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第十四章　一次函数
二　一次函数
14.6　一次函数的性质
基础过关全练
知识点1　两条直线y=k1x+b1(k1≠0)与y=k2x+b2(k2≠0)
1.(2021北京一七一中学期中)在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与直线y=2x平行,且经过点A(0,6),则一次函数的解析式为 (　　)
A.y=2x-3　　　　B.y=2x+6
C.y=-2x-3　　　　D.y=-2x-6
2.已知两个一次函数y1=k1x+b1(k1≠0)与y2=k2x+b2(k2≠0)的图象互相平行,它们的部分自变量与相应的函数值如下表:
x -3 6
y1 -3 9
y2 -7 m
则表中m的值为 (　　)
A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7
知识点2　一次函数的增减性
3.(2022北京八十中期中)一次函数y=-2x+3的图象上有两点A(1,y1),B(-2,y2),则y1与y2的大小关系是 (　　)
A.y1C.y1=y2　　　　D.y1>y2
4.【一题多变】(2022北京海淀师达中学模拟)如果函数y=(2k-6)x+5是关于x的一次函数,且y随x的增大而增大,那么k的取值范围是　 (　　)
A.k≠0　　　　B.k<3　　　
C.k≠3　　　　D.k>3
[变式1]已知一次函数y=(4-2m)x+2,函数值y随着自变量x的增大而减小,那么常数m的取值范围是　　　　.
[变式2]已知一次函数y=(k+3)x+2中,y随x的增大而增大,则k的取值范围是　　　　.
5.【教材变式·P26例1变式】一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上有两个点P1(-2,y1),P2(1,y2),且y1>y2,请写出一个满足条件的函数解析式:　　　　　　.
6.【学科素养·模型观念】(2022江苏宿迁中考)甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征.甲:“函数值y随自变量x的增大而减小.”乙:“函数图象经过点(0,2).”请你写出一个同时满足这两个特征的函数,其表达式是　　　　　　.
知识点3　一次函数图象的位置与k,b符号的关系
7.(2021广西柳州中考)若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示,则下列说法正确的是 (　　)
A.k>0
B.b=2
C.y随x的增大而增大
D.x=3时,y=0
8.(2022北京八十中期中)一次函数y=-3x+1的图象不经过 (　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
9.(2022北京朝阳日坛中学期中)若k<0,b>0,则函数y=kx+b的图象可能是 (　　)
A
B
C
D
10.【开放题】(2022北京四中期中)如果一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过第二、三、四象限,写出一组满足条件的k,b的值:k=　　　　,b=　　　　.
11.(2021北京东城广渠门中学期中)如图,三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y=ax,②y=bx,③y=cx,请用“>”表示a,b,c的不等关系:　　　　　.
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12.(2022安徽中考,9,)在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+a2与y=a2x+a的图象可能是 (　　)
A
B
C
D
13.(2022北京四中期中,8,)已知两个一次函数y1,y2的图象互相平行,它们的部分自变量与相应的函数值如下表所示:
x m 0 2
y1 9 3 t
y2 6 n -6
则m的值是 (　　)
A.-2　　　　B.-3　　　　C.　　　　D.5
14.【分类讨论思想】(2020湖北随州随县期末,15,)已知一次函数y=ax-a+2(a为常数,且a≠0).当-1≤x≤4时,函数有最大值7,则a的值为　　　　　　.
15.(2022北京海淀师达中学模拟改编,20,)已知:一次函数y=(2-m)x+m-3.
(1)如果此函数图象经过原点,那么m应满足的条件为　　　　;
(2)如果此函数图象与直线y=3x+5平行,那么m应满足的条件为　　　　;
(3)如果此函数图象经过第二、三、四象限,那么m应满足的条件为　　　　;
(4)如果此函数图象与y轴的交点在x轴下方,那么m应满足的条件为　　　　;
(5)如果此函数图象与y轴的交点到x轴的距离为2,那么m应满足的条件为　　　　.
16.(2022北京八十中期中,23,)已知一次函数的图象与直线y=-2x平行,且经过点(-2,2).
(1)求一次函数的解析式;
(2)在所给平面直角坐标系中画出(1)中的函数图象;
(3)此函数图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C在x轴上,若S△ABC=2,请直接写出点C的坐标.
17.【易错题】(2022河北中考,25,)如图,平面直角坐标系中,线段AB的端点为A(-8,19),B(6,5).
(1)求AB所在直线的解析式;
(2)某同学设计了一个动画:
在函数y=mx+n(m≠0,y≥0)中,分别输入m和n的值,便得到射线CD,其中C(c,0).当c=2时,会从C处弹出一个光点P,并沿CD飞行;当c≠2时,只发出射线而无光点弹出.
①若有光点P弹出,试推算m,n应满足的数量关系;
②当有光点P弹出,并击中线段AB上的整点(横、纵坐标都是整数)时,线段AB就会发光,求此时整数m的个数.
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18.【抽象能力】(2022北京房山期末)在平面直角坐标系xOy中,对于A,B两点给出如下定义:若点A到x轴、y轴的距离中的最大值等于点B到x轴、y轴的距离中的最大值,则称A,B两点为“同值点”.
例如,图中的A,B两点即为“同值点”.
(1)已知点P的坐标为(-2,3),
①在点C(3,-5),D(0,2),E(-3,1)中,是点P的“同值点”的是点　　　　;
②若点Q在直线y=x-5上,且P,Q两点为“同值点”,则点Q的坐标为　　　　;
(2)若M1(-1,m1),M2(2,m2)是直线l:y=kx+1(k<0)上的两点,且M1与M2为“同值点”,求k的值.
答案全解全析
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1.B　∵y=kx+b(k≠0)的图象与直线y=2x平行,∴k=2,又∵函数y=2x+b的图象经过点A(0,6),∴b=6,
∴一次函数的解析式为y=2x+6,故选B.
2.B　将点(-3,-3)、(6,9)代入y1=k1x+b1,得∵一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2的图象互相平行,∴k2=k1=,故y2=x+b2,把(-3,-7)代入y2=x+b2,解得b2=-3,故y2=x-3,当x=6时,m=×6-3=5.故选B.
3.A　∵k=-2<0,∴y随x的增大而减小,∵1>-2,∴y14.D　∵函数y=(2k-6)x+5是关于x的一次函数,且y随x的增大而增大,∴2k-6>0,解得k>3,故选D.
[变式1]　m>2
解析　∵一次函数y=(4-2m)x+2,函数值y随着自变量x的增大而减小,∴4-2m<0,解得m>2.
[变式2]　k>-3
解析　根据y随x的增大而增大,可得k+3>0,解得k>-3.
5.y=-x+1(答案不唯一)
解析　∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上有两个点P1(-2,y1),P2(1,y2),且y1>y2,∴函数y=kx+b(k≠0)中的k满足k<0.∴y=-x+1符合题意(答案不唯一).
6.y=-x+2(答案不唯一)
解析　(答案不唯一)∵函数值y随自变量x的增大而减小,且该函数图象经过点(0,2),∴该函数为一次函数.设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0),则k<0,b=2.取k=-1,此时一次函数的表达式为y=-x+2.
7.B　一次函数图象过第一、二、四象限,∴k<0,∴函数值y随x的增大而减小,故A,C错误;∵图象与y轴的交点为(0,2),∴b=2,故B正确;∵图象与x轴的交点为(4,0),∴x=4时,y=0,故D错误.故选B.
8.C　∵一次函数y=-3x+1中,k=-3,b=1,∴该函数图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限,故选C.
9.B　一次函数y=kx+b的图象,当k<0,b>0时,图象经过第一、二、四象限.故选B.
10.-1;-2(答案不唯一)
解析　(答案不唯一)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过第二、三、四象限,∴k<0,b<0,∴k=-1,b=-2满足题意.
11.b>a>c
解析　当k>0时,函数y=kx的图象必过第一、三象限;当k<0时,函数y=kx的图象必过第二、四象限;当|k|越大时,直线越靠近y轴,由图象可得c<0,b>a>0,∴b>a>c.
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12.D　∵y=ax+a2与y=a2x+a,∴x=1时,两函数的值都是a2+a,∴两直线的交点的横坐标为1,若a>0,则一次函数y=ax+a2与y=a2x+a的图象都经过第一、二、三象限,若a<0,则一次函数y=ax+a2中,a<0,a2>0,图象经过第一、二、四象限,y=a2x+a中,a2>0,a<0,图象经过第一、三、四象限,且两直线的交点的横坐标为1.故选D.
13.A　∵两个一次函数y1,y2的图象相互平行,∴k1=k2,即,解得m=-2,故选A.
14.
解析　①当a>0时,y随x的增大而增大,则当x=4时,y有最大值7,把x=4,y=7代入函数关系式得7=4a-a+2,解得a=;②当a<0时,y随x的增大而减小,则当x=-1时,y有最大值7,把x=-1,y=7代入函数关系式得7=-a-a+2,解得a=-,所以a=.
15.(1)m=3　(2)m=-1　(3)2解析　(1)∵一次函数y=(2-m)x+m-3的图象经过原点,∴2-m≠0且m-3=0,解得m=3.
(2)∵该函数图象与直线y=3x+5平行,∴2-m=3且m-3≠5,解得m=-1.
(3)∵该函数的图象经过第二、三、四象限,∴2-m<0且m-3<0,解得2(4)∵y=(2-m)x+m-3,∴当x=0时,y=m-3,
由题意,得2-m≠0且m-3<0,解得m<3且m≠2.
(5)∵y=(2-m)x+m-3,∴当x=0时,y=m-3,
由题意,得2-m≠0且|m-3|=2,解得m=5或m=1.
16.解析　(1)∵一次函数的图象与直线y=-2x平行,
∴设一次函数的解析式为y=-2x+b,
∵经过点(-2,2),∴-2×(-2)+b=2,
解得b=-2,∴一次函数的解析式为y=-2x-2.
(2)当x=0时,y=-2;当y=0时,x=-1.∴函数图象经过点(-1,0),(0,-2),函数图象如图.
(3)由(2)易知A(-1,0),B(0,-2),∵点C在x轴上,∴S△ABC=AC×2=AC,
∵S△ABC=2,∴AC=2,
∵A(-1,0),∴C(-3,0)或(1,0).
17.解析　(1)设AB所在直线的解析式为y=kx+b,把A(-8,19),B(6,5)代入,得
解得∴AB所在直线的解析式为y=-x+11.
(2)①∵直线y=mx+n经过点(2,0),∴2m+n=0,即n=-2m.
②设光点P击中线段AB上的点为(a,b),则b=-a+11,∴a=11-b(5≤b≤19),当b是整数时,a也是整数,∵点P在y=mx+n上,∴b=ma-2m,
∴m=-1.
∴只有当b=6,8,10,12,18时,m为整数,∴m的个数是5.
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18.解析　(1)①∵点P(-2,3)到x轴、y轴的距离中的最大值为3,∴与点P是“同值点”的点是点E.
②点Q在直线y=x-5上,点Q的坐标中,到x轴、y轴的距离其中至少有一个为3的点有(3,-2)、(-3,-8)、(8,3)、(2,-3),这些点中是P点的“同值点”的是(3,-2)、(2,-3).
(2)∵M1(-1,m1),M2(2,m2)是直线l:y=kx+1(k<0)上的两点,
∴m1=-k+1,m2=2k+1.∵k<0,∴-k+1>2k+1,-k+1>1,2k+1<1.依据“同值点”的定义可得:当-2<2k+1<1时,-k+1=2,解得k=-1,∵k=-1时,2k+1=-1,-2<-1<1,∴k=-1;当-k+1≥2时,-k+1=-2k-1,解得k=-2,-k+1=3>2.
综上所述,k的值为-1或-2.

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