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第九讲 函数与面积定值最值问题 （压轴题专题讲义）
内容提要
知识点拓展详解
解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：
如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．
如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．
图1 图2 图3
计算面积长用到的策略还有：
如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．
如图5，同底三角形的面积比等于高的比．
如图6，同高三角形的面积比等于底的比．
图4 图5 图6
【最新典型例题】
例题1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线yx﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MNON的最小值．
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）分两种情况讨论，利用平行线之间的距离相等，可求OP解析式，EP''的解析式，联立方程组可求解；
（3）过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M（m，m2m﹣2），则点F（m，m﹣2），可求MF的长，由三角形面积公式可求△MAB的面积＝﹣（m﹣2）2+4，利用二次函数的性质可求点M坐标，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，由直角三角形的性质可得KNON，可得MNON＝MN+KN，则当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MNON有最小值，即最小值为MP，由直角三角形的性质可求解．
【解析】（1）∵直线yx﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（4，0），点B（0，﹣2），
设抛物线解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），
∴﹣2＝﹣4a，
∴a，
∴抛物线解析式为：y（x+1）（x﹣4）x2x﹣2；
（2）如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P，
∵OP∥AB，
∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形，
∴S△PAB＝S△ABO，
∵OP∥AB，
∴直线PO的解析式为yx，
联立方程组可得，
解得：或，
∴点P（2+2，1）或（2﹣2，1）；
当点P''在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP''∥AB，交抛物线于点P''，连接AP''，BP''，
∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE，
∴S△AP''B＝S△ABO，
∵EP''∥AB，且过点E（0，﹣4），
∴直线EP''解析式为yx﹣4，
联立方程组可得，
解得，
∴点P''（2，﹣3），
综上所述：点P坐标为（2+2，1）或（2﹣2，1）或（2，﹣3）；
（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，
设点M（m，m2m﹣2），则点F（m，m﹣2），
∴MFm﹣2﹣（m2m﹣2）（m﹣2）2+2，
∴△MAB的面积4×[（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，
∴点M（2，﹣3），
如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，
∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，∴KNON，∴MNON＝MN+KN，
∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MNON有最小值，即最小值为MP，
∵∠KOB＝30°，∴直线OK解析式为yx，当x＝2时，点Q（2，2），
∴QM＝23，∵OB∥QM，∴∠PQM＝∠PON＝30°，∴PMQM，
∴MNON的最小值为．
强化同步练习
一．选择题（共4小题）
1．如图，矩形OABC的长OA＝，宽OC＝1，将△AOC沿AC翻折得△APC，可得下列结论：①∠PCB＝30°；②点P的坐标是（）；③若P、C两点在抛物线上，则b的值是，c的值是1；④在③中的抛物线CP段（不包括C、P两点）上，存在一点Q，使四边形QCAP的面积最大，最大值为．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
2．如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△ADE沿DE翻折，点A落在点F处，tan∠CDE＝．设AB＝x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，小明设计了一个电子游戏，一个跳蚤从横坐标为t（t＞0）的P1点开始按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线y＝ax2上向右跳动，得到P1，P2，P3，这时△P1P2P3面积为（　　）
A．a B．2a C．3a D．4a
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①2a+b＝0；②abc＜0；③a+b≥am2+bm（m为任意实数）；④若点Q（m，n）是抛物线上第一象限上的动点，当△QBC的面积最大时，m＝2，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共7小题）
5．如图，点A是抛物线y＝2x2﹣3x+2上的动点．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 　 　．
6．如图在矩形ABCD中，AB＝12cm，AD＝4cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度运动，当点Q到达点C时，两点同时停止运动，则当运动 　 　秒时，△PBQ的面积最大值为 　 　cm2．
7．如图，在平面直角坐标系中，点 A、点B均在抛物线y＝x2上，且AB∥x轴，点 C、点D为线段AB的三等分点，以CD为边向下作矩形CDEF，矩形CDEF的顶点 E、F均在此抛物线上，若矩形CDEF的面积为2，则AB的长为 　 　．
8．如图，抛物线y＝x2﹣4的顶点为点P，直线y＝1与抛物线相交于A，B两点，则△APB的面积是 　 　．
9．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c交x轴于点A（﹣1，0）、B，交y轴于点C，D为抛物线的顶点．
（1）点D坐标为 　 　；
（2）点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，点M坐标为 　 　．
10．已知点A（2，4），B（0，1），点M在抛物线y＝x2上运动，则AM+BM的最小值为 　 　．
11．已知二次函数y＝x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）如图1，点P为抛物线上B、C两点间一动点，连接BP，连接AP、BC交于点Q，则的最大值为 　 　．
（2）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移，点C平移至点C1处，且OC1＝OC，动点M在平移后抛物线的对称轴上，当△C1BM为直角三角形时，点M的坐标为 　 　．
三．解答题（共4小题）
12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B（4，0），C（0，2）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PD∥AC交直线BC于D，作PE∥x轴交直线BC于E，求的最大值，并求此时P的坐标；
（3）如图2，在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿着水平方向右平移2个单位长度，点F为点P的对应点，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点C，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
13．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）和B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC下方的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式：
（2）过点P作PF⊥直线AC于点F，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，求PF的最大值及此时点P的坐标；
（3）取（2）中PF最大值时的P点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在该二次函数图象的对称轴上，且使|PB﹣PC|最大，求点P的坐标；
（3）若点M为该二次函数图象在第四象限内一个动点，当点M运动到何处时，四边形ACMB的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形ACMB面积的最大值．
15．如图，抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．
（1）求出A、B、C三点的坐标；
（2）将抛物线y＝﹣x2+4x+5图象x轴上方部分沿x轴向下翻折，保留抛物线与x轴的交点和x轴下方图象，得到的新图象记作M，图象M与直线y＝t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．若以EF为直径作圆，该圆记作图象N．
①在图象M上找一点P，使得△PAB的面积为3，求出点P的坐标；
②当图象N与x轴相离时，直接写出t的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．如图，矩形OABC的长OA＝，宽OC＝1，将△AOC沿AC翻折得△APC，可得下列结论：①∠PCB＝30°；②点P的坐标是（）；③若P、C两点在抛物线上，则b的值是，c的值是1；④在③中的抛物线CP段（不包括C、P两点）上，存在一点Q，使四边形QCAP的面积最大，最大值为．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【解答】解：在Rt△OAC中，OA＝，OC＝1，则∠OAC＝30°，∠OCA＝60°；
根据折叠的性质知：OA＝AP＝，∠ACO＝∠ACP＝60°；
①∵∠BCA＝∠OAC＝30°，且∠ACP＝60°，
∴∠PCB＝30°，故①正确；
②过P作PD⊥OA于D；
Rt△PAD中，∠PAD＝60°，AP＝；
∴OD＝AD＝，PD＝，
所以P（，），故②正确；
③将P、C代入抛物线的解析式中，得：
，
解得；
故③错误；
④过Q作QM∥y轴，交CP于M；
由③知y＝﹣x2+x+1，
由P（，），C（0，1）易求得直线PC：y＝x+1；
设M（a，a+1），
则Q（a，﹣a2+a+1），则：
QM＝﹣a2+a+1﹣（a+1）＝﹣a2+a，
故S△QPC＝QM |xP|＝×（﹣a2+a）×＝﹣a2+a，
由于S△APC＝S△AOC＝，
故四边形QCAP的面积S＝S△QPC+S△APC＝﹣a2+a+，
则Smax＝＝；
故④正确；
所以正确的结论为①②④．
故选：B．
2．如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△ADE沿DE翻折，点A落在点F处，tan∠CDE＝．设AB＝x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设AB＝x，AE＝BE＝x，
由折叠可知，EF＝AE＝BE＝x，
则∠AFB＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CDE＝∠AED，
由tan∠CDE＝得tan∠AED＝，
设AD＝x，AE＝x，
∴DE＝x
因为F、A关于DE对称，
∴AF⊥DE，
∴∠ADE＝∠FAB，
∴△FAB∽△ADE，
∴，
∴，
该函数为经过原点的二次函数，
故选：C．
3．如图，小明设计了一个电子游戏，一个跳蚤从横坐标为t（t＞0）的P1点开始按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线y＝ax2上向右跳动，得到P1，P2，P3，这时△P1P2P3面积为（　　）
A．a B．2a C．3a D．4a
【解答】解：作P1A⊥x轴，P2B⊥x轴，P3C⊥x轴，垂足分别为A，B，C．
由题意得：A（t，0），B（t+1，0），C（t+2，0），
P1（t，at2），P2（t+1，at2+2at+a），P3（t+2，at2+4at+4a）；
则：△P1P2P3的面积S＝S梯形P1ACP3﹣S梯形P1ABP2﹣S梯形P2BCP3＝（at2+at2+4at+4a）×2﹣（at2+at2+2at+a）﹣（at2+2at+a+at2+4at+4a）
＝a．
故选：A．
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①2a+b＝0；②abc＜0；③a+b≥am2+bm（m为任意实数）；④若点Q（m，n）是抛物线上第一象限上的动点，当△QBC的面积最大时，m＝2，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），
∴对称轴为直线x＝＝1，
∴﹣＝1，
∴2a＝﹣b，
∴2a+b＝0，故①正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②正确，符合题意；
∵抛物线的对称轴x＝1，开口向下，
∴x＝1时，y有最大值，最大值＝a+b+c．
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
∴a+b≥am2+bm（m为任意实数），故③正确，符合题意；
④∵C（0，c），
设直线BC的解析式为y＝kx+t，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+c，
将点A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax+c，
∴c＝﹣8a．
∴y＝ax2﹣2ax﹣8a．
过点Q作QN∥y轴交BC于点P，
∵Q（m，n），
∴P（m，2am﹣8a），
∴PQ＝n﹣2am+8a．
∴S△QBC＝×4×（n﹣2am+8a）＝2（n﹣2am+8a），
∵n＝am2﹣2am﹣8a，
∴S△QBC＝2（am2﹣4am）＝2a（m﹣2）2﹣8a．
∴当m＝2时，△QBC的面积最大，
故④正确，符合题意；
故选：D．
二．填空题（共7小题）
5．如图，点A是抛物线y＝2x2﹣3x+2上的动点．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 　　．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC，
∵y＝2x2﹣3x+2＝2（x﹣）2+，
∴抛物线顶点坐标为（，），
∴AC最小值为，
故答案为：．
6．如图在矩形ABCD中，AB＝12cm，AD＝4cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度运动，当点Q到达点C时，两点同时停止运动，则当运动 　3　秒时，△PBQ的面积最大值为 　9　cm2．
【解答】解：设当运动x秒时，△PBQ的面积为ycm2，
可得y＝x（12﹣2x），
整理得y＝﹣（x﹣3）2+9（0＜x≤4），
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝3时，y取最大值9，
故答案为：3，9．
7．如图，在平面直角坐标系中，点 A、点B均在抛物线y＝x2上，且AB∥x轴，点 C、点D为线段AB的三等分点，以CD为边向下作矩形CDEF，矩形CDEF的顶点 E、F均在此抛物线上，若矩形CDEF的面积为2，则AB的长为 　3　．
【解答】解：抛物线y＝x2的对称轴为y轴，
∵点 A、点B均在抛物线y＝x2上，且AB∥x轴，
∴点 A、点B关于y轴对称，
设A（a，a2），则B（﹣a，a2），a＞0．
∴AB＝2a，点 A、点B到x轴的距离为a2．
∵点 C、点D为线段AB的三等分点，
∴CD＝a．
设CD与y轴交于点H，
由题意，点 C、点D关于y轴对称，
∴HD＝HC＝a，
∵矩形CDEF的顶点 E、F均在此抛物线上，
∴E（﹣a，），F（a，），
∵EF∥x轴，
∴点 E、F到x轴的距离为2，
∵AB∥x轴，
∴DE＝CF＝，
∵矩形CDEF的面积为2，
∴CD CF＝2，
∴a ＝2，
∴，
∴a＝．
∴AB＝2a＝3．
故答案为：3．
8．如图，抛物线y＝x2﹣4的顶点为点P，直线y＝1与抛物线相交于A，B两点，则△APB的面积是 　5　．
【解答】解：当y＝1时，
1＝x2﹣4，
解得：x＝±，
∴A，B两点分别为（﹣，1），（，1），
∴AB＝2，
根据题意P点为（0，﹣4），
∴△APB的高为1﹣（﹣4）＝5，
∴△APB的面积是×2×5＝5．
故答案为：5．
9．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c交x轴于点A（﹣1，0）、B，交y轴于点C，D为抛物线的顶点．
（1）点D坐标为 　（1，4）　；
（2）点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，点M坐标为 　（1，﹣2）或（1，）　．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c交x轴于点A（﹣1，0），
∴﹣1﹣2+c＝0．
∴c＝3．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）．
故答案为：（1，4）；
（2）∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∴OF＝1，DF＝4．
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3）．
∴E（2，3）
∴OC＝3，CE＝2．
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0．
解得：x＝﹣1或3．
∴B（3，0）．
∴OB＝3．
∴OB＝OC．
∴∠OCB＝∠OBC＝45°．
∵CE∥OB，
∴∠C＝45°．
由于点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，
此时有两种情况：在DF上取点M，M′，连接BM，BM′，如图，
当△DMB∽△BCE时，
∴∠M＝∠C＝45°．
∵FM⊥OB，
∴BF＝FM．
∵BF＝OB﹣OF＝2，
∴FM＝2．
∴M（1，﹣2）．
当△DM′B∽△BEC时，
∴．
∵DB＝＝2，BC＝＝3，
∴．
∴BM′＝．
∴M′F＝．
∴M′（1，）．
综上，点M坐标为（1，﹣2）或（1，）．
故答案为：（1，﹣2）或（1，）．
10．已知点A（2，4），B（0，1），点M在抛物线y＝x2上运动，则AM+BM的最小值为 　5　．
解：设点M（m，m2），
则点M到x轴距离为m2，BM＝＝m2+1，
∴点M到点B的距离与点M到直线y＝﹣1的距离相等，
∵点A横坐标为x＝2，
∴点M为直线x＝2与抛物线交点，
如图，设直线x＝2与直线y＝﹣1交点B'（2，﹣1），
∴AB'为AM+BM最小值，AB'＝4﹣（﹣1）＝5，
故答案为：5．
11．已知二次函数y＝x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）如图1，点P为抛物线上B、C两点间一动点，连接BP，连接AP、BC交于点Q，则的最大值为 　　．
（2）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移，点C平移至点C1处，且OC1＝OC，动点M在平移后抛物线的对称轴上，当△C1BM为直角三角形时，点M的坐标为 　（，﹣）或（，）或（，）或（，）　．
解：（1）令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
令y＝0，则x﹣2＝0，
∴x＝4或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
设BC的解析式为y＝kx+b，
∴
∴，
∴y＝x﹣2，
设P（t，t2﹣t﹣2），则F（t，t﹣2），E（﹣1，﹣），
∴PF＝﹣t2+2t，AE＝，
如图1，过点P作PF⊥x轴交BC于点F，过点A作AE⊥x轴交BC于点E，
∵PF∥AE，
∴＝，
∵＝，
∴＝﹣（t﹣2）2+，
当t＝2时，的最大值为，
故答案为：；
（2）由抛物线沿射线CB方向平移，设向右平移m个单位，则向上平移m个单位，
∴平移后C1（m，﹣2+m），
∵OC1＝OC，
∴2＝，
∴m＝0（舍）或m＝，
∴C1（，﹣），
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣）2﹣，
∴对称轴为直线x＝，
设M（，n），
①如图2，当∠BC1M＝90°时，
过点C1作C1R⊥x轴交于R，过点M作MS⊥RC1交于S点，
∵∠RC1B+∠RBC1＝90°，∠RC1B+∠SC1M＝90°，
∴∠RBC1＝∠SC1M，
∴△RBC1∽△SC1M，
∴＝，
∵RB＝，RC1＝，SC1＝﹣n﹣，SM＝，
∴＝，
∴n＝﹣，
∴M（，﹣）；
②如图3，当∠BMC1＝90°，M点在x轴上方时，
过点M作MK∥x轴，过点B作BK⊥MK交于K，过点C1作C1L⊥MK交于L，
∵∠KMB+∠MBK＝90°，∠KMB+∠LMC1＝90°，
∴∠KBM＝∠LMC1，
∴△MKB∽△C1LM，
∴＝，
∵MK＝，BK＝n，LM＝，LC1＝n+，
∴＝，
∴n＝，
∴M（，）；
③如图4，当∠BMC1＝90°，M点在x轴下方时，
过点M作MU∥x轴，过点B作BV⊥MU交于V，过点C1作C1U⊥MU交于U，
∵∠VMB+∠MBV＝90°，∠VMB+∠UMC1＝90°，
∴∠VBM＝∠UMC1，
∴△MVB∽△C1UM，
∴＝，
∵MV＝，BV＝﹣n，UM＝，UC1＝﹣n﹣，
∴＝，
∴n＝，
∴M（，）；
④如图5，当∠MBC1＝90°时，
过点B作GH⊥x轴，过点M作MG⊥GH交于G，过点C1作C1H⊥GH交于H，
∵∠GMB+∠MBG＝90°，∠GMB+∠HMC1＝90°，
∴∠GBM＝∠HMC1，
∴△MGB∽△C1HM，
∴＝，
∵MG＝，BG＝n，BH＝，HC1＝，
∴＝，
∴n＝，
∴M（，）；
综上所述：M点坐标为（，﹣）或（，）或（，）或（，），
故答案为：（，﹣）或（，）或（，）或（，）．
三．解答题（共4小题）
12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B（4，0），C（0，2）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PD∥AC交直线BC于D，作PE∥x轴交直线BC于E，求的最大值，并求此时P的坐标；
（3）如图2，在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿着水平方向右平移2个单位长度，点F为点P的对应点，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点C，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
解：（1）把B（4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）如图，过点P作PQ∥y轴交BC于Q，过A作AH∥BC交y轴于H，
∵PE∥x轴，
∴PE⊥PQ，∠PEQ＝∠OBC，
∴∠EPQ＝∠BOC，
∴△PEQ∽△OBC，
∵PD∥AC，AH∥BC，
∴∠PQD＝∠OCQ＝∠CHA，∠PDE＝∠ACD，∠ACD+∠CAH＝∠PDE+∠PDQ＝180°，
∴∠PDQ＝∠CAH，
∴△PDQ∽△CAH，
∵y＝﹣x2+x+2与x轴分别交于A，B两点，B（4，0），
∴A（﹣2，0），
∵C（0，2），
∴OC＝2，OB＝4，OA＝2，AC＝2，
∴，，
∴PE＝2PQ，
∵∠OCQ＝∠CHA，
∴tan∠OCQ＝tan∠OHA，
∴，即，
∴OH＝1，
∴CH＝3，
∴，
∴，
∴，
∴当PQ取得最大值时，有最大值
设直线CB的解析式为y＝kx+p，
则，解得：，
∴直线CB的解析式为，
设，则，
∴＝﹣（t﹣2）2+1，
∵，开口向下
∴当t＝2时，PQ取得最大值1，此时P（2，2），
∴的最大值为，此时P（2，2）；
（3）由题意得：平移后抛物线解析式为，F（4，2），
∵抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴设，
分情况讨论：
①当CF为对角线时，则3+n＝0+4，
解得：n＝1，
∴；
②当CM为对角线时，n+4＝0+3，
解得：n＝﹣1，
∴
③当CN为对角线时，n+0＝4+3，
解得：n＝7，
∴，
综上所述，点N的坐标为：，，．
13．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）和B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC下方的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式：
（2）过点P作PF⊥直线AC于点F，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，求PF的最大值及此时点P的坐标；
（3）取（2）中PF最大值时的P点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）将A（4，0）、B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣4，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣3x﹣4；
（2）∵y＝x2﹣3x﹣4与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，﹣4），
设直线AC的解析式为y＝kx﹣4，
∵直线AC经过点A（4，0），
∴0＝4k﹣4，
解得：k＝1，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣4，
设点P（x，x2﹣3x﹣4），则E（x，x﹣4），
∴PE＝x﹣4﹣x2+3x+4＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，PE最大，最大值是4．
∵A（4，0），C（0，﹣4），
∴OA＝OC，
∴∠OCA＝45°，
∵PD⊥x轴，
∴∠CEP＝∠OCA＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PFE是等腰直角三角形，
∴PF＝PE，
∴PE+PF＝PE+PE＝PE，
∴PE+PF的最大值为4，此时点P的坐标为（2，﹣6）；
（3）①当CP为对角线时，由中点坐标公式得（2+0）＝（m+4）且（﹣4﹣6）＝（n+0），
解得，
∴点Q的坐标为（﹣2，﹣10）；
②当AC为对角线时，
同理可得：（2+m）＝（0+4）且（n﹣6）＝（﹣4+0），
解得，
∴点Q的坐标为（2，2）；
③当AP是对角线时，
同理可得：（0+m）＝（2+4）且（0﹣6）＝（n﹣4），
解得，
∴点Q的坐标为（6，﹣2）；
故存在，点Q的坐标为（﹣2，﹣10）或（2，2）或（6，﹣2）．
14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在该二次函数图象的对称轴上，且使|PB﹣PC|最大，求点P的坐标；
（3）若点M为该二次函数图象在第四象限内一个动点，当点M运动到何处时，四边形ACMB的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形ACMB面积的最大值．
解：（1）将A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
作C点关于对称轴的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点P，
∵CP＝C'P，
∴|PB﹣PC|＝|PB﹣PC'|≤BC'，此时|PB﹣PC|有最大值，
∵C（0，﹣2），
∴C'（1，﹣2），
设直线BC'的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴y＝2x﹣4，
∴P（，﹣3）；
（3）过点M作MN∥y轴交BC于点N，
∵B（2，0），C（0，﹣2），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，
设M（t，t2﹣t﹣2），则N（t，t﹣2），
∴MN＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t，
∴S△BCM＝2×（﹣t2+2t）＝﹣t2+2t，
∵S△ABC＝3×2＝3，
∴S四边形ACMB＝3﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+4，
当t＝1时，四边形ACMB的面积最大值为4，
此时M（1，﹣2）．
15．如图，抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．
（1）求出A、B、C三点的坐标；
（2）将抛物线y＝﹣x2+4x+5图象x轴上方部分沿x轴向下翻折，保留抛物线与x轴的交点和x轴下方图象，得到的新图象记作M，图象M与直线y＝t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．若以EF为直径作圆，该圆记作图象N．
①在图象M上找一点P，使得△PAB的面积为3，求出点P的坐标；
②当图象N与x轴相离时，直接写出t的取值范围．
解：（1）令x＝0，则y＝5，
∴C（0，5），
令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（5，0）；
（2）①设P点的纵坐标为m，
∵△PAB的面积为3，
∴6（﹣m）＝3，
解得m＝﹣1，
当﹣x2+4x+5＝﹣1时，解得x＝2+或x＝2﹣，
∴P（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）；
当﹣x2+4x+5＝1时，解得x＝2+或x＝2﹣，
∴P（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）；
综上所述：P点坐标为（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）或（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）；
②∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线的顶点为（2，9），
∵图象M与直线y＝t恒有四个交点，
∴﹣9＜t≤0，
当﹣x2+4x+5＝﹣t时，解得x＝2+或x＝2﹣，
∴E（2﹣，t），F（2+，t），
∴EF＝2，
当＝﹣t时，解得t＝，
∵t＜0，
∴t＝，此时图象N与x轴相切，
∴﹣9＜t＜时，图象N与x轴相离．

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