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2023高考数学复习专项训练《棱柱、棱锥、棱台的表面积》
一 、单选题（本大题共12小题，共60分）
1.（5分）如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（ ）
A. 3：1 B. 2：1 C. 1：1 D. 1：2
2.（5分）有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：cm），该几何体的表面积和体积为（ ）
A. 24πc，36πc B. 15πc，12πc
C. 24πc，12πc D. 以上都不正确
（5分）
3.理科做如右图，多面体是过正四棱柱的底面正方形的顶点作截面而截得的，且，已知截面与底面成的二面角，，则这个多面体的体积为
A. B. C. D.
4.（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（ ）
A. 3π B. 8π
C. 12π D. 14π
5.（5分）四面体中，，，，则四面体的体积
A. B. C. D.
6.（5分）如图是某几何体的三视图，图中小方格的边长为，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
7.（5分）如图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是（ ）
A. 2π B. 3π
C. 6π D. 9π
8.（5分）已知直四棱柱的底面为矩形，，且该棱柱外接球的表面积为，为线段上一点．则当该四棱柱的体积取最大值时，的最小值为
A. B. C. D.
9.（5分）设某圆锥的底面半径和高分别为和，且，它的体积是，则
A. B. C. D.
10.（5分）已知长方体的体积为，则四面体与四面体重叠部分的体积是
A. B. C. D.
11.（5分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，且平面，为的中点，则下列结论错误的是
A. B.
C. 平面平面 D. 三棱锥的体积为
12.（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A. B. C. D.
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
13.（5分）某几何体的三视图单位：如图所示，则此几何体的表面积是 ，体积是
14.（5分）已知正四棱柱的底面边长是，侧面的对角线长是 ，则这个正四棱柱的体积为________
15.（5分）已知正方体的棱长为，、分别为底面和的中心，记四棱锥和的公共部分的体积为，则体积的值为________.
16.（5分）在古代将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，已知四面体为鳖臑，平面，且，若此四面体的体积为，则其外接球的表面积为________.
17.（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长等于 ______ ，体积等于 ______ ．
三 、解答题（本大题共6小题，共72分）
18.（12分）如图，在直三棱柱中，为直角，为的中点.
求证：平面平面；
若异面直线与所成的角的正弦值是，求三棱锥的体积.
19.（12分）如图所示，在四棱锥一中，平面平面，，，
求证：平面平面
若点是棱的中点，且，求三棱锥的体积
20.（12分）已知正三棱锥的高为，底面边长为，求这个正三棱锥的体积和表面积．
21.（12分）
一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，求球的表面积；
已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为，求它的体积.
22.（12分）如图一，在边长为的等边三角形中，、、分别是、、的中点，将沿折起，得到如图二所示的三棱锥，其中．
证明：；
求四棱锥的体积．
23.（12分）如图，在多面体中，四边形为矩形，平面平面，，，为的中点．
求证：；
求三棱锥的体积．
四 、多选题（本大题共5小题，共25分）
24.（5分）在正方体中，，，分别为的中点，是上的动点，则
A. 平面
B. 平面截正方体的截面面积为
C. 三棱锥的体积与点的位置有关
D. 过作正方体的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为
25.（5分）如图所示，正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于点，，以下四个命题中正确的是
A.
B.
C. 四边形的面积最小值与最大值之比为
D. 四棱锥与多面体体积之比为
26.（5分）在正方体中，，分别为棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的有
A.
B. 三棱锥的体积与点的位置有关
C. 平面截正方体的截面面积为
D. 点到平面的距离为
27.（5分）已知正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则
A. 棱台的侧面积为
B. 棱台的体积为
C. 棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为
D. 棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为
28.（5分）已知正三棱锥的底面边长为，点到底面的距离为，则
A. 该三棱锥的内切球半径为 B. 该三棱锥外接球半径为
C. 该三棱锥体积为 D. 该三棱锥体积为
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：球的半径为r，圆锥的半径为r，高为r；
V圆锥=
1
3
π，V半球=
1
2
×
4
3
π=
2
3
π，
∴V=V半球-V圆锥=
1
3
π，
∴剩余部分与挖去部分的体积之比为1：1，
故选：C
2.【答案】C;
【解析】解：该几何体是底面半径为3、母线长为5的圆锥，其高为4，
所以其表面积为π 32+
1
2
π 6 5=24π(cm2)，
体积为
1
3
π 32 4=12π(cm3)，
故选C．
3.【答案】D;
【解析】
本题以多面体为载体，考查几何体的体积，关键是将几何体进行分割，利用规则几何体的体积公式求解．
作，连接，，，则几何体被分割成两个棱锥与一个棱柱，分别求出两个棱锥与一个棱柱的体积，即可得多面体的体积

解：作，连接，，，则几何体被分割成两个棱锥与一个棱柱
截面与底面成的二面角，

，



多面体的体积为
故选




4.【答案】B;
【解析】解：由三视图可知，该几何体为圆柱，
其底面半径为1，高为3；
故其表面积为：
2×π 12+2π×3=8π，
故选B．
5.【答案】A;
【解析】解：如图，

在上取，使，在上取，使，连接、、，
则四面体为正四面体，过作平面，垂足为，
连接并延长，交于，则，，
．
．
．
故选：．
由题意画出图形，通过分割补形，求出到底面的距离，代入体积公式求解．
此题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力和逻辑思维能力，是中档题．
6.【答案】B;
【解析】
此题主要考查由三视图求几何体的体积，属于基础题.
由三视图知该几何体为正方体截去了两个相同的三棱锥，由正方体的体积减去个三棱锥的体积得答案.

解：由三视图知该几何体为正方体截去了两个相同的三棱锥如图，

所以该几何体的体积为
故选
7.【答案】D;
【解析】解：由三视图可知，该几何体是一个由底面半径为2高为3的圆柱中间挖去一个底面半径为1的等高圆柱后余下的部分，
所以，其体积为π×（22-12）×3=9π．
故选D．
8.【答案】D;
【解析】
此题主要考查几何体的体积和有关量的计算以及基本不等式的应用，考查了学生的分析与计算能力，属基础题.
设外接球的半径为，再根据题意计算出，再设矩形的长、宽分别为，，最后根据题意得出的最小值.

解：设外接球的半径为，则球的表面积，
所以设矩形的长、宽分别为，
，
所以，当且仅当时上式等号成立，
即底面为边长为的正方形时，四棱柱的体积最大.
将平面沿展开，与处于同一平面，
故选
9.【答案】D;
【解析】解：设圆锥的体积为，由体积公式可得，
因为，圆锥的体积是，
所以，
所以，
故选：
根据圆锥的体积公式列方程，然后解法即可求得的值．
此题主要考查锥体体积的相关计算，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
10.【答案】B;
【解析】解：如图所示，

四面体与四面体的重叠部分是以长方体各面中心为定点的多面体，
摘出如图，

设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为，，，则，
重叠部分的体积为两个同底面的四棱锥体积和，等于．
故选：．
由题意画出图形，得到四面体与四面体的重叠部分的形状，由棱锥体积公式得答案．
此题主要考查了棱柱的结构特征，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
11.【答案】B;
【解析】
本题主要考茶空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，属于基础题.

解：在中，由余弦定理得
所以
又
所以平面
所以，故正确；
因为，所以平面
又平面
所以平面平面
故正确；
又
故正确，
故选

12.【答案】C;
【解析】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱柱．
如图所示：可以转换角度

所以：
故选：
首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．
此题主要考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
13.【答案】;
【解析】
此题主要考查空间组合体的表面积的计算，根据条件左侧空间几何体的直观图是解决本题的关键．根据几何体的三视图得到几何体的结构，进行求解即可．

解：由三视图可知该几何体是个组合体，右侧是一个棱长分别为，，的长方体，左侧是个平放的三棱柱，三棱柱的高为，底面直角三角形的两个直角边为和，则长方体的表面积为，
三棱柱的表面积为，则几何体的表面积为，
体积为，
故答案为

14.【答案】;
【解析】
此题主要考查棱柱的体积公式，属于基础题.
根据题意求出正四棱柱的高，利用体积公式即可求解.

解：依题，正四棱柱的底面边长是，侧面的对角线长是 ，
则高为，
则正四棱柱的体积为：
故答案为
15.【答案】;
【解析】
此题主要考查棱锥的体积求解，属于中档题.
分析公共部分的图像，以及结合正方体的特征即可求解.

解：已知正方体的棱长为，、分别为底面和的中心，
假设四棱锥和相交的平面为，
根据正方体的特点，则平面为正方形，
所以四棱锥和的公共部分为两个四棱锥于平面为处拼接而成的几何体，
所以可知，所以平面为的面积为，
所以体积的值为，
故答案为
16.【答案】;
【解析】
根据图形是个直三棱锥且各个面均为直角三角形，结合体积可求出，进而可知外接球的球心为的中点，便可求得结果.

解：的体积为，
解得，易知外接球的球心为的中点，易求得，
所以球的半径为，所以球的表面积为
故答案为
17.【答案】;;
【解析】解：如图该几何体为三棱锥，
其直观图如图所示：

由图可得：，，
则，，，
即该几何体的最长棱长等于，
棱锥的底面的面积，
高，
故棱锥的体积，
故答案为：，．
画出满足条件的几何体，进而分析出这个几何体最长棱长，由勾股定理可得答案，再由其底面面积和高，可得体积．
该题考查的知识点是由三角形求体积，其中根据已知分析出几何体的形状，是解答的关键．
18.【答案】证明：因为为直角，所以，
又因为在直三棱柱中，平面，平面，
所以，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为是的中点，，，
所以，即，
又因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
解：因为，所以是异面直线与所成的角或补角，
又因为是直角，，异面直线与所成的角的正弦值是，
所以，
因为点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以，
所以三棱锥的体积为;
【解析】此题主要考查了线面垂直的判定定理与性质定理，考查了面面垂直的判定定理与性质定理以及棱锥的体积，属于中档题.
由，平面，可得平面，，再证明，可得平面，即可得出结论；
由异面直线与所成的角求出，再由点到平面的距离等于点到平面的距离，即可求出三棱锥的体积.
19.【答案】（1）证明：∵AD∥BC，AD⊥AB，∴BC⊥AB，
又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴BC⊥平面PAB，而BC 平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC；
（2）解：由（1）知，AB⊥BC，
又AB⊥PB，∴AB⊥平面PBC，
设PA中点为F，连接EF，则EF∥AD且EF=．
又BC∥AD，且BC=AD，∴EF∥BC．
∴点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离．
而点F到平面PBC的距离等于点A到平面PBC距离的，
∴点E到平面PBC的距离h=．
故=．;
【解析】
由已知可得，再由平面平面，利用面面垂直的性质可得平面，进一步得到平面平面；
由知，，结合，得平面，然后证明点到平面的距离等于点到平面的距离，并求得点到平面的距离等于点到平面距离的，可得点到平面的距离代入棱锥体积公式求解．
该题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．
20.【答案】解：正三棱锥的高为1，底面边长为2，底面面积为：=6．
V==2π
底面正三角形中心到一边的距离为××2=，
则正棱锥侧面的斜高为=．
∴S侧=3××2×=9．
∴S表=S侧+S底=9+××（2）2
=9+6．;
【解析】
求出底面正三角形的面积，利用棱锥的体积公式求解体积，求出正三棱锥的底面面积与侧面积，即可求出全面积．
此题主要考查正三棱锥的体积与全面积的求法，考查计算能力．
21.【答案】解：正方体的棱长为：，正方体的体对角线的长为：，就是球的直径，
球的表面积为：
解：如图，四面体的各棱长为，则其四个面均为边长为的等边三角形，
过作底面垂线，垂足为，则为底面三角形的中心，连接并延长，交于
显然，
则，
，
体积;
【解析】此题主要考查了棱柱，棱锥的表面积、体积，属于中档题．
设出正方体的棱长，求出正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的表面积即可．
由题意画出图形，求出四面体的高，代入棱锥体积公式求得体积．

22.【答案】证明：在边长为的等边三角形中，、、分别是、、的中点，
将沿折起，得到如图二所示的三棱锥，其中．
，，
，平面
平面 ，．
解：在中，，，
，，
，，
四棱锥的体积．;
【解析】此题主要考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
推导出，，从而平面，由此能证明．
推导出，四棱锥的体积，由此能求出结果．

23.【答案】证明：因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以
因为，所以，
又，所以平面，
所以
又因为，为的中点，
所以
因为，
所以平面，
又平面，
所以
解：，，
所以;
【解析】此题主要考查线面垂直和椎体体积的求法.
本小题关键是由线面垂直转化为线线垂直，通过证明平面，达到证明
由可求结果.
24.【答案】AB;
【解析】
此题主要考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，几何体的截面问题，属于较难题目.
建立空间坐标系，利用向量数量积判断和、是否垂直判断，做出截面梯形，计算面积判断，根据平面判断；令过截面圆的圆心，计算截面半径判断

解： 对于， 以为坐标原点建立空间坐标系， 如图所示：

则，，，
，，
，，又，，平面，
平面，故正确：
对于，过作交于点，则为的中点，
，
平面截正方体的截面为等腰梯形，
由勾股定理可求得，，，
截面梯形的高为，
截面梯形的面积为，故正确
对于，，平面，平面，
平面，
故不论在的任何位置，到平面的距离都是定值，而的面积是定值，
故三棱锥的体积是定值，与点位置无关，故错误
对于， 连接， 则的中点为正方体外接球球心，
当截面最小时， 必经过截面圆的圆心，
，，
，，
最小截面圆的半径为，故最小截面面积为，故错误.
故选
25.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.
证明平面，进而得，即可得选项正确；证明四边形为菱形即可得选项正确；由菱形性质得四边形的面积，再分别讨论的最大值与最小值即可；根据割补法求解体积即可.

解：对于选项，如图，连接，，由题易得，，，
所以平面，又平面，所以，
因此，故正确．
对于选项，由正方体性质得：平面平面，
平面平面，平面平面， 所以，
同理得，又，所以四边形为菱形，
因此，故正确．
对于选项，由易得四边形的面积，
所以当点，分别为，的中点时，四边形的面积最小，
此时，即面积的最小值为；
当点，分别与点或点，或重合时，四边形的面积最大，
此时，即面积的最大值为，
所以四边形的面积最小值与最大值之比为，故不正确．
对于选项，四棱锥的体积
；
因为，分别是，的中点，所以，，于是被截面平分的两个多面体是完全相同的，
则它们的体积也是相同的，因此多面体的体积，
所以四棱锥与多面体体积之比为，故正确．
故选
26.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查了线线垂直的判定，棱锥的体积计算，为中档题.
建立空间坐标系，利用向量数量积判断和是否垂直判断，根据平面判断，做出截面梯形，计算面积判断，由等体积法可判断

解：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，
故可得，，，
故
因为
故可得，故正确
，平面，平面，
平面，
故不论在的任何位置，到平面的距离都是定值，而的面积是定值，
故三棱锥的体积是定值，与点位置无关，
故错误；
取过作，则为的中点，
，
平面截正方体的截面为等腰梯形，

由勾股定理可求得，
，，
截面梯形的高为，
截面梯形的面积为，
故正确
因为，
故可得，
故，
设点到平面的距离为，
因为
即，
解得，故错
故选
27.【答案】ACD;
【解析】解：作正四棱台如图所示，
对于，过作于，，所以，
所以棱台的侧面积为，所以对；
对于，连接、，过作于，过作于，
，，，，
上底面面积，下底面面积，
棱台的体积为，所以错；
对于，因为为在底面的投影，所以为侧棱与底面所成角，
，所以对；
对于，为侧面与底面所成锐二面角的平面角，，所以对．
故选：
计算棱台侧面积判断；计算棱台体积判断；求侧棱与底面成角余弦值判断；求侧面与底面成角余弦值判断．
本题以命题真假判断为载体，考查了棱台的结构特征，考查了棱台的侧面积和体积计算问题，考查了二面角的计算问题，属于中档题．
28.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查棱锥的体积公式、内切球、外接球问题，属于中档题.
对于和，分别利用正三棱锥内切球和外接球的性质即可求解半径；对于，根据三棱锥的体积公式得到答案.

解：对于、设内切球球心在面与面内的射影分别为和，中点为，内切球半径为，

则，，共线，，，共线，
且，，，
，，
于是有，
解得，故正确；
对于、由上知在底面三角形的射影为，外接球半径为，
则，
由，解得，故正确；
该三棱锥体积为，故错误，正确.
故选

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