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复习讲义：平面向量的线性运算及其应用
题型一 向量的线性运算
【1】如图所示，在平行四边形中，等于( )
A. B. C. D.
【2】设是平行四边形的对角线的交点，为任意一点（且不与重合），则等于（ ）
A． B． C． D．
【3】若是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【4】（多选题）四式能化简为的是 （ ）
A． B．
C． D．
【5】化简： （1）＋＋； （2）＋＋＋＋.
（3）(＋)＋＋. （4）＋＋－－．
（5）；
题型二 平面向量的基底表示
【6】在△ABC中，A＝a，A＝b，且A＝A，B＝B，则M＝( )
A．a＋b B．a＋b C．－a－b D．－a－b
【7】在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是OB的中点，若＝a，＝b，则等于( )
A．－a＋b B．a－b C．a＋b D．－a－b
【8】如图，四边形是以向量，为边的平行四边形，又，，试用、表示、、.
【9】点，，分别是三边，，的中点，求证：
（1）． （2）．
题型三 平面向量与几何图形
【10】已知是四边形所在平面上任一点，则四边形一定为
A．菱形 B．任意四边形 C．平行四边形 D．矩形
【11】在上，点满足，则
A．点不在直线上 B．点在的延长线上
C．点在线段上 D．点在的延长线上
【12】已知||＝||＝，且∠AOB＝120°，则|＋|＝________.
【13】若||＝5，||＝8，则||的取值范围是( )
A．[3，8] B．(3，8) C．[3，13] D．(3，13)
题型四 共线向量及其应用
【14】已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线；
【15】已知向量为平面内所有向量的一组基底，且，则四点中一定共线的三点是_____.
【16】（1）若与共线，求实数的值；
（2）若，且三点共线，求实数的值.
【17】在四面体中，点，分别为，的中点，若，且，，三点共线，则
A． B． C． D．
【18】已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是( )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1
【19】在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【20】如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为_____．复习讲义 平面向量的线性运算及其应用
题型一 向量的线性运算
【1】如图所示，在平行四边形中，等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为在平行四边形中，，所以，
所以，故选C.
【2】设是平行四边形的对角线的交点，为任意一点（且不与重合），则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵为任意一点，不妨把A点看成O点，则，
∵是平行四边形的对角线的交点，故选：D．
【3】若是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由向量的减法知，故选B.
【4】（多选题）四式能化简为的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】，，，故B、C、D都能化简为，只有A项，化简结果不是，故选BCD.
【5】化简： （1）＋＋； （2）＋＋＋＋.
（3）(＋)＋＋. （4）＋＋－－．
（5）；
【答案】（1）（2）（3）（4）(5)
【解析】（1）＋＋＝＋＋＝＋＝.
（2）＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋
＝＋＋＝＋＝0.
（3） (＋)＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
（4）＋＋－－＝＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋D
＝＋＋＝＋＋＝0＋＝．
（5）原式．
题型二 平面向量的基底表示
【6】在△ABC中，A＝a，A＝b，且A＝A，B＝B，则M＝( )
A．a＋b B．a＋b C．－a－b D．－a－b
【答案】A
【解析】如图所示，
M＝M＋B＝A＋B＝a＋(b－a)＝a＋b.
【7】在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是OB的中点，若＝a，＝b，则等于( )
A．－a＋b B．a－b C．a＋b D．－a－b
【答案】D
【解析】如图
∵E是OB的中点，∴＝＝－＝－b，
∴＝＋＝－＋＝－a－b.
【8】如图，四边形是以向量，为边的平行四边形，又，，试用、表示、、.
【答案】；；
【解析】，，，
．
．
，，
．
．
【9】点，，分别是三边，，的中点，求证：
（1）． （2）．
【证明】（1）由向量加法的三角形法则得，，
同理可得，，，
（2）由向量加法的三角形法则得，，
同理可得，，，
左边①，
点，，分别是三边，，的中点，
，代入①得，左边，
又，左边右边，故等式成立．
题型三 平面向量与几何图形
【10】已知是四边形所在平面上任一点，则四边形一定为
A．菱形 B．任意四边形 C．平行四边形 D．矩形
【分析】根据和可得且即可判断该四边形．
【答案】由得，
又所以且，
四边形为平行四边形．故选：．
【11】在上，点满足，则
A．点不在直线上 B．点在的延长线上
C．点在线段上 D．点在的延长线上
【答案】；
如图，作，连接，则：；
和重合；
点在的延长线上．故选：．
【12】已知||＝||＝，且∠AOB＝120°，则|＋|＝________.
【答案】
【解析】以，为邻边作 OACB，
∵||＝||，∴ OACB为菱形，
∴|＋|＝||，
∵∠AOB＝120°，∴△OAC为正三角形，∴||＝.
【13】若||＝5，||＝8，则||的取值范围是( )
A．[3，8] B．(3，8) C．[3，13] D．(3，13)
【答案】C
【解析】∵||＝|－|且|||－|||≤|－|≤||＋||，
∴3≤|－|≤13，∴3≤||≤13，故选C．
题型四 共线向量及其应用
【14】已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线；
【解析】证明：∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，∴＝－＝e1－4e2.
又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴＝2，∴∥.
∵AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线．
【15】已知向量为平面内所有向量的一组基底，且，则四点中一定共线的三点是_____.
【答案】
【解析】，
所以三点共线.故答案为
【16】（1）若与共线，求实数的值；
（2）若，且三点共线，求实数的值.
【解析】（1）设，则
解得或 所以实数的值为.
（2），
因为三点共线，所以与共线.
从而存在实数使，即，
得解得所以.
【17】在四面体中，点，分别为，的中点，若，且，，三点共线，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若，，三点共线，
则存在实数使得成立，
所以，可得，所以，可得.故选：B
【18】已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是( )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1
【答案】D
【解析】由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得＝t，
所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，
即可得所以λμ＝1，故选D.
【19】在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，△ABC中，，
∴（），
又点E在线段AD（不含端点）上移动，
设k，0＜k＜1，∴，
又，∴，∴．∵在（0，1）上单调递减，
∴λ取值范围为（，+∞），故选：C．
【20】如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】根据条件：，； 又；∴；
又M，G，N三点共线；∴1；
∵x＞0，y＞0；∴3x+y＝（3x+y）（）2；
3x+y的最小值为．当且仅当时“=”成立．故答案为：．

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