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第四讲 与三角形相关的二次函数存在性问题（压轴题专题讲义）
内容提要
（一）关于等腰三角形找点（作点）和求点的不同
（二）关于直角三角形找点和求点的方法
知识点拓展详解
（一）关于等腰三角形找点（作点）和求点的不同，
1、等腰三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用两园一线法，在图上找出存在点的个数，只找不求。
2、等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出三点间的线段长度，然后分顶点进行讨论，
（二）关于直角三角形找点和求点的方法
1、直角三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一园法，在图上找出存在点的个数，只找不求。所谓的两线就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；一圆就是以已知边为直径，以已知边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点。
2、具体方法
（1）121k k ；（2）三角形全等（注意寻找特殊角，如30°、60°、45°、90°）
（3）三角形相似；经常利用一线三等角模型
（4）勾股定理；
当题目中出现了特殊角时，优先考虑全等法
最新典型例题——教你解题
例题1．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．下列四种说法：①点C在⊙I上；②IQ⊥PD；③当点P沿半圆从点B运动至点A时，点Q运动的路径长为π；④线段BQ的长可以是3.2．
其中正确说法的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】由抛物线y＝x2﹣x﹣得A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣），可得I（1，0），顶点D（1，﹣2），
①根据勾股定理求出IC，即可求解；
②根据垂径定理即可求解；
③点P的运动轨迹为以I为圆心的半圆，则点Q的运动轨迹为以R为圆心的半圆，即可求解；
④根据勾股定理即可求解．
【归纳总结】将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
最新典型例题2．
如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①2a+b＝0；②abc＜0；③a+b≥am2+bm（m为任意实数）；④若点Q（m，n）是抛物线上第一象限上的动点，当△QBC的面积最大时，m＝2，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】根据已知点的特点可求对称轴为直线x＝1，则b＝﹣2a；由函数的图象可知，a＜0，c＞0，再由b＝﹣2a可知b＞0；当x＝1时，函数有最大值a+b+c；再由铅锤法求△BCQ的面积，从而确定当m＝2时，三角形面积有最大值．
提高同步练习
一．选择题
1．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为AB的中点，以C为圆心，AC长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接DE，取DE的中点F，当点E沿着半圆从点A运动至点B的过程中，线段AF的最小值为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC+5AC的最小值为（　　）
A．24 B．25 C．30 D．36
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③a+b＞am2+bm（m为任意实数）；④若点Q（m，n）是抛物线上第一象限上的动点，当△QBC的面积最大时，m＝1，n＝a+b+c，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，BC＝4，D为AC上一点，CD＝．若E为AB边上一动点，连接DE，设BE＝x，DE2＝y，则y关于x的函数图象大致为（　　）
A． B． C． D．
5．设M为抛物线y＝（x﹣1）2的顶点，点A、B为该抛物线上的两个动点，且MA⊥MB．连接点A、B，过M作MC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（　　）
A． B． C． D．2
二．填空题（共4小题）
6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c（b＞0，b、c为常数）的顶点为A，与y轴交于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C．若△ABC是等腰直角三角形，则BC的长为 　 　．
7．如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a的图象与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△BAC的面积是6，若在抛物线上存在一点P（与点C不重合），使S△ABP＝S△ABC，则点P的坐标为 　 　．
8．如图，在平面直角坐标系中，点 A、点B均在抛物线y＝x2上，且AB∥x轴，点 C、点D为线段AB的三等分点，以CD为边向下作矩形CDEF，矩形CDEF的顶点 E、F均在此抛物线上，若矩形CDEF的面积为2，则AB的长为 　 　．
9．抛物线交x轴负半轴于点A，点B是抛物线上一动点，且点B在第二象限，以AB为边，作等腰直角三角形ABP．其中∠ABP＝90°，当点P恰好在y轴上时，点P的坐标为 　 　．
三．解答题（共3小题）
10．抛物线线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线l：y＝kx+m（k≠0）有且只有一个交点，我们就称此直线l与抛物线L的相切．直线l叫做抛物线L的切线，交点叫做抛物线L的切点．
（1）若点A为抛物线y＝x2﹣2x+4与y轴的交点，求以点A为切点的该抛物线的切线的解析式；
（2）已知一次函数y1＝2x，二次函数y2＝x2+1，是否存在二次函数y3＝ax2+bx+c，其图象经过点（﹣3，2），使得直线y1＝2x与y2＝x2+1，y3＝ax2+bx+c都相切于同一点？若存在，求出y3的解析式；若不存在，请说明理由；
（3）已知直线l1：y＝k1x+m1（k1≠0）、直线l2：y2＝k2x+m2（k2≠0）是抛物线y＝﹣x2+2x+3的两条切线，当l1与l2的交点P的纵坐标为5时，试判断k1 k2是否为定值，并说明理由．
11．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为（6，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，点D是BC上方抛物线上的一个动点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）当△BCD的面积为时，求点D的坐标；
（3）是否存在点D，使得∠DCB＝2∠ABC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A'B'O．
（1）有一条抛物线经过点A'，B'，B，求该抛物线的解析式．
（2）设该抛物线的一个动点P的横坐标为t．
①当0＜t＜2时，求四边形ABPB'的面积S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
②点Q是直线AB上的一个动点，若以AB'为边，点A，B'，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的t的值．
参考答案与试题解析
【教你解题】
最新典型例题1：如图，抛物线y＝x2﹣x﹣的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．下列四种说法：
①点C在⊙I上；
②IQ⊥PD；
③当点P沿半圆从点B运动至点A时，点Q运动的路径长为π；
④线段BQ的长可以是3.2．
其中正确说法的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：抛物线y＝x2﹣x﹣的图象与坐标轴交于点A，B，C，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣），
∴点I（1，0），⊙I的半径为2，
∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣1）2﹣2，
∴顶点D的坐标为：（1，﹣2），
∴ID＝2，
∴点D在⊙I上．
①IC＝＝＝≠2，故点C不在⊙I上，故①不正确；
②∵圆心为I，P是半圆上一动点，点D在⊙I上，点Q为PD的中点．
∴IQ⊥PD，故②正确；
③图中实点G、Q、I、F是点N运动中所处的位置，
则GF是等腰直角三角形的中位线，GF＝AB＝2，ID交GF于点R，则四边形GDFI为正方形，
当点P在半圆任意位置时，中点为Q，连接IQ，则IQ⊥PD，连接QR，
则QR＝ID＝IR＝RD＝RG＝RF＝GF＝1，则点Q的运动轨迹为以R为圆心的半圆，
则Q运动的路径长＝×2πr＝π，故③正确；
④由③得，当点Q运动到点G的位置时，BQ的长最大，
最大值为＝＜3.2，
∴线段BQ的长不可以是3.2，故④不正确．
故正确说法有：②③．
故选：B．
最新典型例题2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①2a+b＝0；②abc＜0；③a+b≥am2+bm（m为任意实数）；④若点Q（m，n）是抛物线上第一象限上的动点，当△QBC的面积最大时，m＝2，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），
∴对称轴为直线x＝＝1，
∴﹣＝1，
∴2a＝﹣b，
∴2a+b＝0，故①正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②正确，符合题意；
∵抛物线的对称轴x＝1，开口向下，
∴x＝1时，y有最大值，最大值＝a+b+c．
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
∴a+b≥am2+bm（m为任意实数），故③正确，符合题意；
④∵C（0，c），
设直线BC的解析式为y＝kx+t，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+c，
将点A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax+c，
∴c＝﹣8a．
∴y＝ax2﹣2ax﹣8a．
过点Q作QN∥y轴交BC于点P，
∵Q（m，n），
∴P（m，2am﹣8a），
∴PQ＝n﹣2am+8a．
∴S△QBC＝×4×（n﹣2am+8a）＝2（n﹣2am+8a），
∵n＝am2﹣2am﹣8a，
∴S△QBC＝2（am2﹣4am）＝2a（m﹣2）2﹣8a．
∴当m＝2时，△QBC的面积最大，
故④正确，符合题意；
故选：D．
提高同步练习
一．选择题
1．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为AB的中点，以C为圆心，AC长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接DE，取DE的中点F，当点E沿着半圆从点A运动至点B的过程中，线段AF的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意可知E点在以C为圆心，2为半径的半圆上，则F点在以G（1，﹣2）为圆心，1为半径的半圆上，AF的最小值为AG﹣1，求出AG即可求解．
解：连接AD、AE，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D（1，﹣4），
∴AD的中点为H（0，﹣2），
连接HF，
∵F是DE的中点，
∴HF∥AE，HF＝AE，
∵AB＝4，C（2，0），
∴E点在以C为圆心，2为半径的半圆上，
∴F点在以G（1，﹣2）为圆心，1为半径的半圆上，
∴AG＝2，
∴AF的最小值为2﹣1，
故选：C．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC+5AC的最小值为（　　）
A．24 B．25 C．30 D．36
【分析】连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，继而得出BD、OA、OD，再证明△OBD∽△CBM，△OBD∽△OAN，进而可得3BC+5AC＝5MC+5AC＝5（AC+CM），当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，根据求出AN，AC+CM最小值即为AN，则问题得解．
解：连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，如图，
令y＝0，得方程，
解得：x1＝0，x2＝6，
∴A点坐标为（6，0），即OA＝6，
将配成顶点式得：，
∴B点坐标为（3，4），
∴BD＝4，OD＝3，
∵CM⊥OB，AN⊥OB，
∴∠BMC＝∠ANO＝90°，
根据抛物线对称轴的性质可知BD⊥OA，
∴∠BDO＝90°，
在Rt△BDO中，
利用勾股定理得，
∵∠OBD＝∠CBM，∠BDO＝∠BMC＝90°，
∴△OBD∽△CBM，
同理可证得△OBD∽△OAN，
∴，，
∴，即3BC＝5MC，
∴3BC+5AC＝5MC+5AC＝5（AC+CM），
∵当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，
∴AC+CM最小值为AN，如图所示，
∵，
∴，
∴AC+CM最小值，
∴即3BC+5AC＝5（AC+CM）＝24．
故选：A．
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③a+b＞am2+bm（m为任意实数）；④若点Q（m，n）是抛物线上第一象限上的动点，当△QBC的面积最大时，m＝1，n＝a+b+c，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据已知点的特点可求对称轴为直线x＝1，则b＝﹣2a；由函数的图象可知，a＜0，c＞0，再由b＝﹣2a可知b＞0；当x＝1时，函数有最大值a+b+c；再由铅锤法求△BCQ的面积，从而确定当m＝2时，三角形面积有最大值．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），
∴对称轴为直线x＝＝1，
∴﹣＝1，
∴2a＝﹣b，
∴2a+b＝0，故①正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②错误，不符合题意；
∵抛物线的对称轴x＝1，开口向下，
∴x＝1时，y有最大值，最大值＝a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
∴a+b≥am2+bm（m为任意实数），故③错误，不符合题意；
④∵C（0，c），
设直线BC的解析式为y＝kx+t，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+c，
将点A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax+c，
∴c＝﹣8a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣8a，
过点Q作QN∥y轴交BC于点P，
∵Q（m，n），
∴P（m，2am﹣8a），
∴PQ＝n﹣2am+8a，
∴S△QBC＝4×（n﹣2am+8a）＝2（n﹣2am+8a），
∵n＝am2﹣2am﹣8a，
∴S△QBC＝2（am2﹣4am）＝2a（m﹣2）2﹣8a，
∴当m＝2时，△QBC的面积最大，
故④不正确，不符合题意；
故选：A．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，BC＝4，D为AC上一点，CD＝．若E为AB边上一动点，连接DE，设BE＝x，DE2＝y，则y关于x的函数图象大致为（　　）
A． B． C． D．
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，利用等腰直角三角形的性质求得线段AF，DF，AB的长度，利用含x的代数式表示出EF，再利用勾股定理即可求得y与x的函数解析式，利用二次函数的性质结合自变量x的取值范围即可得出结论．
解：过点D作DF⊥AB于点F，如图，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，BC＝4，
∴AB＝＝8，∠A＝45°，
∵DF⊥AB，
∴AF＝DF＝AD，
∵AC＝BC＝4，CD＝，
∴AD＝3，
∴AF＝DF＝3．
∴BF＝AB﹣AF＝5，
∵BE＝x，
∴当点E在点F的下方时，EE＝5﹣x，
当点E在点F的上方时，EF＝x﹣5，
∵DE2＝EF2+DF2，
∴y＝（5﹣x）2+32＝x2﹣10x+34（0≤x≤5）或y＝（x﹣5）2+32＝x2﹣10x+34（5＜x≤8），
∴当0≤x≤5时，y有最大值为34，最小值为9，
当5＜x≤8时，y有最大值为34，此时x＝8，
又∵y＝（5﹣x）2+32＝x2﹣10x+34（0≤x≤5）或y＝（x﹣5）2+32＝x2﹣10x+34（5＜x≤8）的图象为抛物线的一部分，
故选：C．
5．设M为抛物线y＝（x﹣1）2的顶点，点A、B为该抛物线上的两个动点，且MA⊥MB．连接点A、B，过M作MC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（　　）
A． B． C． D．2
【分析】如图，以M为原点建立新坐标系．过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AD⊥x轴于点D，AH⊥BE于点H，交y′轴于点G，设AB交y′轴于点K．首先证明直线AB经过定点K（0，1），判断出点C的运动轨迹，可得结论．
解：如图，以M为原点建立新坐标系．过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AD⊥x轴于点D，AH⊥BE于点H，交y′轴于点G，设AB交y′轴于点K．
则抛物线在新坐标系下的解析式y′＝x2，顶点M（0，0）．
设MD＝a，ME＝b，K（0，m），则AD＝a2，BE＝b2，
∵KG∥BH，
∴＝，
∴＝，
∴m＝ab，
∵AM⊥MB，
∴∠AMB＝∠ADM＝∠BEM＝90°，
∴∠AMD+∠BME＝90°，∠BME+∠EBM＝90°，
∴∠AMD＝∠MBE，
∴△ADM∽△MEB，
∴＝，
∴＝，
∴ab＝1，
∴m＝1，
∴K（0，1），
∴MK＝1，
∵AC⊥AB，
∴∠MCK＝90°，
∴点C的运动轨迹是以MK为直径的圆，
∴当点C在y′的右边侧，到y′轴的距离为时，点C到y轴的距离最大，最大值为1+＝．
故选：B．
二．填空题（共4小题）
6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c（b＞0，b、c为常数）的顶点为A，与y轴交于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C．若△ABC是等腰直角三角形，则BC的长为 　8　．
【分析】分别求出A（2b，c﹣b2），B（0，c），C（4b，c），再由等腰直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，建立方程4b＝2（c﹣c+b2），求出b的值即可求解．
解：∵y＝x2﹣bx+c＝（x﹣2b）2+c﹣b2，
∴顶点A（2b，c﹣b2），对称轴为直线x＝2b，
当x＝0时，y＝c，
∴B（0，c），
∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C，
∴C（4b，c），
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴4b＝2（c﹣c+b2），
解得b＝0或b＝2，
∵b＞0，
∴b＝2，
∴BC＝8，
故答案为：8．
7．如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a的图象与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△BAC的面积是6，若在抛物线上存在一点P（与点C不重合），使S△ABP＝S△ABC，则点P的坐标为 　（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）　．
【分析】由y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0，可求出A、B坐标结合三角形的面积，解出a＝﹣3；然后根据题意P的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得P的坐标．
解：∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，
令x＝0，则y＝﹣a，
∴C（0，﹣a），
令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0，
解得x1＝a，x2＝1，
由图象知：a＜0，
∴A（a，0），B（1，0），
∵S△ABC＝6，
∴（1﹣a）（﹣a）＝6，
解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）；
∵a＝﹣3，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，C（0，3），
∵S△ABP＝S△ABC．
∴P点的纵坐标为±3，
把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝3，解得x＝﹣2或x＝0（与点C重合，舍去）；
把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝﹣3，解得x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，
∴P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）．
故答案为：（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）．
8．如图，在平面直角坐标系中，点 A、点B均在抛物线y＝x2上，且AB∥x轴，点 C、点D为线段AB的三等分点，以CD为边向下作矩形CDEF，矩形CDEF的顶点 E、F均在此抛物线上，若矩形CDEF的面积为2，则AB的长为 　3　．
【分析】设A（a，a2），则B（﹣a，a2），利用抛物线的对称性和点的坐标的特征得到AB＝2a，点 A、点B到x轴的距离为a2，利用矩形的性质得到点 C、点D关于y轴对称，HD＝HC＝a，则E（﹣a，），F（a，），利用矩形的面积公式可得到关于a的方程，利用立方根的意义即可求得a值，则结论可求．
解：抛物线y＝x2的对称轴为y轴，
∵点 A、点B均在抛物线y＝x2上，且AB∥x轴，
∴点 A、点B关于y轴对称，
设A（a，a2），则B（﹣a，a2），a＞0．
∴AB＝2a，点 A、点B到x轴的距离为a2．
∵点 C、点D为线段AB的三等分点，
∴CD＝a．
设CD与y轴交于点H，
由题意，点 C、点D关于y轴对称，
∴HD＝HC＝a，
∵矩形CDEF的顶点 E、F均在此抛物线上，
∴E（﹣a，），F（a，），
∵EF∥x轴，
∴点 E、F到x轴的距离为2，
∵AB∥x轴，
∴DE＝CF＝，
∵矩形CDEF的面积为2，
∴CD CF＝2，
∴a ＝2，
∴，
∴a＝．
∴AB＝2a＝3．
故答案为：3．
9．抛物线交x轴负半轴于点A，点B是抛物线上一动点，且点B在第二象限，以AB为边，作等腰直角三角形ABP．其中∠ABP＝90°，当点P恰好在y轴上时，点P的坐标为 　（0，1）　．
【分析】如图，过点A作AC⊥x轴，过点B作CD⊥y轴于点D，交AC于点C，可证△ABC≌△BPD（AAS），AC＝BD，BC＝PD，设B（t，﹣t2﹣t+2），可得BD＝﹣t，BC＝t﹣（﹣3）＝t+3，AC＝﹣t2﹣t+2，D（0，﹣t2﹣t+2），建立方程求解即可得出答案．
解：如图，过点A作AC⊥x轴，过点B作CD⊥y轴于点D，交AC于点C，
则∠ACB＝∠BDP＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵∠ABP＝90°，
∴∠ABC+∠PBD＝90°，
∴∠BAC＝∠PBD，
∵△ABP是等腰直角三角形，
∴AB＝BP，
∴△ABC≌△BPD（AAS），
∴AC＝BD，BC＝PD，
∵y＝﹣x2﹣x+2，
当y＝0时，﹣x2﹣x+2＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），
设B（t，﹣t2﹣t+2），
则BD＝﹣t，BC＝t﹣（﹣3）＝t+3，AC＝﹣t2﹣t+2，D（0，﹣t2﹣t+2），
∴﹣t2﹣t+2＝﹣t，
解得：t＝﹣2或，
∵点B在第二象限，
∴t＝﹣2，
∴B（﹣2，2），D（0，2），BC＝DP＝1，
∴P（0，1）；
故答案为：（0，1）．
三．解答题（共3小题）
10．抛物线线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线l：y＝kx+m（k≠0）有且只有一个交点，我们就称此直线l与抛物线L的相切．直线l叫做抛物线L的切线，交点叫做抛物线L的切点．
（1）若点A为抛物线y＝x2﹣2x+4与y轴的交点，求以点A为切点的该抛物线的切线的解析式；
（2）已知一次函数y1＝2x，二次函数y2＝x2+1，是否存在二次函数y3＝ax2+bx+c，其图象经过点（﹣3，2），使得直线y1＝2x与y2＝x2+1，y3＝ax2+bx+c都相切于同一点？若存在，求出y3的解析式；若不存在，请说明理由；
（3）已知直线l1：y＝k1x+m1（k1≠0）、直线l2：y2＝k2x+m2（k2≠0）是抛物线y＝﹣x2+2x+3的两条切线，当l1与l2的交点P的纵坐标为5时，试判断k1 k2是否为定值，并说明理由．
【分析】（1）联立得x2﹣（k+2）x＝0，根据“抛物线的切点”的定义即可求解；
（2）联立得x2﹣2x+1＝0，可得切点为（1，2），根据直线y1＝2x与y2＝x2+1，y3＝ax2+bx+c都相切于同一点，可得经过点（﹣3，2），（1，2），利用待定系数法得，联立得ax2+（2a﹣2）x+2﹣3a＝0，由Δ＝（2a﹣2）2﹣4a（2﹣3a）＝4a2+4﹣8a﹣8a+12a2＝16a2﹣16a+4＝（4a﹣2）2＝0，可得，b＝1，，即可得y3的解折式为；
（3）由l1与l2的交点P的纵坐标为5，令P（t，5），则直线l1：y＝k1x﹣k1t+5、直线l2：y2＝k2x﹣k2t+5，根据“抛物线的切点”的定义得k12+（4t﹣4）k1﹣4＝0，，即k1，k2为x2+（4t﹣4）x﹣4＝0的两根，由根与系数的关系可得k1 k2＝﹣4．
解：（1）∵点A为抛物线y＝x2﹣2x+4与y轴的交点，A为切点，
∴A（0，4），
设过点A的切线的解析式为y＝kx+4，
联立，
整理得x2﹣（k+2）x＝0，
解得x1＝0，x2＝k+2，
由“抛物线的切点”的定义得，
∴k+2＝0，
∴k＝﹣2，
∴以点A为切点的该抛物线的切线的解析式为y＝﹣2x+4；
（2）∵直线y1＝2x与相切，
联立，
整理得x2﹣2x+1＝0，
解得x＝1，
∴切点为（1，2），
又∵直线y1＝2x与y2＝x2+1，y3＝ax2+bx+c都相切于同一点，
∴经过点（﹣3，2），（1，2），
∴，解得，
∴，
联立，
整理得ax2+（2a﹣2）x+2﹣3a＝0，
∴Δ＝（2a﹣2）2﹣4a（2﹣3a）＝4a2+4﹣8a﹣8a+12a2＝16a2﹣16a+4＝（4a﹣2）2＝0，
∴，b＝1，，
∴y3的解折式为；
（3）k1 k2是定值，k1 k2＝﹣4，理由如下：
∵l1与l2的交点P的纵坐标为5，
令P（t，5），
∴直线l1：y＝k1x+m1＝k1t+m1＝5、直线l2：y2＝k2x+m2＝k2t+m2＝5，
∴m1＝5﹣k1t、直线l2：m2＝5﹣k2t，
∴直线l1：y＝k1x﹣k1t+5、直线l2：y2＝k2x﹣k2t+5，
联立得x2+（k1﹣2）x﹣k1t+2＝0，
由抛物线L的切线得：，
同理可得，
∴k1，k2为x2+（4t﹣4）x﹣4＝0的两根，
∴k1 k2＝﹣4．
11．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为（6，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，点D是BC上方抛物线上的一个动点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）当△BCD的面积为时，求点D的坐标；
（3）是否存在点D，使得∠DCB＝2∠ABC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式即可；
（2）如图，连接OD，设D（x，﹣x2+x+3），令x＝0，则y＝3，即C（0，3），而B（6，0），再分别表示S△BOC，S△DOC，S△BOD，再利用△BCD的面积为列方程求解即可；
（3）过D作DQ∥y轴交BC于Q，过C作CF⊥DQ于F，点D作DE⊥BC，垂足为点E，则CF∥x轴，可得∠FCB＝∠ABC，证明CD＝CQ，DF＝FQ，设D（x，﹣x2+x+3），则Q（x，﹣x+3），F（x，3），再列方程求解即可．
解：（1）∵B点的坐标为（6，0），抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，
∴，
解得：，
所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）连接OD，过点D作DE⊥OB于点E，如图，
设D（x，﹣x2+x+3），
∵点D是BC上方抛物线上的一个动点，
∴0＜x＜6．
∴DE＝﹣x2+x+3，OE＝x，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3．
∵B（6，0），
∴OB＝6．
∵S△BCD＝S△DCO+S△DOB﹣S△OBC，△BCD的面积为，
∴×OC OE+×OB DE﹣×OB OC＝，
∴×3×x+×6×（﹣x2+x+3）﹣×6×3＝，
整理得：x2﹣6x+5＝0．
解得：x＝1或x＝5，
∴D（1，）或（5，）；
（3）存在点D，使得∠DCB＝2∠ABC，理由：
过D作DQ∥y轴交BC于Q，交OB于点G，过C作CF⊥DQ于F，点D作DE⊥BC，垂足为点E，如图，
当∠DCB＝2∠ABC时，
∵CF∥x轴，
∴∠FCB＝∠ABC，
∴∠DCB＝2∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
在△DCF和△QCF中，
，
∴△DCF≌△QCF（ASA）．
∴CD＝CQ，DF＝FQ，
设BC的解析式为：y＝mx+n，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式y＝﹣x+3
设D（x，﹣x2+x+3），
∵点D是BC上方抛物线上的一个动点，
∴0＜x＜6．
∴DG＝﹣x2+x+3，OG＝x，
则Q（x，﹣x+3），F（x，3），
∴FG＝3，QG＝﹣x+3．
∴DF＝DG﹣FG＝（﹣x2+x+3）﹣3＝﹣x2+x，
FQ＝FG﹣QG＝3﹣（﹣x+3）＝x，
∴﹣x2+x＝x，
解得：x1＝2，x2＝0（不符合题意，舍去），
∴x＝2．
∴D（2，4）．
12．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A'B'O．
（1）有一条抛物线经过点A'，B'，B，求该抛物线的解析式．
（2）设该抛物线的一个动点P的横坐标为t．
①当0＜t＜2时，求四边形ABPB'的面积S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
②点Q是直线AB上的一个动点，若以AB'为边，点A，B'，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的t的值．
【分析】（1）利用旋转的性质得出A′（﹣1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）①利用S四边形ABPB'＝S△B′OP+S△PBO﹣S△AOB，可得四边形ABPB'的面积S与t的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解；
②分四边形AB'PQ是平行四边形、四边形AB'QP是平行四边形两种情况，利用平行四边形的性质分别求解即可．
解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，
又A（0，1），B（2，0），O（0，0），
∴A′（﹣1，0），B′（0，2），
∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），
设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2）
将B′（0，2）代入得出：2＝a（0+1）（0﹣2），
解得：a＝﹣1，
故满足条件的抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2；
（2）①如图：连接OP，
∵该抛物线的一个动点P的横坐标为t．
∴P（t，﹣t2+t+2），（0＜t＜2）．
∵A（0，1），B（2，0），B′（0，2），
∴S四边形ABPB'＝S△B′OP+S△PBO﹣S△AOB
＝×2t+×2（﹣t2+t+2）﹣×2×1
＝﹣t2+2t+1，
∴四边形ABPB'的面积S与t的函数关系式为S＝﹣t2+2t+1（0＜t＜2），
∵S＝﹣t2+2t+1＝﹣（t﹣1）2+2，
∴当t＝1时，S的最大值为2；
②如图，当四边形AB'PQ是平行四边形时，
∵四边形AB'PQ是平行四边形，
∴AB′∥PQ，AB′＝PQ，
∵A（0，1），B′（0，2），
∴AB′＝1，
设AB的解析式为y＝kx+n，
∵A（0，1），B（2，0），
∴，解得，
∴AB的解析式为y＝﹣x+1，
∵P（t，﹣t2+t+2），
∴Q（t，﹣t+1），
则PQ＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+1）＝﹣t2+t+1＝﹣（t﹣）2+＝1，
解得t＝0（舍去）或t＝；
当四边形AB'QP是平行四边形时，
∴AB′∥PQ，AB′＝PQ，
则PQ＝﹣t+1﹣（﹣t2+t+2）＝t2﹣t﹣1＝（t﹣）2﹣＝1，
解得t＝或，
故所有符合条件的t的值为或或．

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