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辽宁省大连市高新园区名校联盟2021-2022学年八年级下学期4月月考数学试题
一、单选题
1．（2021八下·北京开学考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A. = ，该选项不符合题意，
B. 是最简二次根式，该选项符合题意，
C. = ，该选项不符合题意，
D. =2 ，该选项不符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断选项，即可得到答案．
2．（2021八上·驻马店期末）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．1， ， C．4，5，6 D．12，15，20
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、 ，
不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、 ，
能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、 ，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、 ，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的三边关系定理排除选项A；再利用勾股定理的逆定理分别求出选项B，C，D中的较小两条线段的平方和和最大线段的平方，然后根据若较小两条线段的平方和=最大线段的平方，就能能构成直角三角形，可得答案.
3．（2022八下·长兴开学考）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，A选项不符合题意；
B、B选项不符合题意；
C、，C选项符合题意；
D、，D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式加（减）法法则，将各个二次根式分别化为最简二次根式，再合并同类二次根式，合并的时候只把系数相加减，根指数及被开方数都不变，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此即可判断A、B；根据二次根式乘法法则，两个数的算术平方根的积，等于这两个数的积的算术平方根，可判断C；两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根，据此即可判断D.
4．（2022八下·大连月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以AB为边作正方形ABDE，则正方形ABDE的面积为（　　）
A．5 B．9 C．16 D．25
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝，
∴正方形ABDE的面积＝AB2＝52＝25，
故答案为：D．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用正方形的面积公式求出答案即可。
5．（2022八下·大连月考）下列各式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：
∴与是同类二次根式的是
故答案为：B．
【分析】先将各选项化简，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可。
6．（2022八下·大连月考）在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为5，那么这个直角三角形的面积是（　　）
A．30 B．40 C．50 D．60
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理可得：
另一条直角边长为：，
∴，
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出另一条直角边，再利用三角形的面积公式求解即可。
7．（2016八上·通许期末）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（　　）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
根据勾股定理可以得到：AC=BC= ，AB= ．
∵（ ）2+（ ）2=（ ）2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理求出AC=BC的值，再根据勾股定理的逆定理得到△ABC是等腰直角三角形，求出∠ABC的度数.
8．（2020·呼伦贝尔）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 的结果是（　　）
A． B．-1 C．1 D．
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由图知：1＜a＜2，
∴a 1＞0，a 2＜0，
原式＝a 1- ＝a 1＋（a 2）＝2a 3．
故答案为：D．
【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a 1）和（a 2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
9．（2022八下·大连月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以点A为圆心，以长为半径画弧交x轴上点C，则点C的坐标为（　　）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【知识点】点的坐标；勾股定理
【解析】【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（ 3，0）、（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝5，
∵以A为圆心作圆，与x轴交于C，
∴AC＝AB=5，
∴C点坐标为（2，0）或（ 8，0）．
故答案为：D．
【分析】以A为圆心作圆，与x轴交于C，可得AC＝AB=5，再求出点C的坐标即可。
10．（2022八下·大连月考）下列命题：①全等三角形的对应角相等；②一个正数的绝对值等于本身；③若三角形的三边长、、满足，则该三角形是直角三角形；④等边三角形的三个内角都等于．其中逆命题是真命题的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：全等三角形的对应角相等的逆命题是对角线相等的三角形是全等三角形，
逆命题是假命题，不符合题意；
一个正数的绝对值等于本身的逆命题是绝对值等于本身的是正数，
逆命题是假命题，不符合题意；
若三角形的三边长、、满足，则该三角形是直角三角形的逆命题是直角三角形的三边长、、满足，
是真命题，符合题意；
等边三角形的三个内角都等于的逆命题是三个内角都等于的三角形是等边三角形，
是真命题，符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用逆命题和真命题的定义逐项判断即可。
二、填空题
11．（2021八上·德江期末）若式子 有意义，则实数 的取值范围是　 　.
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式中被开方数 ，所以x≥3.
故答案为：x≥3.
【分析】要使二次根式有意义，则被开方数≥0，建立关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
12．（2022八下·大连月考）在△ABC中，∠C=90°，，则=　 　．
【答案】8
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】在直角三角形中，
因为∠C=90°，，
所以，
所以，
故答案为：8．
【分析】利用勾股定理可得，再将其代入计算即可。
13．（2021八上·香坊期末）已知长方形的面积为12，共中一边长为 ，则该长方形的另一边长为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得： ，
故答案为： ．
【分析】根据 长方形的面积为12，共中一边长为 ， 求解即可。
14．（2020八下·邹平期末）在《九章算术》中有一个问题（如图)：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何 它的意思是：一根竹子原高一丈（ 尺)，中部一处折断，竹梢触地面处离竹根 尺，试问折断处离地面　 　尺．
【答案】4.55
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：
，
解得：x=4.55，
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
【分析】设折断处离地面x尺，根据题意，利用勾股定理列出方程求解即可。
15．（2022八下·大连月考）已知，，则　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴x+y=2，xy=3-1=2，
∴，
故答案为：．
【分析】将x、y的值代入计算即可。
16．（2022八下·大连月考）如图，在中，，，，点在上，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边上的点处，则折痕的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理可得：AB=10，
∵△ADC’是由△ADC沿BD折叠得到的，且C’在AB上，
∴BC’=BC=6，DC’=DC，∠AC’D=∠C=90°，
∴AC’=AB-BC’=10-6=4，
设CD=x，则AD=AC-CD=8-x，DC’=DC=x，
∴在Rt△ADC’中，由勾股定理可得：，解得：，
∴DC=DC’=3，
∴在Rt△BDC中，由勾股定理可得：.
【分析】设CD=x，则AD=AC-CD=8-x，DC’=DC=x，利用勾股定理可得，求出x的值，可得DC=DC’=3，最后利用勾股定理求出BD的长即可。
三、解答题
17．（2022八下·大连月考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】先利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的加减法计算即可。
18．（2022八下·大连月考）已知x＝-1，求代数式（3+2）x2+（+1）x+的值．
【答案】解：∵x＝-1，
∴（3+2）x2+（+1）x+
＝（3+2）（-1）2+（+1）（-1）+
＝（3+2）（3-2）+2-1+
＝9-8+1+
＝2+；
【知识点】代数式求值；二次根式的混合运算
【解析】【分析】将x的值代入（3+2）x2+（+1）x+，再利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。
19．（2022八下·大连月考）如图，在中，于点，，，求与的长．
【答案】解：，，，，
，
在中，
由勾股定理得：，
在中，
由勾股定理得：，
．
答：的长为25，的长为15．
【知识点】勾股定理；线段的计算
【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC和AD的长，再利用线段的和差求出AB的长即可。
20．（2021八下·兰山期末）如图所示，一架25米长的梯子AC斜靠在一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C到墙的距离BC为7米．
（1）求这个梯子的顶端距地面的高度AB的长；
（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑4米到点 ，小明说梯子的底端C在水平方向向右也滑动4米．你认为小明说的对吗 请说明你的理由．
【答案】（1）解：根据勾股定理：梯子顶端距离地面的高度为：
（2）解：小明说的不对，理由如下：梯子下滑了4米，即梯子顶端距离地面的高度为 ，
根据勾股定理得： ，解得= ．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】本题是勾股定理的实际应用，要注意准确找出直角边和斜边
21．（2022八下·肇源期末）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？
【答案】解：依题意可知：∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，（海里），BC＝17海里，
∴AB＝＝＝15（海里），
∴乙船的航速为（海里/时）．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】利用勾股定理先求出AB=15海里，再计算求解即可。
22．（2022八下·大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如，，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）的有理化因式可以是　 　，分母有理化得　 　．
（2）计算：
①．
②已知：，，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：①原式；
，，
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1），
的有理化因式可以是；
；
故答案为：；；
【分析】（1）利用分母有理数的计算方法求解即可；
（2）①先利用分母有理化的计算方法化简，再计算即可；
②先将x、y化简，再将其代入计算即可。
23．（2022八下·大连月考）在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．
（1）求证：∠AEB=∠ACF；
（2）求证：EF2+BF2=2AC2．
【答案】（1）证明：如图，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAF=∠CAF
在△BAF和△CAF中
∴△BAF≌△CAF（SAS），
∴∠ABF=∠ACF
∵AB=AC，△ACE是等腰直角三角形，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠AEB=∠ACF；
（2）证明：∵△BAF≌△CAF，
∴BF=CF
∵∠AGF=∠AEB+∠EAG
∠AGF=∠ACF+∠CFG且∠AEB=∠ACF，
∴∠CFG=∠EAG=90°，
∴EF +BF =EF +CF =EC
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠CAE=90°，AC=AE，
∴EC2=AC +AE =2AC
即EF +BF =2AC .
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证明△BAF≌△CAF，可得∠ABF=∠ACF，再结合AB=AC，△ACE是等腰直角三角形，可得∠ABE=∠AEB，最后利用等量代换可得∠AEB=∠ACF；
（2）先求出∠CFG=∠EAG=90°，可得EF +BF =EF +CF =EC ，再结合∠CAE=90°，AC=AE，利用等量代换可得EF2+BF2=2AC2。
24．（2022八下·大连月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　；
（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：．
【答案】（1）m2+6n2；2mn
（2）解：∵，
∴a＝m2+3n2，mn＝2，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或7
（3）解：∵，
则
【知识点】二次根式的性质与化简；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn．
故答案为：m2+6n2，2mn；
【分析】（1）利用完全平方公式展开，再利用待定系数法可得a、b的值；
（2）方法同（1），先展开，再利用待定系数法求解即可；
（3）参照题干中的计算方法求解即可。
25．（2022八下·大连月考）如图，在等腰中，，，动点由点出发，沿边以的速度运动到点停止，过作交或边于点，过点作的平行线与过点作的平行线交于点．
（1）填空：　 　cm；
（2）当点在边上时，求的值；
（3）与重合部分图形的面积为S，用含的代数式表示，并直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：如图，是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：当时，重合部分的面积为的面积，
；
当时，如图所示，设，分别交于点，，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
当时，如图所示，
．
综上所述，
【知识点】分段函数；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）∵在等腰中，，，
，
故答案为：；
【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）先证明 是等腰直角三角形，再求出，结合，可得，最后求出t的值即可；
（3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，再分别求出函数解析式即可。
26．（2022八下·大连月考）如图，在中，，，点在延长线，，点在边上，四边形为正方形．
（1）填空：　 　；
（2）求的值；
（3）连结交于点，如图，探究、、三条线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）15
（2）解：如图1，过点作于，
则，
设，
，
，
在中，，
，
，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
（3）解：，理由如下：
如图，过作于，于，
设，
四边形为正方形，
，，
由（1）可知，，
，
在中，，
，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
由（2）可知，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
即、、三条线段之间的数量关系为：．
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；四边形的综合
【解析】【解答】（1），，
，
，
，
故答案为：15；
【分析】（1）利用角的运算方法求出的度数即可；
（2）过点作于，先证明是等腰直角三角形，可得，再结合，即可得到；
（3）过作于，于，先证明是等腰直角三角形，可得，利用勾股定理求出，利用线段的和差求出BM的长，再证明是等腰直角三角形，可得，再结合 ，， 即可得到，从而得解。
1 / 1辽宁省大连市高新园区名校联盟2021-2022学年八年级下学期4月月考数学试题
一、单选题
1．（2021八下·北京开学考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021八上·驻马店期末）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．1， ， C．4，5，6 D．12，15，20
3．（2022八下·长兴开学考）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2022八下·大连月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以AB为边作正方形ABDE，则正方形ABDE的面积为（　　）
A．5 B．9 C．16 D．25
5．（2022八下·大连月考）下列各式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2022八下·大连月考）在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为5，那么这个直角三角形的面积是（　　）
A．30 B．40 C．50 D．60
7．（2016八上·通许期末）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（　　）
A．90° B．60° C．45° D．30°
8．（2020·呼伦贝尔）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 的结果是（　　）
A． B．-1 C．1 D．
9．（2022八下·大连月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以点A为圆心，以长为半径画弧交x轴上点C，则点C的坐标为（　　）
A． B．
C． D．或
10．（2022八下·大连月考）下列命题：①全等三角形的对应角相等；②一个正数的绝对值等于本身；③若三角形的三边长、、满足，则该三角形是直角三角形；④等边三角形的三个内角都等于．其中逆命题是真命题的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021八上·德江期末）若式子 有意义，则实数 的取值范围是　 　.
12．（2022八下·大连月考）在△ABC中，∠C=90°，，则=　 　．
13．（2021八上·香坊期末）已知长方形的面积为12，共中一边长为 ，则该长方形的另一边长为　 　．
14．（2020八下·邹平期末）在《九章算术》中有一个问题（如图)：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何 它的意思是：一根竹子原高一丈（ 尺)，中部一处折断，竹梢触地面处离竹根 尺，试问折断处离地面　 　尺．
15．（2022八下·大连月考）已知，，则　 　．
16．（2022八下·大连月考）如图，在中，，，，点在上，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边上的点处，则折痕的长为　 　.
三、解答题
17．（2022八下·大连月考）计算：
（1）；
（2）．
18．（2022八下·大连月考）已知x＝-1，求代数式（3+2）x2+（+1）x+的值．
19．（2022八下·大连月考）如图，在中，于点，，，求与的长．
20．（2021八下·兰山期末）如图所示，一架25米长的梯子AC斜靠在一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C到墙的距离BC为7米．
（1）求这个梯子的顶端距地面的高度AB的长；
（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑4米到点 ，小明说梯子的底端C在水平方向向右也滑动4米．你认为小明说的对吗 请说明你的理由．
21．（2022八下·肇源期末）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？
22．（2022八下·大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如，，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）的有理化因式可以是　 　，分母有理化得　 　．
（2）计算：
①．
②已知：，，求的值．
23．（2022八下·大连月考）在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．
（1）求证：∠AEB=∠ACF；
（2）求证：EF2+BF2=2AC2．
24．（2022八下·大连月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　；
（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：．
25．（2022八下·大连月考）如图，在等腰中，，，动点由点出发，沿边以的速度运动到点停止，过作交或边于点，过点作的平行线与过点作的平行线交于点．
（1）填空：　 　cm；
（2）当点在边上时，求的值；
（3）与重合部分图形的面积为S，用含的代数式表示，并直接写出的取值范围．
26．（2022八下·大连月考）如图，在中，，，点在延长线，，点在边上，四边形为正方形．
（1）填空：　 　；
（2）求的值；
（3）连结交于点，如图，探究、、三条线段之间的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A. = ，该选项不符合题意，
B. 是最简二次根式，该选项符合题意，
C. = ，该选项不符合题意，
D. =2 ，该选项不符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断选项，即可得到答案．
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、 ，
不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、 ，
能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、 ，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、 ，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的三边关系定理排除选项A；再利用勾股定理的逆定理分别求出选项B，C，D中的较小两条线段的平方和和最大线段的平方，然后根据若较小两条线段的平方和=最大线段的平方，就能能构成直角三角形，可得答案.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，A选项不符合题意；
B、B选项不符合题意；
C、，C选项符合题意；
D、，D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式加（减）法法则，将各个二次根式分别化为最简二次根式，再合并同类二次根式，合并的时候只把系数相加减，根指数及被开方数都不变，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此即可判断A、B；根据二次根式乘法法则，两个数的算术平方根的积，等于这两个数的积的算术平方根，可判断C；两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根，据此即可判断D.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝，
∴正方形ABDE的面积＝AB2＝52＝25，
故答案为：D．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用正方形的面积公式求出答案即可。
5．【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：
∴与是同类二次根式的是
故答案为：B．
【分析】先将各选项化简，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可。
6．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理可得：
另一条直角边长为：，
∴，
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出另一条直角边，再利用三角形的面积公式求解即可。
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
根据勾股定理可以得到：AC=BC= ，AB= ．
∵（ ）2+（ ）2=（ ）2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理求出AC=BC的值，再根据勾股定理的逆定理得到△ABC是等腰直角三角形，求出∠ABC的度数.
8．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由图知：1＜a＜2，
∴a 1＞0，a 2＜0，
原式＝a 1- ＝a 1＋（a 2）＝2a 3．
故答案为：D．
【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a 1）和（a 2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
9．【答案】D
【知识点】点的坐标；勾股定理
【解析】【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（ 3，0）、（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝5，
∵以A为圆心作圆，与x轴交于C，
∴AC＝AB=5，
∴C点坐标为（2，0）或（ 8，0）．
故答案为：D．
【分析】以A为圆心作圆，与x轴交于C，可得AC＝AB=5，再求出点C的坐标即可。
10．【答案】C
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：全等三角形的对应角相等的逆命题是对角线相等的三角形是全等三角形，
逆命题是假命题，不符合题意；
一个正数的绝对值等于本身的逆命题是绝对值等于本身的是正数，
逆命题是假命题，不符合题意；
若三角形的三边长、、满足，则该三角形是直角三角形的逆命题是直角三角形的三边长、、满足，
是真命题，符合题意；
等边三角形的三个内角都等于的逆命题是三个内角都等于的三角形是等边三角形，
是真命题，符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用逆命题和真命题的定义逐项判断即可。
11．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式中被开方数 ，所以x≥3.
故答案为：x≥3.
【分析】要使二次根式有意义，则被开方数≥0，建立关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
12．【答案】8
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】在直角三角形中，
因为∠C=90°，，
所以，
所以，
故答案为：8．
【分析】利用勾股定理可得，再将其代入计算即可。
13．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得： ，
故答案为： ．
【分析】根据 长方形的面积为12，共中一边长为 ， 求解即可。
14．【答案】4.55
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：
，
解得：x=4.55，
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
【分析】设折断处离地面x尺，根据题意，利用勾股定理列出方程求解即可。
15．【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴x+y=2，xy=3-1=2，
∴，
故答案为：．
【分析】将x、y的值代入计算即可。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理可得：AB=10，
∵△ADC’是由△ADC沿BD折叠得到的，且C’在AB上，
∴BC’=BC=6，DC’=DC，∠AC’D=∠C=90°，
∴AC’=AB-BC’=10-6=4，
设CD=x，则AD=AC-CD=8-x，DC’=DC=x，
∴在Rt△ADC’中，由勾股定理可得：，解得：，
∴DC=DC’=3，
∴在Rt△BDC中，由勾股定理可得：.
【分析】设CD=x，则AD=AC-CD=8-x，DC’=DC=x，利用勾股定理可得，求出x的值，可得DC=DC’=3，最后利用勾股定理求出BD的长即可。
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】先利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的加减法计算即可。
18．【答案】解：∵x＝-1，
∴（3+2）x2+（+1）x+
＝（3+2）（-1）2+（+1）（-1）+
＝（3+2）（3-2）+2-1+
＝9-8+1+
＝2+；
【知识点】代数式求值；二次根式的混合运算
【解析】【分析】将x的值代入（3+2）x2+（+1）x+，再利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。
19．【答案】解：，，，，
，
在中，
由勾股定理得：，
在中，
由勾股定理得：，
．
答：的长为25，的长为15．
【知识点】勾股定理；线段的计算
【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC和AD的长，再利用线段的和差求出AB的长即可。
20．【答案】（1）解：根据勾股定理：梯子顶端距离地面的高度为：
（2）解：小明说的不对，理由如下：梯子下滑了4米，即梯子顶端距离地面的高度为 ，
根据勾股定理得： ，解得= ．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】本题是勾股定理的实际应用，要注意准确找出直角边和斜边
21．【答案】解：依题意可知：∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，（海里），BC＝17海里，
∴AB＝＝＝15（海里），
∴乙船的航速为（海里/时）．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】利用勾股定理先求出AB=15海里，再计算求解即可。
22．【答案】（1）；
（2）解：①原式；
，，
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1），
的有理化因式可以是；
；
故答案为：；；
【分析】（1）利用分母有理数的计算方法求解即可；
（2）①先利用分母有理化的计算方法化简，再计算即可；
②先将x、y化简，再将其代入计算即可。
23．【答案】（1）证明：如图，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAF=∠CAF
在△BAF和△CAF中
∴△BAF≌△CAF（SAS），
∴∠ABF=∠ACF
∵AB=AC，△ACE是等腰直角三角形，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠AEB=∠ACF；
（2）证明：∵△BAF≌△CAF，
∴BF=CF
∵∠AGF=∠AEB+∠EAG
∠AGF=∠ACF+∠CFG且∠AEB=∠ACF，
∴∠CFG=∠EAG=90°，
∴EF +BF =EF +CF =EC
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠CAE=90°，AC=AE，
∴EC2=AC +AE =2AC
即EF +BF =2AC .
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证明△BAF≌△CAF，可得∠ABF=∠ACF，再结合AB=AC，△ACE是等腰直角三角形，可得∠ABE=∠AEB，最后利用等量代换可得∠AEB=∠ACF；
（2）先求出∠CFG=∠EAG=90°，可得EF +BF =EF +CF =EC ，再结合∠CAE=90°，AC=AE，利用等量代换可得EF2+BF2=2AC2。
24．【答案】（1）m2+6n2；2mn
（2）解：∵，
∴a＝m2+3n2，mn＝2，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或7
（3）解：∵，
则
【知识点】二次根式的性质与化简；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn．
故答案为：m2+6n2，2mn；
【分析】（1）利用完全平方公式展开，再利用待定系数法可得a、b的值；
（2）方法同（1），先展开，再利用待定系数法求解即可；
（3）参照题干中的计算方法求解即可。
25．【答案】（1）
（2）解：如图，是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：当时，重合部分的面积为的面积，
；
当时，如图所示，设，分别交于点，，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
当时，如图所示，
．
综上所述，
【知识点】分段函数；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）∵在等腰中，，，
，
故答案为：；
【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）先证明 是等腰直角三角形，再求出，结合，可得，最后求出t的值即可；
（3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，再分别求出函数解析式即可。
26．【答案】（1）15
（2）解：如图1，过点作于，
则，
设，
，
，
在中，，
，
，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
（3）解：，理由如下：
如图，过作于，于，
设，
四边形为正方形，
，，
由（1）可知，，
，
在中，，
，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
由（2）可知，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
即、、三条线段之间的数量关系为：．
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；四边形的综合
【解析】【解答】（1），，
，
，
，
故答案为：15；
【分析】（1）利用角的运算方法求出的度数即可；
（2）过点作于，先证明是等腰直角三角形，可得，再结合，即可得到；
（3）过作于，于，先证明是等腰直角三角形，可得，利用勾股定理求出，利用线段的和差求出BM的长，再证明是等腰直角三角形，可得，再结合 ，， 即可得到，从而得解。
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