资源简介

专题 封闭气体的压强
和气体变质量问题
第二章
人教版 选择性必修第三册
液体封闭气体的压强
（水银柱-空气柱模型）
01
活塞—气缸模型的气体压强
02
气体变质量问题(气体分装)
03
典例分析
04
知识回顾
玻意耳定律
T1
T2
V
p
0
C与气体的种类、质量、温度有关。（ PV=C=nRT ）
对一定质量的某种气体：温度不变，C不变；
对一定质量的某种气体：温度越高，C越大．
液体封闭气体的压强
（水银柱-空气柱模型）
PART 01
知识点拨
(1)压强：描述气体力学特征的宏观参量
(2)气体的压强：气体作用在器壁单位面积上的压力
(3)产生原因：大量气体分子对器壁频繁碰撞而产生的
(4)影响气体压强的因素：
微观上：分子的平均动能和分子的密集程度
宏观上：气体的温度和体积
(5)符号：P 单位：帕斯卡(Pa) 1Pa = 1N/m2
1atm = 1.013×105Pa = 76cmHg≈10m水柱
（注：表示压强，要么都用Pa ，要么都用汞柱Hg）
(6)压强与压力的关系：F=PS （P=F/S）
一个空气分子，每秒钟与其它分子碰撞达65亿次之多.
容器中各处的压强相等
知识点拨
（8）气体的体积
1）体积：描述气体几何特征的物理量
2）气体体积：指气体所充满的容器的容积
※ 对于质量一定的气体
①体积不变——单位体积内的分子数不变
②温度升高，分子的平均动能增大——压强增大
(7)气体压强是由分子热运动产生的（一般不考虑重力），故同一段气柱各点压强大小相等；液体压强是由重力产生的，同种液体，在同一深度，压强向各个方向且大小相等。
????=????????=????????????=????????????????=????????????????????=???????????? (竖直管)
?
知识点拨
2．逐渐倾斜玻璃管，发现管内水银柱的竖直高度不变。
3．继续倾斜玻璃管，当倾斜到一定程度，管内充满水银，说明管内确实没有空气，而管外液面上受到的大气压强，正是大气压强支持着管内760mm高的汞柱，也就是大气压跟760mm高的汞柱产生的压强相等。
1．一只手握住玻璃管中部，在管内灌满水银，排出空气，用另一只手指紧紧堵住玻璃管开口端并把玻璃管小心地倒插在盛有水银的槽里，待开口端全部浸入水银槽内时放开手指，将管子竖直固定，当管内水银液面停止下降时，读出此时水银液柱与水槽中水平液面的竖直高度差，约为760mm。
理论依据
(1)连通器原理：在连通器中，同一种液体(中间液体不间断)的同一水平面上的压强是相等的(等高处等压).
(2)与气体接触的液柱所产生的附加压强 p=?gh，注意h是液面间的竖直高度，不一定是液柱长度.
(3)液面与外界大气相接触，则液面下h处的压强为:
p = p0 + ?gh
平衡态下液体封闭气体压强的计算
下列各图装置均处于静止状态。设大气压强为P0，用水银封闭一定量的气体在玻璃管中，求封闭气体的压强P
P =ρgh
P =? cmHg（柱）
P—帕
h—米
P =P0+ρgh
P =P0- ρgh
h
②
当压强单位取帕斯卡（帕）时
当压强单位取cmHg时
P =P0＋Ph
= P0+h
P =P0-Ph
=P0- h
h
③
P =P0
h
①
平衡态下液体封闭气体压强的计算
h
④
h
⑤
h
⑥
P =P0+ρgh
P =P0- ρgh
P =P0 - ρgh
当压强单位取帕斯卡（帕）时
当压强单位取cmHg时
P =P0-Ph
=P0- h
P =P0＋Ph
= P0+h
P =P0-Ph
=P0- h
气体压强求解的“两类模型”
1.活塞模型(用液体封闭一定质量的气体)
如图是最常见的封闭气体的两种方式.
对“活塞模型”类求压强的问题，其基本的方法就是先对活塞进行受力分析，然后根据平衡条件或牛顿第二定律列方程.
图甲中活塞的质量为m，活塞横截面积为S，外界大气压强为p0.由于活塞处于平衡状态，所以
p0S＋mg＝pS.
图乙中的液柱也可以看成一“活塞”，由于液柱处于平衡状态，所以pS＋mg＝p0S.
气体压强是气体分子热运动撞击器壁产生的压力，因此可根据力的平衡条件或牛顿运动定律计算压强的大小.
P =P0-Ph=P0- h
气体压强求解的“两类模型”
2.连通器模型(用液体封闭一定质量的气体)
如图，U形管竖直放置.根据连通器原理可知，同一液体中的相同高度处压强一定相等，所以气体B和A的压强关系可由图中虚线联系起来.则有pB＋ρgh2＝pA.
而pA＝p0＋ρgh1，
所以气体B的压强为
pB＝p0＋ρg(h1－h2).
PA =P0+h1
PB=P0+h1-h2
计算方法
（1）连通器原理：根据同种液体在同一水平液面处压强相等，在连通器内灵活选取等压面．由两侧压强相等列方程求解压强．
例如图中，同一液面C、D处压强相等pA＝p0＋ph
（2）液片平衡法(参考液片法)：选取假想的液体薄片(自身重力不计)为研究对象，分析液片两侧受力情况，建立平衡方程消去面积S，得到液片两侧的压强平衡方程，进而求得气体压强．
例如，图中粗细均匀的U形管中封闭了一定质量的气体A，在其最低处取一液片B，由其两侧受力平衡可知
(pA＋ph0)S＝(p0＋ph＋ph0)S.即pA＝p0＋ph
★一般在D处取一液片，则有pA＝pD＝p0＋ph，若装的是水银，则pA＝pD＝p0＋h
（3）受力平衡法：选与封闭气体接触的液柱为研究对象进行受力分析，由F合＝0列式求气体压强．
计算方法
(4)容器加速运动时封闭气体压强的计算
当容器加速运动时，通常选与气体相关联的液柱、汽缸或活塞为研究对象，并对其进行受力分析，然后由牛顿第二定律列方程，求出封闭气体的压强.
如图所示，当竖直放置的玻璃管向上加速运动时，对液柱受力分析有: pS-p0S-mg=ma
思考讨论
如图所示，玻璃管中都灌有水银，且水银柱都处在平衡状态，大气压相当于76 cm高的水银柱产生的压强。
提示：(1)选与封闭气体接触的液柱(或活塞、汽缸)为研究对象进行受力分析，列平衡方程求气体压强。
(2)①pA＝p0－ph＝71 cmHg
②pA＝p0－ph＝66 cmHg
③pA＝p0＋ph＝(76＋10×sin30°)cmHg＝81 cmHg
④pA＝p0－ph＝71 cmHg　pB＝pA－ph＝66 cmHg
(1)静止或匀速运动系统中气体的压强，一般采用什么方法求解？
(2)图中被封闭气体A的压强各是多少？
例题分析
例：如图所示,在长为57 cm的一端封闭、另一端开口向上的竖直玻璃管内,用4 cm高的水银柱封闭着51 cm长的理想气体,管内外气体的温度相同。现将水银从管侧壁缓慢地注入管中,直到水银面与管口相平。外界大气压强p0=101 kPa,相当于76 cm水银柱产生的压强,且温度不变。求此时管中封闭气体的压强。
【思考】
(1)在此过程中,封闭气体的各物理量发生了什么变化?
(2)如何求解气体的压强?
例题分析
解析:以玻璃管内的气体为研究对象,设玻璃管的横截面积是S,气体的状态参量:



气体发生等温变化,由玻意耳定律得p1V1=p2V2,
代入数据解得h=9 cm,则p2=113 kPa。
总结：利用玻意耳定律解题的基本思路
(1)明确研究对象,根据题意确定所研究的是哪部分封闭气体,注意其质量和温度应不变。
(2)明确状态参量,找准所研究气体初、末状态的p、V值。
(3)根据玻意耳定律列方程求解。
温馨提醒：利用玻意耳定律解题时,经常使用p1V1=p2V2,相同物理量的单位要求使用同一单位即可。
例题分析
例：如图所示,长50 cm的玻璃管开口向上竖直放置,用15 cm长的水银柱封闭了一段20 cm长的空气柱,外界大气压强相当于75 cm水银柱产生的压强。现让玻璃管自由下落。不计空气阻力,求稳定时气柱的长。(可以认为气柱温度没有变化)
解析:假设自由下落过程中,水银没有溢出。根据玻意耳定律得
p1l1S=p2l2S

p2=p0
l1=20 cm
解得l2=24 cm
24 cm+15 cm=39 cm<50 cm
所以水银没有溢出,气柱长24 cm
提示：自由落体，是完全失重，重力引起的现象消失
例题分析
例：如图所示， 长为1m，开口竖直向上的玻璃管内，封闭着长为15cm的水银柱，封闭气体的长度为20cm，已知大气压强为75cmHg，求：
（1）玻璃管水平放置时，管内气体的长度。
（2）玻璃管开口竖直向下时，管内气体的长度。（假设水银没有流出）
解：(1)以管内气体为研究对象，管口竖直向上为初态:
设管横截面积为S，则
P1=75＋15＝90cmHg V1=20S
水平放置为末态，P2=75cmHg
由玻意耳定律P1V1=P2V 2得：
V2=P1V1／P2=（90×20S）／75=24S
故管内气体长24cm
(2)以管口竖直向上为初态，管口竖直向下为末态
P2=75－15＝60cmHg
由玻意耳定律得：V2= P1V1／P2＝30S
所以，管内气体长30cm
因为30cm＋15cm＜100cm，故水银不会流出
15cm
20cm
15cm
15cm
例题分析
【例题3】如图，一上端开口,下端封闭的细长玻璃管，下部有长l1=66 cm 的水银柱，中间封有长l2=6.6 cm的空气柱，上部有长l3=44 cm的水银柱，此时水银面恰好与管口平齐.已知大气压强为p0=76 cmHg.如果使玻璃管绕底端在竖直平面内缓慢地转动一周，求在开口向下和转回到原来位置时管中空气柱的长度（在转动过程中没有发生漏气，气体状态变化可视为等温变化）。
p0S+ρgl3S
p1S
p2S
P0S-ρgxS
x
p3S
p0S+ρgxS
法一：以与气体相接触的水银柱为研究对象，其处于静止状态，根据受力平衡确定气体各状态的压强，设玻璃管的横截面为S。
解析：
玻璃管开口向上时
玻璃管开口向下时，
从开始转动一周后，
由玻意耳定律有 p1l2S=p2hS p1l2S=p3h′S
解得 h=12 cm h′=9.2 cm
p1S=p0S+ρgl3S
p2S=ρgl1S，p0S=p2S+ρgxS
p3S=p0S+ρgxS
p1=p0+ρgl3
则p2=ρgl1，p0=p2+ρgx
则p3=p0+ρgx
ρgl1S
p2S
例题分析
【例题3】如图，一上端开口,下端封闭的细长玻璃管，下部有长l1=66 cm 的水银柱，中间封有长l2=6.6 cm的空气柱，上部有长l3=44 cm的水银柱，此时水银面恰好与管口平齐.已知大气压强为p0=76 cmHg.如果使玻璃管绕底端在竖直平面内缓慢地转动一周，求在开口向下和转回到原来位置时管中空气柱的长度（在转动过程中没有发生漏气，气体状态变化可视为等温变化）。
p0+ρgl3
p1
p2
P0-ρgx
x
p3
p0+ρgx
解析：
玻璃管开口向上时
玻璃管开口向下时，
从开始转动一周后，
由玻意耳定律有 p1l2S=p2hS p1l2S=p3h′S
解得 h=12 cm h′=9.2 cm
p1=p0+ρgl3
则p2=ρgl1，p0=p2+ρgx
则p3=p0+ρgx
法二：在气体与水银相接触处，水银柱上取一液片为研究对象，其处于静止状态，根据受力平衡确定气体各状态的压强。
活塞—气缸模型的气体压强
PART 02
平衡态下固体（活塞、气缸）密闭气体压强的计算
求用固体（如活塞）封闭在静止容器内的气体压强，应对固体进行受力分析。然后根据平衡条件求解。
G
P0S
PS
PS = P0S+mg
m
S
G
PS
P0S′
S
m
S′
PS =mg +P0S＇cosθ
PS = mg+P0S
平衡态下固体（活塞、气缸）密闭气体压强的计算
M
m
S
M
m
S
以活塞为研究对象
以气缸为研究对象
mg+PS = P0S
Mg+PS = P0S
例题分析
例：如图所示，汽缸内封闭着一定温度的气体，气体长度为12cm。活塞质量20kg，横截面积为100cm?。已知大气压强为1×105Pa。求：汽缸开口向上时，气体的长度。
解：以缸内封闭气体为研究对象，
初态：
末态：
由玻意耳定律
由活塞受力平衡得：
例题分析
例:如图所示，活塞质量为m，缸套质量为M，通过弹簧吊在天花板上，气缸内封住了一定质量的空气，而活塞与缸套间无摩擦,活塞面积为S，大气压强为P0，则下列说法正确的是( )
A、内外空气对缸套的总作用力方向向上，大小为Mg
B、内外空气对缸套的总作用力方向向下，大小为mg
C、气缸内空气压强为P0-Mg/S
D、气缸内空气压强为P0+mg/S
AC
例题分析
例:如图所示，气缸悬挂在天花板上，缸内封闭着一定质量的气体A，已知气缸质量为m1，活塞的横截面积为S，质量为m2，活塞与气缸之间的摩擦不计，外界大气压为p0，求气体A的压强pA.
例题分析
例:一圆筒形汽缸静置于地面上，如图所示。汽缸筒的质量为M，活塞及活塞上的手柄的质量为m，活塞的横截面积为S，大气压强为p0，现用力将活塞缓慢向上提，求汽缸刚离开地面时汽缸内封闭气体的压强。（忽略汽缸壁与活塞间的摩擦）
解：以活塞为研究对象，受重力、向上的拉力、外界大气向下的压力和封闭气体向上的压力，由平衡条件得：
F+PS=mg+P0S
以活塞和汽缸整体为研究对象，受重力、向上的拉力，由平衡条件得：
F=（M+m）g
联立①②得：P=P0-????????????
?
例题分析
例:如图，水平放置的导热气缸被导热活塞隔成左右两部分，两部分气体a和b为同种理想气体，活塞静止时到左右两侧的距离之比为1∶2，活塞质量为m、面积为S，活塞可无摩擦左右移动。现在把气缸转动90度，a在上、b在下，结果活塞正好在气缸中间。已知气体温度始终不变，求开始时气体a的压强是多少？
解析：设气体a原来压强为p1、则开始时气体b压强也为p1；气缸转动后，活塞稳定时，气体a的压强为p2，则气体b的压强为p3＝p2＋????????????，根据气缸外温度不变，可知气体a、b温度始终不变，设原来活塞到左侧距离为d，对于气体a，应用玻意耳定律有p1Sd＝p2S·32d，对于气体b，应用玻意耳定律有p1S·2d＝p3S·32d，联立解得p1＝3????????2????。
?
例题分析
【例题】如图,一容器由横截面积分别为2S和S的两个汽缸连通而成,容器平放在水平地面上,汽缸内壁光滑。整个容器被通过刚性杆连接的两活塞分隔成三部分,分别充有氢气、空气和氮气。平衡时,氮气的压强和体积分别为p0和V0,氢气的体积为2V0,空气的压强为p。现缓慢地将中部的空气全部抽出,抽气过程中氢气和氮气的温度保持不变,活塞没有到达两汽缸的连接处,求:
(ⅰ)抽气前氢气的压强;
(ⅱ)抽气后氢气的压强和体积。
例题分析
解析　(ⅰ)设抽气前氢气的压强为p10,根据力的平衡条件得
(p10-p)·2S=(p0-p)·S
得p10=?(p0+p)
(ⅱ)设抽气后氢气的压强和体积分别为p1和V1,氮气的压强和体积分别为p2和V2。
根据力的平衡条件有p2·S=p1·2S
由玻意耳定律得p1V1=p10·2V0
p2V2=p0V0
答案　(ⅰ) ? (p0+p)　(ⅱ) ?p0+ ? p?????
由于两活塞用刚性杆连接,故
V1-2V0=2(V0-V2)
联立解得
p1= ?p0+ ? p
V1=?
气体变质量问题(气体分装)
PART 03
知识点拨
每充或抽一次气，容器中空气的质量都会发生变化，但如果灵活选取研究对象，可将其转变为质量不变的问题。
(1)玻意耳等温分态公式
一般地，若将某气体(p，V，M)在保持总质量、温度不变的情况下分成了若干部分(p1，V1，M1)、(p2，V2，M2)、…、(pn、Vn、Mn)，则有pV＝p1V1＋p2V2＋…＋pnVn。
应用等温分态公式解答温度不变情况下，气体的分与合，部分气体质量有变化、气体总质量无变化、又不直接涉及气体质量的问题时，常常十分方便。
(2)关于充气问题：如果打气时每一次打入的空气质量、体积和压强均相同，则可设想用一容积为nV0的打气筒将压强为p0的空气一次打入容器与打n次气等效代替。所以研究对象应为容器中原有的空气和n次打入的空气总和。这样充气过程可看作是气体的等温压缩过程。
知识点拨
(3)关于抽气问题：
从容器内抽气的过程中，容器内的气体质量不断减小，这属于变质量的问题。分析时，将每次抽气过程中抽出的气体和剩余气体作为研究对象，质量不变，故抽气过程可看作是等温膨胀过程。
(4)关于灌气问题：
一个大容器里的气体分装到多个小容器的问题，也是一个典型的变质量问题。分析这类问题时，可以把大容器的气体和多个小容器中的气体看作整体作为研究对象，可将变质量的问题转化为质量不变的问题。
(5)漏气问题
容器漏气过程中气体的质量不断发生变化，属于变质量问题。如果选容器内剩余气体和漏出的气体组成的整体为研究对象，便可使问题变成一定质量的气体的状态变化问题。
例题分析
【例题】如图为某压缩式喷雾器储液桶，其容量是5.7×10－3m3，往桶内倒入4.2×10－3 m3的药液后开始打气，假设打气过程中药液不会向外喷出．如果每次能打进2.5×10－4m3的空气，
（1）要使喷雾器内空气的压强达到4atm，应打气几次？
（2）这个压强能否使喷雾器内的药液全部喷完？(设标准大气压为1 atm，打气过程中不考虑温度的变化)
例题分析
4.2×10－3 m3
V
5.7×10－3m3
2.5×10－4m3
2.5×10－4m3
2.5×10－4m3
2.5×10－4m3
2.5×10－4m3
………………
变质量问题
一定质量气体的等温变化
（1）
例题分析
p0
p0
p0
p0
p0
p0
4p0
由玻意耳定律得:
p0V ＋ p0×N×(2.5×10－4 m3) ＝ 4p0 V
V＝5.7×10－3 m3－4.2×10－3 m3＝1.5×10－3 m3
N＝18
一定质量气体的等温变化
例题分析
（2）假设空气完全充满药桶后（即液体全部喷完）
如果空气压强P仍然大于大气压，则药液可以全部喷出，否则不能完全喷出．
4.2×10－3 m3
V
5.7×10－3m3
5.7×10－3m3
4p0V＝p×5.7×10－3
p＝1.053p0＞p0
所以药液可以全部喷出．
4p0
p
＝1.5×10－3 m3
由玻意耳定律得:
规律总结
求解变质量问题的方法技巧
此类问题我们可认为打入喷雾器的气体都在其周围，且可以认为是一次性打入的，若初态时内外气体压强相同，则体积为内外气体体积之和，状态方程为：p1(V＋nV0)＝p2V。若初态时内外气体压强不同，则体积不等于内外气体体积之和，状态方程应为：p1V＋np1′V0＝p2V。
例题分析
【例题】容积V＝20 L的钢瓶充满氧气后，压强p＝30 atm，打开钢瓶阀门，让氧气分装到容积为V′＝5 L的小瓶中去，小瓶子已抽成真空．分装完成后，每个小钢瓶的压强p′＝2 atm.在分装过程中无漏气现象，且温度保持不变，那么最多可能装的瓶数是(　　)
A．4瓶　　　　　　　　　
B．50瓶
C．56瓶
D．60瓶
C
例题分析
p＝30 atm
V＝20 L
。。。。。
V′＝5 L
V′＝5 L
V′＝5 L
变质量的问题
。。。。。
V′＝5 L
V′＝5 L
V′＝5 L
p′＝2 atm
p′＝2 atm
p′＝2 atm
p′＝2 atm
V＝20 L
一定质量气体的等温变化
pV＝p′V＋p′ nV′
由玻意耳定律得:
故选C
例题分析
【典例】现用活塞气筒向一个容积为V的自行车轮胎内打气,每次能把体积为V0、压强为p0的空气打入自行车轮胎内。若胎内原有空气的压强为p,设打入气体的温度不变,则打了n次后自行车轮胎内气体的压强为多大?并解释为何在打气过程中越打越费劲?
例题分析
【解析】取胎内原有气体和n次打入的气体为研究对象,
由玻意耳定律知
pV+np0V0=pnV
所以pn=p+
p0、V0、V、p各量不变,n越多,pn越大,即打入气体的次数越多,需要克服胎内气
体对气筒(活塞)的压力越大,感觉越费劲。
答案:p+ 　 见解析
典例分析
PART 04
小试牛刀
1、如图所示，一汽缸水平放置，汽缸内封闭着一定温度的气体，气体长度为12cm。活塞质量20kg，横截面积为100cm?。已知大气压强为1×105Pa。求：汽缸开口向上时，气体的长度。
以缸内封闭气体为研究对象，
初态：
末态：
由玻意耳定律
由活塞受力平衡得：
解析：
小试牛刀
2、如图所示,竖直向上放置的横截面积为S的汽缸内,有两个质量分别为m1和m2的圆柱形光滑活塞,封闭着两部分气体A与B,若外界大气压强为p0,试求气体A的压强pA。
【解析】将质量分别为m1和m2的两个活塞和气柱B看作一个整体,此时气柱B对上、下活塞的压力成为内力,可不必考虑,而气柱B的重力可以忽略,于是等效于将气柱B抽去,而将活塞m1、m2视为一个整体,由该整体受力平衡即可得出:pAS=p0S+(m1+m2)g,解得
答案:
小试牛刀
3、如图所示,一汽缸水平固定在静止的小车上,一质量为m,面积为S的活塞将一定量的气体封闭在汽缸内,平衡时活塞与汽缸底相距为L。现让小车以一较小的水平恒定加速度向右运动,稳定时发现活塞相对于汽缸移动了距离d。已知大气压强为p0,不计汽缸和活塞间的摩擦;且小车运动时,大气对活塞的压强仍可视为p0;整个过程温度保持不变。求小车加速度的大小。
小试牛刀
【解析】设小车加速度大小为a,稳定时汽缸内气体的压强为p1,则活塞受到汽缸内、外气体的压力分别为:
F1=p1S,F0=p0S
由牛顿第二定律得:F1-F0=ma
小车静止时,在平衡状态下,汽缸内气体的压强应为p0。
由玻意耳定律得:
p1V1=p0V0
式中V0=SL,V1=S(L-d)
联立以上各式得:
答案:
小试牛刀
4．如图，开口向上且足够长的玻璃管竖直放置，管内长为5cm的水银柱封闭了一段长为6cm的气柱。保持温度不变，将管缓慢转动至水平位置，气柱长度变为（大气压强为75cmHg）（　　）
A．5.6cm B．6.0cm C．6.4cm D．7.1cm
C
小试牛刀
5．如图，气缸倒挂在天花板上，用光滑的活塞密封一定量的气体，活塞下悬挂一个沙漏，保持温度不变，在沙缓慢漏出的过程中，气体的（　　）
A．压强变大，体积变大
B．压强变大，体积变小
C．压强变小，体积变大
D．压强变小，体积变小
B
专题 封闭气体的压强
和气体变质量问题
人教版 选择性必修第三册

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