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第二讲 反比例函数中k的几何意义（专题讲义）
内容提要
1．反比例函数图象中有关图形的面积
2．涉及三角形的面积型
知识点拓展详解
1．反比例函数图象中有关图形的面积
2．涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
最新典型例题
例题1.如图，反比例函数图象经过A点，AC⊥x轴，CO＝BO，若S△ACB＝6，则k的值为（　　）
A．﹣6 B．6 C．3 D．﹣3
【思路点拨】连接OA，由题意可知△AOC的面积等于△AOB的面积，都等于3，然后由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于|k|，从而求出k的值．
【归纳总结】反比例函数的比例系数k的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S＝|k|．
【强化练习】1．在平面直角坐标系内，如图，矩形ABCD的点A，B在x轴正半轴上，E是BC的中点，F是AD边上一点，反比例函数经过点E．若AB＝3，BC＝8，AF＝AE+2，则k的值为（　　）
A．4 B．7 C．12 D．28
例题2.如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y＝x﹣2于点Q，连接OP，OQ，当点P在曲线C上运动，且点P在Q上方时，△POQ面积的最大值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【思路点拨】直接利用反比例函数以及一次函数图象上点的坐标特点设P（a，），则Q（a，a﹣2），再利用三角形面积，结合二次函数最值求法得出答案．
【归纳总结】反比例函数y=k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y=k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
【强化练习】
2.在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD的顶点B在x轴正半轴上，顶点D在y轴正半轴上如图，若反比例函数y＝（x＞0）的图象与CD交于点M，与BC交于点N，CM＝2DM，连接OM，ON，MN，则＝（　　）
A．1 B． C． D．
【思路点拨】过点M作ME⊥x轴于点E，由于点M、N是反比例函数y＝图象上的点，故可得出S△OME＝S△OBN，所以S△OMN＝S梯形EBNM，设点M（t，），则C（3t，），E（t，0），B（3t，0），N（（3t，），再根据三角形的面积公式即可得出结论．
提高同步练习
（满分100分，时间：90分钟）
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）如图，矩形OAPB上，点A、B分别在x、y轴上，点P在反比例函数位于第二象限的图象上，矩形OAPB面积为4，则k的值是（　　）
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
2．（5分）如图，已知矩形ABCD的对角线BD中点E与点B都经过反比例函数的图象，且S矩形ABCD＝8，则k的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（5分）如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线与△AOB的斜边AO相交于点C，与另一直角边AB相交于点D．若，则△OBD与△ABO的面积比为（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）如图，点A是反比例函数的图象上一点，点B在x轴的正半轴上，AB与y轴的正半轴交于点C，且AC＝BC，若S△BOC＝2，则k的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
5．（5分）如图，反比例函数图象经过正方形OABC的顶点A，BC边与y轴交于点D，若正方形OABC的面积为12，BD＝2CD，则k的值为（　　）
A．3 B． C． D．
6．（5分）如图，点N在反比例函数y＝﹣上，点在M反比例函数y＝上，连接MN交y轴正半轴于点A，连接OM，ON，若，则△OMN的面积是（　　）
A．6 B．5 C． D．3
7．（5分）函数y＝和y＝在第一象限内的图象如图，点P是y＝的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B．给出如下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；
②PA与PB始终相等；
③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；
④CA＝AP．
其中所有正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8.如图，点A是第一象限内双曲线y（m＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y（n＜0）于点B，作AC∥y轴，交双曲线y（n＜0）于点C，连接BC．若△ABC的面积为，则m，n的值不可能是（　　）
A．m，n B．m，n
C．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）如图，△AOB的顶点B在x轴负半轴上，点C是AB边的中点，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过A、C两点，若△AOB的面积等于9，则k的值为 　　．
10．（5分）如图，A、B为反比例函数图象上两点，过A作AE⊥x轴于点E，过B作BC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AE、BD交于点F，连接AB，若S△ABF＝2，BC：AE＝1：3，则k＝　　．
11．（5分）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，过点A1，A2，A3，A4，A5分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点P1，P2，P3，P4，P5，得直角三角形OP1A1，A1P2A2，A2P3A3，A3P4A4，A4P5A5，并设其面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，则S2022＝　　．
12．（5分）如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上有点P1，P2，P3，P4，P5，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作x轴、y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4已知P1的纵坐标为10．
（1）k的值为 　　；
（2）阴影部分的面积S1的值为 　　；
（3）阴影部分的面积S1，S2，S3，S4的和为 　　．
三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）
13．（12分）如图，点A，B是平面直角坐标系中的两点，连接OA，OB，OA＝5，OB＝10，且OA⊥OB，若点A的横坐标是﹣4，反比例函数y＝的图象经过点B，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求k1，k2的值；
（2）若点C在线段AB上，且S△OBC＝S△OAB，求点C的坐标．
14．（12分）已知：a，b，c三个数满足关系式2a＝3b＝4c．
（1）填空：a：b：c＝　　：4：　　．
（2）若k＝，试求出k的值．
（3）在（2）的基础上，若点P是反比例函数y＝的图象上的任意一点，过点P向y轴引垂线，垂足为Q，请直接写出△OPQ的面积．
15．（12分）如图，点A在反比例函数的图象上，且点A的横坐标为6，作AB垂直于x轴，垂足为B，连接OA，S△AOB＝9．
（1）求AB的长．
（2）求k的值．
16．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数y1＝（x＞0）的图象上，边AB与函数y2＝（x＞0）的图象交于点D．求四边形ODBC的面积．
17．（12分）如图，直线y＝kx+b与反比例函数y＝的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．
（1）试确定反比例函数的关系式；
（2）直接写出不等式kx+b≥的解集．
（3）点D是y轴上一点，点E是坐标平面内一点，以点A．B，D，E为顶点的四边形是菱形，请直接写出点E的坐标．
参考答案与解析
最新典型例题1.
解：连接OA，
∴CO＝BO，
∴△AOC的面积＝△AOB的面积＝×6＝3，
又∵A是反比例函数y＝（k≠0）图象上的点，且AC⊥x轴于点C，
∴△AOC的面积＝|k|，
∴|k|＝3，
∵k＜0，
∴k＝﹣6．
故选：A．
【强化练习】1．
【思路点拨】利用反比例函数图象上的坐标特点，得出OA AF＝OB BE，进而得出OA的值，即可得出答案．
解：∵BC＝8，E为BC的中点，
∴BE＝4，
∵AB＝3，
∴AE＝＝5，
∵AF＝AE+2＝5+2＝7，
设OA＝a，
则OB＝a+3，
∵E，F都在反比例函数图象上，
∴OA AF＝OB BE，
即k＝7a＝4（a+3），
解得：a＝4，
则k＝7×4＝28．
故选：D．
最新典型例题2.
解：如图所示：∵点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y＝x﹣2于点Q
∴设P（a，），则Q（a，a﹣2），
∴PQ＝﹣（a﹣2）
＝﹣a+2，
OD＝a，
∴△POQ的面积为：OD PQ＝×a×（﹣a+2）
＝﹣a2+a+2
＝﹣（a﹣2）2+3，
故当a＝2时，POQ面积的最大值为3．
故选：B．
【强化练习】
2.解：如图，过点M作ME⊥x轴于点E，
∵点M、N是反比例函数y＝图象上的点，
∴S△OME＝S△OBN，
∴S△OMN＝S梯形EBNM，
设点M（t，），则C（3t，），E（t，0），B（3t，0），N（（3t，），
∴S△CMN＝CM CN＝×2t （ ﹣）＝k；
S△OMN＝S梯形EBNM＝（ME+BN） BE＝（ +） 2t＝k，
则＝k：k＝．
故选：B．
提高同步练习
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1. 【分析】先判断出k的符号，再根据反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
解：∵反比例函数y＝的图象的一支在第二象限，
∴k＜0．
∵矩形OAPB面积为4，
∴|xy|＝4，
∴k＝xy＝﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S＝PM PN＝|y| |x|＝|xy|＝|k|是解题的关键．
2. 【分析】过点E作EM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AB于点N，设B（a，b），则AB＝a，根据S矩形ABCD＝8可得AD＝，由点E为矩形ABCD对角线BD的中点可得ME＝＝，EN＝，以此得出E，最后根据反比例函数系数k的几何意义结合图象经过第一象限即可求解．
解：过点E作EM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AB于点N，
设B（a，b），
∴AB＝a，
∵S矩形ABCD＝8，
∴AD＝，
∵点E为矩形ABCD对角线BD的中点，EM⊥AD，EN⊥AB，
∴ME∥AB，EN∥AD，
∴ME＝＝，EN＝，
∴E，
∵点E与点B都经过反比例函数的图象，
∴，
∴ab＝4，
由图可知，反比例函数的图象经过第一象限，
∴k＝ab＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查矩形的性质、反比例函数中k的几何意义，熟练掌握在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|是解题关键．
3.【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出＝，再利用反比例函数系数k的几何意义，进而得出答案．
解：过点C作CE⊥BO于点E，
由题意可得：CO∥AB，
则△OCE∽△OAB，
∵，
∴＝，
∴＝，
∵D，C都在反比例函数图象上，
∴S△OCE＝S△ODB，
∴△OBD与△ABO的面积比为：．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定及性质、三角形的面积公式以及矩形的面积公式，解题的关键是找出关于k的一元一次方程．
4. 【分析】过点A作AD⊥y轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，由∠ADC＝∠BOC，AC＝BC，即可证明△ACD≌△BCO（AAS），即S△ACD＝S△BCO，由AE∥OC可得，△BCO∽△BAE，根据相似三角形的性质可得，且S△BOC＝2，以此可得S△ABE＝8，即S矩形AEOD＝8，根据反比例函数k的几何意义即可求出k值．
解：过点A作AD⊥y轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，
∴∠ADC＝∠BOC＝90°，
在△ACD和△BCO中，
，
∴△ACD≌△BCO（AAS），
∴S△ACD＝S△BCO，
∵AE⊥x轴，
∴AE∥OC，
∴△BCO∽△BAE，
∴，
∵S△BOC＝2，
∴S△ABE＝8，
∵S△ABE＝S四边形AEOC+SBCO，
∴S△ABE＝S四边形AECO+S△ACD＝S矩形AEOD＝8，
根据反比例函数k的几何意义可得，|k|＝8，
根据图象可知，k＝﹣8．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数的k的几何意义，三角形相似的判定及性质，解题的关键是求得△ABE的面积．
5. 【分析】过B作BH⊥x轴于H，过A作AM⊥x轴于M，CN⊥BH于N，交y值于E，通过证得△AOM≌△COE，△COE≌△BCN，得出CN＝OE＝OM，BN＝CE＝AM，由BD＝2CD，根据平行线分线段成比例定理求得CE：CN＝CE：OE＝AM：OM＝1：3，利用勾股定理以及正方形的面积即可求得A的坐标，进而求得k的值．
解：过B作BH⊥x轴于H，过A作AM⊥x轴于M，CN⊥BH于N，交y值于E，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠COE+∠AOE＝∠AOE+∠AOM＝90°，
∴∠COE＝∠AOM，
在△COE与△AOM中，
，
∴△AOM≌△COE（AAS），
∴OM＝OE，AM＝CE，
同理，△COE≌△BCN，
∴CN＝OE，BN＝CE，
∵BH∥y轴，
∴＝，
∴BD＝2CD，
∴＝，
∴＝＝，
∵OA2＝OM2+AM2，正方形OABC的面积为12，
∴12＝9AM2+AM2，
∴AM＝，
∴OM＝，
∴A（，），
∵反比例函数y＝（x＞0）图象经过正方形OABC的顶点A，
∴k＝×＝，
解法二：tan∠COD＝tan∠AOM＝，
设AM＝a，OM＝3a，
∴AO＝a，
由题意10a2＝12，
∴a2＝，
∴k＝3a2＝．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
6. 【分析】过点M作ME⊥y轴于E，过点N作NF⊥y轴于F，可得：S△OME＝×|10|＝5，S△ONF＝×|﹣2|＝1，再证得△AME∽△ANF，得出＝，设S△ANF＝S（S＞0），则S△AME＝4S，由＝，可得＝，求得S＝，即可求得答案．
解：如图，过点M作ME⊥y轴于E，过点N作NF⊥y轴于F，
则S△OME＝×|10|＝5，S△ONF＝×|﹣2|＝1，
∵∠AEM＝∠AFN＝90°，∠MAE＝∠NAF，
∴△AME∽△ANF，
∴＝（）2＝（）2＝，
设S△ANF＝S（S＞0），则S△AME＝4S，
∴S△AON＝S+1，S△AOM＝5﹣4S，
∵＝，
∴＝，
解得：S＝，
∴S△AON＝S+1＝+1＝，S△AOM＝5﹣4S＝5﹣4×＝3，
∴S△OMN＝S△AON+S△AOM＝+3＝；
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义、相似三角形的判定与性质、三角形面积等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
7. 【分析】由于A、B是反比函数y＝上的点，可得出S△OBD＝S△OAC＝，故①正确；当P的横纵坐标相等时PA＝PB，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积为定值，故③正确；连接PO，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．
解：∵A、B是反比函数y＝上的点，
∴S△OBD＝S△OAC＝，故①正确；
当P的横纵坐标相等时PA＝PB，故②错误；
∵P是y＝的图象上一动点，
∴S矩形PDOC＝4，
∴S四边形PAOB＝S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC＝4﹣﹣＝3，故③正确；
连接OP，
∴＝＝＝4，
∴AC＝PC，PA＝PC，
∴＝3，
∴AC＝AP；故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．
8. 【答案】A
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9. 【分析】A（a，），B（b，0），根据三角形AOB的面积和C为AB中点且C在函数y＝（x＜0）的图象上，求出k的值．
解：设A（a，），B（b，0），
∴S△ABC＝×（﹣b）×＝9①，
又C为AB中点，
∴C（，），
∵C在函数y＝（x＜0）的图象上，
∴×＝k，
∴a+b＝4a，
∴b＝3a，
把b＝3a代入①式得：×（﹣3a）＝18，
∴k＝﹣6，
故答案为：﹣6，
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标，关键是对反比例函数性质的应用．
10.【分析】过点A作AG⊥y轴于点G，设B（a，b），根据题意可得BC＝EF＝b，BD＝a，由BC：AE＝1：3可得AE＝3b，AF＝2b，再由S△ABF＝2可得，则DF＝OE＝，根据反比例函数系数k的几何意义得S矩形BCOD＝S矩形AEOG，即ab＝，得到ab＝3，由图可知反比例函数图象经过第二象限，以此即可确定k的值．
解：过点A作AG⊥y轴于点G，
∵AE⊥x轴，BC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴四边形BCOD和四边形AEOG为矩形，
设B（a，b），
则BC＝EF＝b，CO＝BD＝a，
∵BC：AE＝1：3，
∴AE＝3b，AF＝2b，
∵S△ABF＝2，
∴，
∴，
∴DF＝OE＝，
∵点A，B在反比例函数图象上，
∴S矩形BCOD＝S矩形AEOG，
∴ab＝，
即ab＝3，
∵反比例函数图象经过第二象限，
∴k＝﹣3．
【点评】本题主要考查反比例函数中k的几何意义、矩形的性质，熟练掌握在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|是解题关键．
11. 【分析】设OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝m，利用反比例的解析式和反比例函数图象上点的坐标的特征求得点P1，P2，P3，P4，P5的坐标（用含m的代数式表示），进而得到每个小直角三角形的高，依据每个小直角三角形的底均为m，利用三角形的面积公式即可求得S1，S2，S3，S4，S5的值，依此规律即可得出结论．
解：设OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝m，
则P1（m，），P2（2m，），P3（3m，），P4（4m，），P5（5m，），
∴P1A1＝，P2A2＝，P3A3＝，P4A4＝，P5A5＝，
∴S1＝＝1，
＝，
，
，
，
由此可得，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度得到相应点的坐标和利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
12. 【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）求得点P2的坐标，用两个矩形的面积之差表示即可得出结论；
（3）求得点P5的坐标，利用平移的方法和整体的思想方法解答即可．
解：（1）点P1，的横坐标为2，P1的纵坐标为10，点P1在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴10＝，
∴k＝20，
故答案为：20；
（2）如图，
∵点P1在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点P2，的横坐标为4，
∴y＝＝5，
∴P2的纵坐标为5，
∴P2H＝5．
∵四边形P2CGH为矩形，
∴CG＝P2H＝5，
∵点P1，的横坐标为2，P1的纵坐标为10，
∴P1G＝10，OG＝2，
∴P1C＝10﹣5＝5，
∵四边形P1AOG和四边形BOGC为矩形，
∴BC＝OG＝2，
∴S1＝P1C BC＝5×2＝10，
故答案为：10；
（3）∵点P1，P2，P3，P4，P5，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作x轴、y轴的垂线，
∴S2＝S矩形BDMC，S3＝S矩形DENM，S4＝S矩形EFKN，
∴阴影部分的面积S1，S2，S3，S4的和为．
∵点P5在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点P25的横坐标为10，
∴y＝＝2，
∴P5的纵坐标为2，
∴P5P＝2，
∵四边形FOPP5为矩形，
∴KG＝P5P＝2，
∴P1K＝P1G﹣KG＝10﹣2＝8，
∴＝P1K FK＝8×2＝16．
∴阴影部分的面积S1，S2，S3，S4的和为16，
故答案为：16．
【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）
【分析】（1）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于N，根据勾股定理求出AM即可得出k2的值，证△AMO∽△ONB，根据线段比例关系求出ON和BN确定k1的值即可；
（2）根据题意得出C点是AB的中点，进而求出C点坐标即可．
解：（1）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于N，
∴∠AMO＝∠ONB＝90°，
在Rt△AMO中，OM＝4，AO＝5，
∴AM＝＝3，
∴点A的坐标为（﹣4，3），
∴k2＝﹣12，
∵∠AMO＝90°，
∴∠MAO+∠MOA＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠MOA+∠NOB＝90°，
∴∠MAO＝∠NOB，
∴△AMO∽△ONB，
∴＝＝，
即＝＝，
∴ON＝6，BN＝8，
∴点B的坐标为（6，8），
∴k1＝48，
即k1，k2的值分别为48，﹣12；
（2）∵S△OBC＝S△OAB，
∴点C是AB的中点，
∵A（﹣4，3），B（6，8），
∴C（1，5.5）．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
14. 【分析】（1）设2a＝3b＝4c＝d，用d表示出a，b，c的值，代入a：b：c进行计算即可；
（2）根据（1）中a：b：c的值可设a＝6e，则b＝4e，c＝3e，代入k的代数式求出k的值即可；
（3）根据（2）中k的值得出反比例函数的解析式，根据反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
解：（1）设2a＝3b＝4c＝d，则a＝，b＝，c＝，
故a：b：c＝：：＝：：＝6：4：3．
故答案为：6，3；
（2）∵由（1）知，a：b：c＝6：4：3，
∴设a＝6e，则b＝4e，c＝3e，
∴k＝＝6；
（3）∵k＝6，
∴反比例函数y＝的解析式为：y＝．
∵点P在反比例函数的图象，点PQ⊥y轴引垂线，垂足为Q，
∴S△OPQ＝k＝×6＝3．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，先根据题意求出k的值是解题的关键．
15. 【分析】（1）根据三角形面积公式即可求得答案；
（2）根据S△AOB＝|k|＝9，即可求得答案．
解：（1）∵点A的横坐标为6，AB⊥x轴，
∴OB＝6，
∵S△AOB＝9，
∴×6AB＝9，
∴AB＝3；
（2）∵S△AOB＝|k|＝9，
∴|k|＝18，
∵．反比例函数的图象在第四象限，
∴k＝﹣18．
【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
16. 【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为4，从而可以求出阴影部分ODBC的面积．
解：∵D是反比例函数y2＝（x＞0）图象上一点，
∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为×2＝1．
∵点B在函数y1＝（x＞0）（x＞0）的图象上，四边形OABC为矩形，
∴根据反比例函数k的几何意义可知：矩形ABCO的面积为4．
∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积﹣△AOD的面积＝3．
即四边形ODBC的面积为3．
【点评】本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义，本题属于中等题型．
17. 【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）求得点B坐标，观察图象，一次函数图象在反比例函数图象上的部分即为符合题意部分，对照图象直接写出即可；
（3）利用分类讨论的方法分当以AB为一边时和当以AB为一条对角线时两种情况，分别画出图形，依据菱形的性质和对称性直接写出即可．
解：（1）将点A的坐标（﹣2，4）代入反比例函数y＝中得：
k1＝﹣2×4＝﹣8，
∴反比例函数的关系式为y＝；
（2）∵点B的横坐标为﹣4，
∴y＝＝2，
∴B（﹣4，2）．
由图象可知，不等式kx+b≥的解集为﹣4≤x≤﹣2或x＞0；
（3）①当以AB为一边时，如图，
则E（﹣2，0）；
②当以AB为一条对角线时，如图，
此时点D与原点重合，E（﹣6，6），
综上，以点A．B，D，E为顶点的四边形是菱形，点E的坐标为（﹣2，0）或（﹣6，6）．
【点评】本题主要考查了待定系数法，数形结合法，双曲线上点的坐标的特征，菱形的性质，利用数形结合法解答是解题的关键．

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