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4.2.1 等差数列的概念（1）
4.2.1 等差数列的概念（1）
授课老师：XXX
能说出等差数列、等差中项的概念。
会用等差数列的通项公式解决简单问题。
能用定义判断一个数列是否为等差数列。
1.数列的定义：
按确定的顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做数列的项.
2.数列的通项公式：
如果数列的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式 。
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
3.数列的递推公式：
知识回顾
情景引入

1、我国有用12生肖纪年的习惯，
例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为
2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；①
情景引入

2、我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为
275，270，265，260，255，250，…；②
3、2020年1月中，每个星期日的日期为5，12，19，26.③
问题1
情景引入
观察数列①②③你能发现他们的规律吗？？
解：对于数列①
发现：2029=2017+12，2041=2029+12，2053=2041+12，…
换一种写法就是：2029-2017=12，2041-2029=12，2053-2041=12，…
如果 用表示数列①，则有：
问题1
情景引入
观察数列①②③你能发现他们的规律吗？？
解：对于数列①，有这样的规律：数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数12。
数列②满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数-5。
数列③满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数7。
学习新知
问题2
什么是等差数列，你能给出等差数列的定义吗？
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
学习新知
问题2
什么是等差数列，你能给出等差数列的定义吗？
对定义的理解：
两个个关键词是“从第2项起”，“同一个常数”
条件 从第2项起
每一项与它的前一项的差都等于同一个常数
结论 这个数列就叫做等差数列
有关概念 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示
学习新知
等差数列的符号语言：
an－an-1 = d (d是常数, n≥2且n∈N*)或an+1－an = d (d是常数, n∈N*)
注意：
1. 判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断，即判定an+1-an 是不是同一个常数.
2. 公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差，而且公差可以是正数，负数，也可以为0.
学习新知
问题3
你能判断下列数列是否为等差数列吗？
公差是3
(3)1,1,1,1,1；
公差是0
(2)6，4，2；
公差是-2
(1)4，7，10，13，16;
(4)-3，-2，-1，1，2，3 .
d>0 增数列
d<0 减数列
d=0 常数列
是
是
是
不是
问题4
学习新知
如果在数 与 中间插入一个数 ，使 ， ， 成等差数列，那么应满足什么条件？
由等差数列定义，有 ,所以 ，即
我们把 叫做 和 的等差中项。
和 的等差中项是它们的算术平均数。
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若某数列中的各项依次为16,32,48,64,80,96,112,128,…,320,则该数列为等差数列. (　　)
(2)若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数,则这个数列一定是等差数列.(　　)
课 前 预 习
×
√
[解析] 该数列从第2项起每一项与它前一项的差都是16,是等差数列.
[解析] 当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时,这个数列才是等差数列.
(3)任意两个实数都存在等差中项. (　　)
(4)若a,b,c是等差数列,则c,b,a也是等差数列.(　　)
(5) 常数列是等差数列. ( )
(6)数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列. ( )
{an}不一定是等差数列，忽略了第1项.
课 前 预 习
√
√

√
×
学习新知
问题5
你能根据等差数列的概念写出它的递推公式吗？
设数列 的首项为 ，公差为 ，则由定义可得：
学习新知
你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？
追问1

学习新知
你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？
追问1

归纳可得：
当 时，上式为
首项为 ，公差为 ，的等差数列 的通项公式为：
学习新知
追问2

还有什么其他方法，推导等差数列的通项公式吗？
......
一共有n-1个等式，将它们进行累加，
有
即
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为
等差数列的通项公式的一般形式：an＝am＋(n－m)d
等差数列的通项公式
a1,an,n,d 知三求一
am=a1 +(m-1)d
an-am =(n-m) d
am=
an-am =
思考
学习新知
你能写出以下数列的通项公式吗？
追问3

（1）5，9，13，17，21；
（2）9，7，5，3，1，-1；
（3）6，6，6，6，6，6；

学习新知

追问4



学习新知
问题6
观察等差数列的通项公式，它和哪一类函数有关？
答：



学习新知
①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.
(k＋b)
k
②任给一次函数f(x)＝kx＋b (k,b为常数)，则f(1)＝k＋b,
f(2)＝2k＋b, …, f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，
其首项为________，公差为____.
等差数列与一次函数的关系
1
2
5
a1
x
f(x)
O
3
4
6
a1－d
a2
a3
a4
a5
a6
f(x)＝dx＋(a1－d)
学习新知
1
2
a1
x
f(x)
O
3
4
5
6
a1－d
a2
a3
a4
a5
a6
f(x)＝dx＋(a1－d)
1
2
a6
x
f(x)
O
3
4
5
6
a1－d
a5
a4
a3
a2
a1
f(x)＝dx＋(a1－d)
结论：当d＞0时，数列{an}单调递增; 当d＜0时，数列{an}单调递减；当d＝0时，等差数列{an}为常数列.
探究：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若数列{an}满足an=kn+b(k,b为常数),则{an}一定是等差数列.(　　)
(2)若数列{an}满足an=n2,则{an}是等差数列. (　　)
课 前 预 习
√
[解析]因为当n≥2时,an-an-1=(kn+b)-[k(n-1)+b]=k,为常数,所以{an}一定是等差数列.
×
[解析]因为an+1-an=(n+1)2-n2=2n+1,所以由等差数列的定义可知{an}不是等差数列.
(3)在等差数列{an}中,an=3n+2,则等差数列{an}的公差是3.(　　)
(4)各项都为正数的等差数列的公差一定大于0.(　　)
课 前 预 习
√
[解析]因为a1=5,a2=8,所以公差d=a2-a1=8-5=3.
×
[解析]首项为正数的常数列是各项都为正数的等差数列,但公差等于0.
例题练习，巩固知识

例1

例题练习，巩固知识
还有其他方法求公差吗？
追问1


例题练习，巩固知识
你能直接从通项公式看出公差的值吗？
追问2

由于等差数列的通项公式是关于n的一次函数，一次项系数即为公差，可以直接从通项公式看出公差的值。所以数列的首项为3，公差为-2。
例题练习，巩固知识
求等差数列8，5，2，...的通项公式和第20项，并判断-289是否是数列中的项，若是，是第几项？
例2

优化设计大本
【例2】(1)若等差数列的前三项分别为a,2a-1,3-a,求其第2 020项.
(2)在-1和7之间插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求这三个数.
分析(1)先根据条件由等差中项概念列方程求a,然后求出通项公式,再代入n=2 020求解;(2)先根据等差中项求出b,再依次利用等差中项求出a,c.
优化设计大本
(2)(方法1)这五个数构成的等差数列是{an},依题意知a1=-1,a5=7,设公差为d,则-1+4d=7,解得d=2,所以其第2,3,4项即a,b,c的值分别为
a=a2=-1+2=1,b=a3=-1+4=3,c=a4=-1+6=5.
(方法2)依题意,得-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1和7的等差中项,即
优化设计大本
角度2　等差数列的证明
(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
分析先用an表示bn+1,bn,再验证bn+1-bn为常数,最后可求出数列{an}的通项公式.
优化设计大本
优化设计大本
优化设计小本
优化设计小本
[探索]如何利用等差数列的定义判断一个数列是否为等差数列
探究点一　用定义判断等差数列
课 中 探 究
解:利用定义,只需验证an+1-an是否为同一个与n无关的常数,若是,则为等差数列,否则就不是等差数列.
例1 判断下列数列是否为等差数列.
(1)在数列{an}中,an=3n+2;
(2)在数列{an}中,an=n2+n.
课 中 探 究
解:(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3,为常数,所以这个数列为等差数列.
(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数,所以这个数列不是等差数列.

课 中 探 究
D
[解析]设数列{an}的公差为d,选项A,B,C都不一定满足bn-bn-1为同一常数,所以这三个选项都是错误的.

(2)若数列{an}满足2nan=2n+1an+1-1,且a1=1,则an=　　　　.
课 中 探 究


例2 已知数列8,a,2,b,c是等差数列,则a,b,c的值分别为　　　　,　　　　,　　　　.
探究点二　等差中项及其应用
课 中 探 究

5
-1
-4

课 中 探 究
C

课 中 探 究
拓展 已知数列{an}满足an-1+an+1=2an(n≥2),且a2=5,a5=13,则a8=　　　　.

21
[探索]具备哪些条件可以确定等差数列的通项公式
探究点三　等差数列的通项公式
课 中 探 究
解:由等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d可以看出,只要知道首项a1和公差d,就可以确定通项公式.

课 中 探 究

D
变式1 已知等差数列{an}的公差为d,且a11=-26,a51=54,求a14的值,并判断该数列从第几项开始为正数.
课 中 探 究


课 中 探 究

课 中 探 究


A
1.判断一个数列为等差数列的常见方法:
(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*) {an}为等差数列.
(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*) {an}为等差数列.
(3)通项公式法:an为n的一次函数 {an}为等差数列.
备 课 素 材
例1 若数列{an}的通项公式为an=10+lg 2n,试说明数列{an}为等差数列.
备 课 素 材
解:由an=10+lg 2n=10+nlg 2,得
an+1-an=[10+(n+1)lg 2]-(10+nlg 2)=lg 2.
所以数列{an}为等差数列.

D

分析:根据数列的递推关系, 利用取倒数法进行转化, 构造等差数列, 求出通项公式即可求值.











例题练习，巩固知识
例题练习，巩固知识
课堂小结
问题7
本节课学习了那些知识？
课堂小结
问题7
本节课学习了那些知识？

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