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第十六章　一元二次方程
一　一元二次方程和它的解法
16.2　一元二次方程的解法
第3课时　因式分解法、一元二次方程根与系数的关系
基础过关全练
知识点5　因式分解法
1.(2022北京通州期末)如果a2+2a=0,那么a的值是 (　　)
A.0　　　　B.2　　　　C.0或2　　　　D.0或-2
2.(2020甘肃兰州中考)一元二次方程x(x-2)=x-2的解是 (　　)
A.x1=x2=0　　　　B.x1=x2=1 C.x1=0,x2=2　 D.x1=1,x2=2
3.(2022浙江绍兴柯桥期末)方程(x-2)2=4(x-2)的解为 (　　)
A.4　　　　B.-2　　　　C.4或-6　　　　D.6或2
4.(2022广西梧州中考)一元二次方程(x-2)(x+7)=0的根是　　　　.
5.【新独家原创】解方程:(x-3)(3x-2)=6.
6.用因式分解法解一元二次方程:
(1)3x2+6x=0;　 　(2)4x2-144x=0;
(3)(x-2)2-9=0;　(4)25x2=10x-1.
知识点6　一元二次方程根与系数的关系
7.(2021广西玉林中考)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根x1,x2,则 (　　)
A.x1+x2<0　　　　B.x1x2<0
C.x1x2>-1　　　　D.x1x2<1
8.(2022湖南益阳中考)若x=-1是方程x2+x+m=0的一个根,则此方程的另一个根是 (　　)
A.x=-1　　　　B.x=0　　　　C.x=1　　　　D.x=2
9.(2022湖南娄底中考)已知实数x1,x2是方程x2+x-1=0的两根,则x1x2=　　　　.
10.(2022北京大兴三中期中)若x=2是一元二次方程x2-mx-2=0的一个根,则m=　　　,方程的另一个根是　　　　.
11.(2022四川眉山中考)设x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个实数根,则的值为　　　　.
12.(2022北京平谷期末)已知关于x的一元二次方程x2-mx+m-2=0.
(1)求证:此方程总有两个不相等的实数根;
(2)若此方程有一个根是x=0,求出m的值和另一个根.
13.(2022北京东城模拟)已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+m+1=0.
(1)求证:该方程总有两个实数根;
(2)若该方程的两个实数根互为相反数,求m的值.
14.(2022四川南充中考)已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根.
(1)求实数k的取值范围;
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=-1,求k的值.
能力提升全练
15.(2022天津中考,9,)方程x2+4x+3=0的两个根为 (　　)
A.x1=1,x2=3　　B.x1=-1,x2=3 C.x1=1,x2=-3　 D.x1=-1,x2=-3
16.(2022广东深圳龙岗弘扬学校期中,8,)用公式法解方程4y2-12y-3=0,得到 (　　)
A.y=
C.y=
17.(2022山东聊城中考,7,)用配方法解一元二次方程3x2+6x-1=0时,将它化为(x+a)2=b的形式,则a+b的值为 (　　)
A.
18.(2022北京中考,6,)若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为 (　　)
A.-4　　　　B.-　　　　D.4
19.(2022北京西城期中,6,)解下列方程:①3x2-27=0;②x2-3x-1=0;③(x+2)(x+4)=x+2;④2(3x-1)2=3x-1.较简便的方法依次是 (　　)
A.直接开平方法;配方法;公式法;因式分解法
B.因式分解法;公式法;配方法;直接开平方法
C.直接开平方法;公式法;公式法;因式分解法
D.直接开平方法;公式法;因式分解法;因式分解法
20.(2022内蒙古呼和浩特中考,8,)已知x1,x2是方程x2-x-2 022=0的两个实数根,则代数式的值是 (　　)
A.4 045　　　　B.4 044 C.2 022　　　　D.1
21.(2021北京四十三中期中,10,)等腰三角形的一边长是4,另两边的长为方程x2-6x+m+1=0的两个根,则m为 (　　)
A.7　　　　B.8　　　　C.4　　　　D.7或8
22.(2022北京海淀建华实验学校期中,8,)已知M=8x2-y2+6x-2,N=9x2+4y+13,则M-N的值为 (　　)
A.正数　　　　B.负数
C.非正数　　　　D.不能确定
23.(2022北京西城期末,12,)在等式(□+5)2=49中,□内的数等于　　　　.
24.(2022上海中考,10,)已知关于x的方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是　　　　.
25.(2022云南中考,16,)方程2x2+1=3x的解为　　　　　　.
26.(2022北京朝阳和平街一中月考,15,)李伟同学在解关于x的一元二次方程x2-3x+m=0时,误将-3x看作+3x,得到的解为x1=1,x2=-4,则原方程的解为　　　　　　.
27.(2022湖北鄂州中考,13,)若实数a、b分别满足a2-4a+3=0,b2-4b+3=0,且a≠b,则的值为　　　　.
28.【易错题】(2021湖北仙桃中考,14,)关于x的方程x2-2mx+m2-m=0有两个实数根α,β,且=1,则m=　　　　.
29.(2022贵州贵阳中考,17(2),)在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法,它们分别是配方法、公式法和因式分解法,请从下列一元二次方程中任选两个,并解这两个方程.
①x2+2x-1=0;　②x2-3x=0;
③x2-4x=4;　④x2-4=0.
30.【教材变式·P106练习变式】【一题多解】用恰当的方法解下列方程:
(1)(2022江苏无锡中考,20(1),)x2-2x-5=0;
(2)(2022黑龙江齐齐哈尔中考,19,)(2x+3)2=(3x+2)2;
(3)(2022北京房山期末,17,5,)(m-1)2-1+m=0.
31.(2022北京门头沟期末,19,)阅读材料,并回答问题:
王林在学习一元二次方程时,解方程x2+4x-2=0的过程如下:
解:x2+4x-2=0,
∴x2+4x=2①,
∴x2+4x+4=2②,
∴(x+2)2=2③,
∴x+2=±④,
∴x+2=⑤,
∴x1=-2,x2=--2⑥.
问题:(1)王林解方程的方法是　　　　;
A.直接开平方法　　　　　　B.配方法
C.公式法　　　　　　D.因式分解法
(2)上述解答过程中,从第　　　　　　　步开始出现了错误(填序号),错误的原因是　　　　　　　　　　　;
(3)在下面的空白处,写出正确的解答过程.
32.(2019北京中考,19,)关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.
33.(2022湖北随州中考,18,)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1x2=5,求k的值.
34.(2022湖北十堰中考,19,)已知关于x的一元二次方程x2-2x-3m2=0.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根分别为α,β,且α+2β=5,求m的值.
35.(2021北京中考,21,)已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0.
(1)求证:该方程总有两个实数根;
(2)若m>0,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值.
素养探究全练
36.【换元思想】【运算能力】阅读下面的材料,回答问题:
解一个一元四次方程x4-5x2+4=0,根据该方程的特点,它的常规解法:
设x2=y,那么x4=y2,于是原方程可变为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.
当y=1时,x2=1,∴x=±1;
当y=4时,x2=4,∴x=±2.
∴原方程有四个根:x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2.
请你按照上述解题思路解方程(x2+x)2-4(x2+x)-12=0.
37.【运算能力】(2022北京平谷期末)阅读下列材料:
我们知道对于二次三项式a2+2ab+b2可以利用完全平方公式,将它变形为(a+b)2的形式,但是对于一般的二次三项式x2+bx+c就不能直接应用完全平方公式了.我们可以在二次三项式中先加上原式中一次项系数的一半的平方,即,使其凑成完全平方式,再减去,使整个式子的值不变,这样就有x2+bx+c=+m.例如x2-6x+1=x2-6x+9-9+1=(x-3)2-8.
请根据上述材料解决下列问题:
(1)将多项式x2-4x+3变形为(x+m)2+n的形式;
(2)当x,y分别取何值时,x2+y2-4x+6y+28有最小值 求出这个最小值;
(3)若m=a2+b2-1,n=2a-4b-7,则m与n的大小关系是　　　　.
答案全解全析
基础过关全练
1.D　由a2+2a=0,得a(a+2)=0,∴a1=0,a2=-2.故选D.
2.D　由x(x-2)=x-2,得x(x-2)-(x-2)=0,提公因式,得(x-2)(x-1)=0,∴x-2=0或x-1=0,解得x1=1,x2=2.故选D.
3.D　由(x-2)2=4(x-2),得(x-2)2-4(x-2)=0,提公因式,得(x-2)(x-2-4)=0,所以x-2=0或x-6=0,所以x1=2,x2=6.故选D.
4.x1=2,x2=-7
解析　由(x-2)(x+7)=0,得x-2=0或x+7=0,所以x1=2,x2=-7.
5.解析　原方程可以变形为3x2-11x=0,x(3x-11)=0,所以x=0或3x-11=0,解得x1=0,x2=.
6.解析　(1)因式分解,得3x(x+2)=0,∴3x=0或x+2=0,∴x1=0,x2=-2.
(2)因式分解,得4x(x-36)=0,∴4x=0或x-36=0,
∴x1=0,x2=36.
(3)因式分解,得(x-2+3)(x-2-3)=0,即(x+1)(x-5)=0,∴x+1=0或x-5=0,
∴x1=-1,x2=5.
(4)将原方程转化为25x2-10x+1=0,
因式分解,得(5x-1)2=0,∴x1=x2=.
7.D　根据题意得x1+x2=2>0,Δ=(-2)2-4×1·m>0,解得m<1,所以x1x2=m<1.故选D.
8.B　设x2+x+m=0的另一个根是x=a,∴-1+a=-1,
∴a=0.故选B.
9.-1
解析　∵x1,x2是方程x2+x-1=0的两根,∴x1x2=-1.
10.1;-1
解析　设方程的另一个根为x=a,则2a=-2,2+a=m,∴a=-1,m=1.
11.10
解析　∵x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个实数根,
∴x1+x2=-2,x1·x2=-3,
∴=(x1+x2)2-2x1x2=(-2)2-2×(-3)=10.
12.解析　(1)证明:Δ=(-m)2-4×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4,
∵(m-2)2≥0,∴(m-2)2+4>0,即Δ>0,
∴此方程总有两个不相等的实数根.
(2)∵方程有一个根是x=0,∴m-2=0,解得m=2,
∴此方程为x2-2x=0,即x(x-2)=0,解得x1=0,x2=2,
∴此方程的另一个根是x=2.
13.解析　(1)证明:∵Δ=[-(m+2)]2-4×1×(m+1)
=m2+4m+4-4m-4=m2≥0,
∴该方程总有两个实数根.
(2)设该方程的两个实数根分别为x1,x2,
由题可知x1+x2=0,
∵x1+x2=m+2,
∴m+2=0,解得m=-2,故m的值为-2.
14.解析　(1)根据关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根,得Δ=32-4×1×(k-2)≥0,解得k≤,即k的取值范围是k≤.
(2)∵方程x2+3x+k-2=0的两个实数根分别为x1,x2,∴x1+x2=-3,x1x2=k-2,
∵(x1+1)(x2+1)=-1,∴x1x2+(x1+x2)+1=-1,
∴k-2+(-3)+1=-1,解得k=3,∴k的值是3.
能力提升全练
15.D　∵x2+4x+3=0,∴(x+1)(x+3)=0,∴x+1=0或x+3=0,∴x1=-1,x2=-3.故选D.
16.C　由a=4,b=-12,c=-3,得Δ=(-12)2-4×4×(-3)=192>0,
∴y=.故选C.
17.B　∵3x2+6x-1=0,∴3x2+6x=1,∴x2+2x=,配方得x2+2x+1=+1,即(x+1)2=,∴a=1,b=,∴a+b=.故选B.
18.C　根据题意得Δ=12-4×1·m=0,解得m=.故选C.
19.D　①3x2-27=0适合用直接开平方法;②x2-3x-1=0适合用公式法;
③(x+2)(x+4)=x+2适合用因式分解法;④2(3x-1)2=3x-1适合用因式分解法.故选D.
20.A　把x=x1代入得-x1-2 022=0,即-2 022=x1,
∵x1,x2是方程x2-x-2 022=0的两个实数根,
∴x1+x2=1,x1x2=-2 022,
则原式=x1(-2 022)+=(x1+x2)2-2x1x2
=1+4 044=4 045.故选A.
21.D　∵一个等腰三角形的一边长为4,另两边长是方程x2-6x+m+1=0的两个根,
∴①当腰长为4时,把x=4代入原方程得16-24+m+1=0,∴m=7,∴原方程为x2-6x+8=0,设方程的另一个根为x=a,则4+a=6,∴a=2,能构成三角形;
②当底边长为4时,关于x的方程x2-6x+m+1=0的两个根是相等的,
∴Δ=(-6)2-4(m+1)=0,∴m=8,
∴原方程为x2-6x+9=0,∴方程的两个根为x1=x2=3,能构成三角形.综上,m的值是7或8.故选D.
22.B　∵M-N=8x2-y2+6x-2-(9x2+4y+13)
=-x2+6x-y2-4y-15
=-[(x2-6x+9)+(y2+4y+4)+2]
=-(x-3)2-(y+2)2-2,
∵(x-3)2≥0,(y+2)2≥0,
∴-(x-3)2-(y+2)2-2<0.∴M-N的值为负数,故选B.
23.2或-12
解析　设□内的数为x,则等式(□+5)2=49为(x+5)2=49,两边开平方得,x+5=7或x+5=-7,
解得x=2或-12.
即□内的数等于2或-12.
24.m<3
解析　∵关于x的方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=(-2)2-4m>0,解得m<3.
25.x1=1,x2=
解析　2x2+1=3x,移项得2x2-3x+1=0,因式分解得(x-1)(2x-1)=0,解得x1=1,x2=.
26.x1=4,x2=-1
解析　由题可知x2+3x+m=0的解为x1=1,x2=-4,
所以m=-4,所以原方程为x2-3x-4=0,
分解因式得(x-4)(x+1)=0,解得x1=4,x2=-1.
27.
解析　∵实数a、b分别满足a2-4a+3=0,b2-4b+3=0,且a≠b,∴a、b可看成方程x2-4x+3=0的两个不相等的实数根,
∴a+b=4,ab=3,∴原式=.
28.3
解析　∵关于x的方程x2-2mx+m2-m=0有两个实数根α,β,
∴Δ=(-2m)2-4(m2-m)≥0,解得m≥0,α+β=2m,αβ=m2-m.
∵=1,∴=1,解得m1=0,m2=3,
经检验,m1=0不合题意,m2=3符合题意,∴m=3.故答案为3.
29.解析　①x2+2x-1=0,Δ=22-4×1×(-1)=4+4=8,
∴x=.
∴x1=-1+,x2=-1-.
②x2-3x=0,因式分解得x(x-3)=0,∴x1=0,x2=3.
③x2-4x=4,两边都加上4,得x2-4x+4=8,
∴(x-2)2=8.∴x-2=±2.
∴x1=2+2,x2=2-2.
④x2-4=0,因式分解得(x+2)(x-2)=0.
∴x1=-2,x2=2.
30.解析　(1)方法一:x2-2x-5=0,移项得x2-2x=5,
配方得x2-2x+1=5+1,即(x-1)2=6,
∴x-1=±,解得x1=1+,x2=1-.
方法二:由x2-2x-5=0得Δ=(-2)2-4×1×(-5)=24,∴x=,
解得x1=1+,x2=1-.
(2)方法一:(2x+3)2=(3x+2)2,
开方得2x+3=3x+2或2x+3=-3x-2,
解得x1=1,x2=-1.
方法二:移项得(2x+3)2-(3x+2)2=0,
分解因式得[(2x+3)+(3x+2)][(2x+3)-(3x+2)]=0,即5(x+1)(-x+1)=0,
∴x+1=0或-x+1=0,
解得x1=-1,x2=1.
(3)方法一:(m-1)2+(m-1)=0,
因式分解得(m-1)(m-1+1)=0,即m(m-1)=0.
∴m=0或m-1=0,解得m1=0,m2=1.
方法二:整理得m2-m=0,因式分解得m(m-1)=0.
∴m=0或m-1=0,解得m1=0,m2=1.
31.解析　(1)王林解方程的方法为配方法,故选B.
(2)从第②步开始出现了错误,错误的原因是方程右边没有加上4.
(3)x2+4x-2=0,∴x2+4x=2,∴x2+4x+4=6,∴(x+2)2=6,∴x+2=±,
∴x+2=,
∴x1=-2,x2=--2.
32.解析　∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,
∴b2-4ac=(-2)2-4×1×(2m-1)≥0,解得m≤1,
∵m为正整数,∴m=1,
∴方程为x2-2x+1=0,
∴(x-1)2=0,解得x1=x2=1.
33.解析　(1)根据题意得Δ=(2k+1)2-4(k2+1)>0,
解得k>.
(2)根据题意得x1x2=k2+1,∵x1x2=5,∴k2+1=5,
解得k1=-2,k2=2,∵k>,∴k=2.
34.解析　(1)证明:∵a=1,b=-2,c=-3m2,
∴Δ=(-2)2-4×1×(-3m2)=4+12m2>0,
∴方程总有两个不相等的实数根.
(2)由题意得
∵αβ=-3m2,∴-3m2=-3,
∴m=±1,∴m的值为±1.
35.解析　(1)证明:∵a=1,b=-4m,c=3m2,
∴Δ=b2-4ac=(-4m)2-4×1×3m2=4m2.
∵无论m取何值,总有4m2≥0,即Δ≥0,
∴原方程总有两个实数根.
(2)∵x2-4mx+3m2=0,即(x-m)(x-3m)=0,
∴x1=m,x2=3m.
∵m>0,且该方程的两个实数根的差为2,
∴3m-m=2,∴m=1.
素养探究全练
36.解析　设y=x2+x,于是原方程可变为y2-4y-12=0,
整理,得(y-6)(y+2)=0,
解得y=6或y=-2,
当y=6时,x2+x=6,即(x+3)(x-2)=0,
解得x1=-3,x2=2.
当y=-2时,x2+x=-2,即x2+x+2=0,该方程无解.
综上所述,原方程的解为x1=-3,x2=2.
37.解析　(1)x2-4x+3=x2-4x+4-4+3=(x-2)2-1.
(2)x2+y2-4x+6y+28=x2-4x+y2+6y+28
=x2-4x+4-4+y2+6y+9-9+28=(x-2)2+(y+3)2+15,
∵(x-2)2≥0,(y+3)2≥0,
∴当x-2=0,y+3=0时,原式有最小值,为15.
∴当x=2,y=-3时,原式有最小值,为15.
(3)∵m-n=a2+b2-1-(2a-4b-7)=a2+b2-1-2a+4b+7=a2-2a+1-1+b2+4b+4-4+6
=(a-1)2+(b+2)2+1>0,∴m>n.

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