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第六讲 “将军饮马”求线段最值问题（压轴题专题讲义）
内容提要
【题型一——将军饮马问题】
【题型二——将军造桥问题】
【题型三——遛马饮水问题】
知识点拓展详解
【题型一——将军饮马问题】
常见的题型有：
问题1. 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能
使得路程最短？
作法：如图．作点A关于直线l的对称点A’，连结A'B，与直线，的交点就是点P
【题型二——将军造桥问题】
问题1.已知：将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？(将军过桥)
作法：考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．
问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．
问题2.已知：A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？(将军遛马）
作法：考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A’N，将AM+BN转化为A’N+NB．
构造点A关于MN的对称点A’’，连接A’’B，可依次确定N、M位置，可得路线．
【题型三——遛马饮水问题】
问题1.如图，将军在图中的点P处，已知将军需要先带马儿去OM的河边喝水，再去ON的草坪吃草，求最短路径。即：已知：在MON内有一点P，在边ON，OM上分别找点Q，R，使得PQ＋QR＋RP最小．
作法：如图，分别作点P关于射线OM的对称点P'，P"，连结P'P"，与射线ON，OM的交点就是点Q，R．
问题2.已知：在MON内有一点P，在边OM，ON上分别找点R，Q．使得PR＋QR最小
作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作P'Q ON，垂足为Q，P'Q与射线ON的交点就是R．
问题3.已知：在MON内有两点P，Q，在边OM，ON上分别找点R，S．使得PR＋RS＋SQ最小．
作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作点Q关于射线ON的对称点Q'，连结P'Q'．与射线OM，ON的交点就是R，S．
【解题思路】
关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．
【最新典型例题】
例题1.如图，C为线段BD上一动点，AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC，设BC＝x．
（1）若AB＝6，DE＝3，BD＝12，用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）在（1）的条件下，求AC+CE的最小值；
（3）求代数式+的最小值．
【思路点拨】（1）在Rt△ABC中，AC＝，在Rt△DEC中，CE＝，则可求AC+CE＝+；
（2）如图1，延长ED至E′，使DE′＝DE＝3，连接CE′，过点E′作E′F⊥AB，交AB的延长线于F，当A、C、E′三点在同一条直线上时，AE′最小，则AC+CE＝AE′＝15，即可求AC+CE的最小值；
（3）使AB＝3，ED＝1，DB＝4，延长ED至E′，使DE′＝DE＝1，过点E′作E′F⊥AB，交AB的延长线于F，连接AE′交BD于点C，AE′的长即为代数式+的最小值，在Rt△AE′F中，由勾股定理可得AE′＝4．
【规律总结】最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
提高同步练习
一．选择题（共8小题）
1．如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝4，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　）
A． B． C．6 D．3
2．如图，牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处到河岸的距离分别是AC＝300m，BD＝500m，且C，D两地之间的距离为600m．牧童从A处将马牵到河边去饮水，再牵回家，他至少要走的路程是（　　）
A．1400m B．（500+300）m
C．1000m D．（300+100）m
3．如图，在锐角△ABC中，∠C＝40°；点P是边AB上的一个定点，点M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　）
A．90° B．100° C．110° D．80°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，CE＝5，AD＝7，P是AD上一个动点，则BP+EP的最小值是（　　）
A．7 B．3.5 C．5 D．2.5
5．如图，∠AOB＝30°，点P在OB上且OP＝2，点M、N分别是OA、OB上的动点，则PM+MN的最小值是（　　）
A．2 B．4 C． D．
6．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则AE+OE的最小值是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为（　　）
A．6 B．4 C． D．2
8．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（　　）
A． B． C．a+b D．a
二．填空题（共4小题）
9．如图，平面直角坐标系中，⊙O的半径为，交x轴正半轴于点B，弦AB＝3，点P为y轴上一点，且PA+PB的值最小，则点P坐标为 　 　．
10．如图，牧童在A处放牛，牛棚在B处，A、B到河岸CD的距离相等，即AC＝BD，若点A到河岸CD的距离为60m，C、D两点间的距离为160m，则牧童从A处把牛牵到河边饮完水，再把牛送回牛棚的最短路程是 　 　．
11．如图，在△BCD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，射线CN平分∠BCD，AB∥CD，AB＝10，BD＝24，点F为BC的中点，点M为射线CN上一动点，则MF+MA的最小值为 　 　．
12．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝115°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一个点M，N使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝　 　．
三．解答题（共4小题）
13．（1）如图，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短．请在图中作出点P，保留作图痕迹，并求出PC+PD的最小值．
（2）借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式+的最小值＝　 　．
14．已知A（1，4），B（2，0），C（5，2）．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中描出点A，B，C，并画出△ABC；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（3）点P在x轴上，并且使得AP+PC的值最小，请标出点P位置并写出最小值．
15．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）△A1B1C1的面积是 　 　．
（3）若有一格点P到点A、B的距离相等（PA＝PB），则网格中满足条件的点P共有 　 　个；
（4）在直线l上找一点Q，使QB+QC的值最小．（要求：图中标注点Q，要有作图痕迹）
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，OE＝6，求图中阴影部分的周长；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．
参考答案与试题解析
例题1．如图，C为线段BD上一动点，AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC，设BC＝x．
（1）若AB＝6，DE＝3，BD＝12，用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）在（1）的条件下，求AC+CE的最小值；
（3）求代数式+的最小值．
解：（1）∵AB⊥BD，AB＝6，BD＝12，BC＝x，
∴CD＝12﹣x，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝，
∵ED⊥BD，DE＝2，
在Rt△DEC中，CE＝＝，
∴AC+CE＝+；
（2）如图1，延长ED至E′，使DE′＝DE＝3，连接CE′，过点E′作E′F⊥AB，交AB的延长线于F，
当A、C、E′三点在同一条直线上时，AE′最小，
∵BD⊥EE′，DE′＝DE，
∴CE＝CE′，
∴AC+CE＝AC+CE′＝AE′最小，
∵∠F＝∠DBF＝∠BDE′＝90°，
∴四边形BDE′F是矩形，
∴BF＝DE′＝3，E′F＝BD＝12，
∴AF＝AB+BF＝6+3＝9，
在Rt△AE′F中，AE′＝＝＝15，
∴AC+CE的最小值为15；
（3）如图2，由（2），使AB＝3，ED＝1，DB＝4，延长ED至E′，使DE′＝DE＝1，过点E′作E′F⊥AB，交AB的延长线于F，连接AE′交BD于点C，
∴AC+CE＝+，
∴AE′的长即为代数式+的最小值，
∵四边形BDE′F是矩形，
∴BF＝DE′＝1，E′F＝BD＝4，
∴AF＝AB+BF＝3+1＝4，
在Rt△AE′F中，由勾股定理得，AE′＝＝＝4，
∴代数式+的最小值为4．
提高同步练习
一．选择题（共8小题）
1．如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝4，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　）
A． B． C．6 D．3
【分析】作点P关于OB的对称点D，点P关于OA的对称点C，连接CD与OA，OB分别交于点M与N则CD的长即为△PMN周长的最小值；连接OC，OD，过点O作OH⊥CD，在Rt△OCH中求出HC即可求出CD．
解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，
则MP＝MC，NP＝ND，OP＝OD＝OC＝4，∠BOP＝∠BOD，∠AOP＝∠AOC，
∴PN+PM+MN＝ND+MN+MC＝DC，∠COD＝∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC＝2∠AOB＝120°，
∴此时△PMN周长最小，
作OH⊥CD于H，则CH＝DH，
∵∠OCH＝30°，
∴CH＝OC＝2，
∴CD＝2CH＝4．
∴△PMN周长的最小值是4，
故选：B．
2．如图，牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处到河岸的距离分别是AC＝300m，BD＝500m，且C，D两地之间的距离为600m．牧童从A处将马牵到河边去饮水，再牵回家，他至少要走的路程是（　　）
A．1400m B．（500+300）m
C．1000m D．（300+100）m
【分析】将此题转化为轴对称问题，作出A点关于河岸的对称点A′，根据两点之间线段最短得出BA′的长即为牧童要走的最短路程，利用勾股定理解答即可．
解：作A点关于直线CD的对称点A′，连接BA′交河岸与P，
则PB+PA＝PB+PA′＝BA′最短，故牧童应将马赶到河边的P地点．
作DB′＝CA′，且DB′⊥CD，
∵DB′＝CA′，DB′⊥CD，BB′∥A′A，
∴四边形A′B′DC是矩形，
∴B'A'＝CD＝500m，DB′＝A′C＝AC＝300m，
在Rt△BB′A′中，
连接A′B′，则BB′＝BD+DB′＝500+300＝800m，
BA′＝＝＝1000（m）．
故选：C．
3．如图，在锐角△ABC中，∠C＝40°；点P是边AB上的一个定点，点M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　）
A．90° B．100° C．110° D．80°
【分析】分别作P关于BC，AC的对称点E，D，连接DE，交AC于M，交BC于N，此时△MNP的周长最小，由条件求出∠DPE的度数，由轴对称的性质，等腰三角形的性质得到∠MPD+∠NPE＝∠D+∠E＝40°，从而求出∠MPN的度数．
解：分别作P关于BC，AC的对称点E，D，连接DE，交AC于M，交BC于N，此时△MNP的周长最小，
∵∠PHM＝∠PGN＝90°，∠C＝40°，
∴∠DPE＝360°﹣∠PHM﹣∠PGN﹣∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠D+∠E＝180°﹣∠DPE＝180°﹣140°＝40°，
∵PM＝DM，NP＝NE，
∴∠MPD＝∠D，∠NPE＝∠E，
∴∠MPD+∠NPE＝∠D+∠E＝40°，
∴∠MPN＝∠DPE﹣（∠MPD+∠NPE）＝140°﹣40°＝100°．
故选：B．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，CE＝5，AD＝7，P是AD上一个动点，则BP+EP的最小值是（　　）
A．7 B．3.5 C．5 D．2.5
【分析】利用将军饮马模型找出使BP+EP取得最小值时的点P的位置即可求得结论．
解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AD为BC的垂直平分线，
∴B，C关于AD对称，
∴连接EC与AD的交点即为使BP+EP取得最小值时的点P，
∴BP+EP的最小值＝EC＝5，
故选：C．
5．如图，∠AOB＝30°，点P在OB上且OP＝2，点M、N分别是OA、OB上的动点，则PM+MN的最小值是（　　）
A．2 B．4 C． D．
【分析】如图，在∠AOB的外部作射线OC，使∠AOC＝∠AOB＝30°，过点P作PN′⊥OC于点N′，交OA于M，此时，PM+MN′＝PN′为PM+MN的最小值，利用勾股定理即可求得答案．
解：如图，在∠AOB的外部作射线OC，使∠AOC＝∠AOB＝30°，过点P作PN′⊥OC于点N′，交OA于M，
此时，PM+MN′＝PN′为PM+MN的最小值，
∵∠BOC＝60°，OP＝2，∠PN′O＝90°，
∴∠OPN′＝90°﹣60°＝30°，
∴ON′＝OP＝×2＝1，
在Rt△PON′中，PN′＝＝＝，
∴PM+MN的最小值为，
故选：D．
6．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则AE+OE的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点A'，再连接A'O，运用两点之间线段最短得到A'O为所求最小值，再运用勾股定理求线段A'O的长度即可．
解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，
∵A与A'关于BC对称，
∴AE＝A'E，AE+OE＝A'E+OE，当且仅当A'，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE＝A'E+OE＝A'O，
∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，
∴，
∵A与A'关于BC对称，
∴AB＝BA'＝4，
∴FA'＝FB+BA'＝2+4＝6，
在Rt△OFA'中，，
故选：D．
7．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为（　　）
A．6 B．4 C． D．2
【分析】利用抛物线的解析式求得点C，D，E的坐标，利用轴对称的性质和将军饮马模型作出点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，连接D′E′，交x轴于点G，交y轴于点F，此时四边形EDFG周长取得最小值，利用点的坐标的性质和勾股定理即可求得结论．
解：令x＝0，则y＝1，
∴C（0，1）．
∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
∴D（1，2），抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，
∴E（2，1）．
∴DE＝＝．
作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，连接D′E′，交x轴于点G，交y轴于点F，如图，
则D′（﹣1，2），E′（2，﹣1），FD＝FD′，GE＝GE′，
此时DF+FG+EG＝FD′+FG+GE′＝D′E′，
∴此时四边形EDFG周长最小，
延长DD′，EE′，它们交于点H，如图，
则D′H＝3，HE′＝3，
∴D′E′＝＝3，
∴四边形EDFG周长的最小值为DE+DF+FG+EG＝DE+D′E′＝＝4．
故选：B．
8．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（　　）
A． B． C．a+b D．a
【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小．
解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AF＝CF＝a，BF＝b，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b，
故选：B．
二．填空题（共4小题）
9．如图，平面直角坐标系中，⊙O的半径为，交x轴正半轴于点B，弦AB＝3，点P为y轴上一点，且PA+PB的值最小，则点P坐标为 　（0，）　．
【分析】连接AC交y轴于P，则PA+PB的值最小，由△COP∽△CAB得到OP：AB＝OC：CA，即可解决问题．
解：B点的对称的是C点，连接AC交y轴于P，则PA+PB的值最小，
∵AC2＝BC2﹣AB2，
∴AC2＝52﹣32，
∴AC＝4，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°，
∵∠PCB＝∠ACB，∠COP＝∠CAB，
∴△COP∽△CAB，
∴OP：AB＝OC：CA，
∴OP：3＝：4，
∴OP＝，
∴点P的坐标是（0，）．
故答案为：（0，）．
10．如图，牧童在A处放牛，牛棚在B处，A、B到河岸CD的距离相等，即AC＝BD，若点A到河岸CD的距离为60m，C、D两点间的距离为160m，则牧童从A处把牛牵到河边饮完水，再把牛送回牛棚的最短路程是 　200m　．
【分析】根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接A′B得到最短距离为A′B，再根据勾股定理求出A′M的长即可．
解：作出A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD相交于M，
则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A′B的长，
∵AC＝BD，
∴A′C＝BD，
∴CM＝DM，M为CD的中点，
∴CM＝CD＝×160＝80（m）．
在△A′CM与△BDM中，
，
∴△A′CM≌△BDM（ASA），
∴A′M＝BM，
∵AC＝60m，CM＝80m，
∴A′M＝＝＝100（m），
∴A′B＝2A′M＝200m．
故答案为：200m．
11．如图，在△BCD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，射线CN平分∠BCD，AB∥CD，AB＝10，BD＝24，点F为BC的中点，点M为射线CN上一动点，则MF+MA的最小值为 　26　．
【分析】连接AD，交NC于点G，连接FD，交NC于点P，连接GF，根据题意可得△DFC为等边三角形，由等边三角形的三线合一可得GF＝GD，以此得出MF+MA的最小值为GF+AG＝GD+AG＝AD，由AB∥CD可得△ABD为直角三角形，最后根据勾股定理求解即可．
解：如图，连接AD，交NC于点G，连接FD，交NC于点P，连接GF，
∵∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，
∴∠BCD＝60°，CD＝CD，
∵点F为BC的中点，
∴FD＝BF＝CF＝BC＝CD，
∴△DFC为等边三角形，
∵射线CN平分∠BCD，
∴CP垂直平分DP，
∴GF＝GD，点D为点F关于CN的对称点，
∴当M在点G时，此时MF+MA为GF+AG＝GD+AG＝AD取得最小值，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝90°，
∵AB＝10，BD＝24，
∴．
故答案为：26．
12．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝115°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一个点M，N使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝　130°　．
【分析】要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″′＝65°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″），即可得出答案．
解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．
∵∠DAB＝115°，
∴∠AA′M+∠A″＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝65°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×65°＝130°
故答案为：130°．
三．解答题（共4小题）
13．（1）如图，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短．请在图中作出点P，保留作图痕迹，并求出PC+PD的最小值．
（2）借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式+的最小值＝　17　．
【分析】（1）作点C关于AB的对称点F，连接DF交AB于点P，连接PC，点P即为所求；根据勾股定理可得DF的长，从而解答即可；
（2）先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，使AB＝15，AD＝5，BC＝BF＝3，DF就是代数式+的最小值，
解：（1）作点C关于AB的对称点F，连接DF交AB于点P，连接PC，点P即为所求；
作DE⊥BC交BC的延长线于E．
在Rt△DEF中，∵DE＝AB＝200米，EF＝AD+BC＝80+70＝150米，
∴DF＝＝＝250（米），
∴PD+PC的最小值为250米；
（2）：先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，作DE⊥BC交BC的延长线于E．
使AB＝15，AD＝5，BC＝BF＝3，DF就是代数式+的最小值，
∵DF＝＝＝17，
∴代数式+的最小值为17．
故答案为：17．
14．已知A（1，4），B（2，0），C（5，2）．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中描出点A，B，C，并画出△ABC；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（3）点P在x轴上，并且使得AP+PC的值最小，请标出点P位置并写出最小值．
【分析】（1）根据点的坐标确定点的位置，作图即可．
（2）根据轴对称的性质作图即可．
（3）作点A关于x轴的对称点A''，连接A''C，交x轴于点P，连接AP，此时AP+PC的值最小，利用勾股定理求出A''C的值即可得出答案．
解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）如图，△A'B'C'即为所求．
（3）如图，点P即为所求．
由勾股定理得A''C＝＝．
∴AP+PC的最小值为．
15．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）△A1B1C1的面积是 　5　．
（3）若有一格点P到点A、B的距离相等（PA＝PB），则网格中满足条件的点P共有 　4　个；
（4）在直线l上找一点Q，使QB+QC的值最小．（要求：图中标注点Q，要有作图痕迹）
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（3）由题意知，点P在线段AB的垂直平分线上，作出线段AB的垂直平分线，可得答案．
（4）连接B1C，交直线l于点Q，连接BQ，此时QB+QC的值最小．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）△A1B1C1的面积为4×3﹣﹣﹣＝5．
故答案为：5．
（3）∵格点P到点A、B的距离相等，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
如图所示，P1，P2，P3，P4满足题意，共4个，
故答案为：4．
（4）如图，点Q即为所求．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，OE＝6，求图中阴影部分的周长；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．
【分析】（1）过O作OM⊥AC于M，由AB＝AC，AO⊥BC，得AO平分∠BAC，即有OE＝OM，从而可得OM为⊙O半径，故AC是⊙O的切线；
（2）由OM＝OE＝OF＝6，且F是OA中点，得OA＝12，AE＝＝6，根据OE⊥AB，OA＝12，OE＝6，可得∠AOE＝60°，即可列式求出答案；
（3）作F关于BC的对称点G，连接EG交BC于P，连接EF，此时PE+PF最小，最小值为EG的长度，根据F、G关于BC对称，可证F、O、G共线，由（2）知∠EOF＝60°，OG＝OF＝OE，即得∠G＝30°，∠EOB＝30°，故∠EPB＝∠B＝60°，△EBP是等边三角形，BP＝BE，而Rt△BOE中，BE＝＝2，从而可得BP＝2．
（1）证明：过O作OM⊥AC于M，如图：
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴AO平分∠BAC，
∵OE⊥AB，OM⊥AC，
∴OE＝OM，
∵OE为⊙O半径，
∴OM为⊙O半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵OM＝OE＝OF＝6，且F是OA中点，
∴OA＝12，AF＝OF＝6，
在Rt△AEO中，AE＝＝6，
∵OE⊥AB，OA＝12，OE＝6，
∴∠EAO＝30°，∠AOE＝60°，
∴＝＝2π，
∴l阴影部分＝AE+AF+＝6+6+2π；
（3）解：作F关于BC的对称点G，连接EG交BC于P，连接EF，如图：
此时PE+PF最小，最小值为EG的长度，
∵F、G关于BC对称，
∴∠FOP＝∠GOP＝90°，
∴∠FOP+∠GOP＝180°，即F、O、G共线，
由（2）知∠EOF＝60°，OG＝OF＝OE，
∴∠G＝30°，∠EOB＝30°，
∴∠GPO＝∠B＝60°，
∴∠EPB＝∠B＝60°，
∴△EBP是等边三角形，
∴BP＝BE，
而Rt△BOE中，BE＝OEtan∠BOE＝2，
∴BP＝2，
∴当PE+PF取最小值时，BP的长为2．

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