展开图求最小值；对于，利用抛物线定义判断．
解：对于，由题可知是边长为的等边三角形，则外接圆半径，
设三棱锥外接球的半径为，
由得外接球表面积为，所以选项正确．

对于，连接，因为，所以即为异面直线与所成角，
由题可知，
由余弦定理得，
所以，所以选项错误．
对于，分别将四边形与沿着棱展开得到四边形，
的最小值即为，所以选项正确．
对于，到直线与直线的距离相等，
又，即为到直线的距离，
即到点与到直线的距离相等，根据抛物线的定义，所以选项正确．
故选：

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