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分离参数法
知识与方法
分离参数法解决恒成立求参问题,可以有两个角度:全分离和半分离.
1.全分离参数法
将含参表达式中的参数从表达式中完全分离出来,使所研究的函数由动态变为定态,进而可得到新函数的图像、性质(最值),将求参数的范围问题转化为求函数的最值或值域问题.在分离参数时,需点睛意:(1)参数系数的正负是否确定;(2)分参后目标函数的最值是否易解,若不易解,极可能需要洛必达法则辅助.
2.半分离参数法
其一般步骤为:将不等式变形为或的形式(其中为参数,为常数),然后画出图像,由图像的上下方关系得到不等式,从而求得参数的取值范围.不等号前后两个函数的图像特征为:直线与曲线,而直线过定点.
需要说明的是:半分离参数法一般只适用于客观题,解答题则不宜使用.
典型例题
全分离参数
【例1】已知函数.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)当时,,求的取值范围.
【解析】(1)当时,.
当时,单调递减;
当时,单调递增.
所以,当时,在上单调递减,在上单调递增.
(2)解法1:分离参数法
当时,.
当时,.
记,
则.
记.
因为,所以,所以在上单调递增,
从而,所以在单调递增,所以.
令,解得.
当时,单调递增;
当时,单调递减.
所以在处取得最大值,从而.
综上,实数的取值范围是.
解法2:指数找朋友
等价于.
设,
则.
(1)当,即时,
则当时,,所以在单调递增,而,
故当时,,不合题意;
(2)当,即时,
则当时,.
所以在单调递减,在上单调递增.
由于,所以.当且仅当,即.
所以当时,.
(3)若,即时,则.由于),故由(2)可得.故当时,.
综上所述,实数的取值范围是.
【点睛】解决本题的关键在于求导数后的处理.仔细观察导数式中前面的系数为,由此可大胆猜测应该为的一个因式,从而可设,将右侧展开,得,比较两侧的系数,可得,从而.
【例2】设函数.
(1)若,求的单调区间;
(2)若当时,求的取值范围.
【解析】(1)因为时,所以.
当时,;当时,.
故在上单调递减,在上单调递增;
(2)解法1:
由可得,当时,,
即,当且仅当时等号成立.
依题意,当时恒成立,
当时,,此时;
当时,等价于,
令,则,
今,则,
因为,所以在上为增函数,所以,
于是在上为增函数,从而,
因此在上为增函数,
由洛必达法则知,,所以.当时,得,
故当时,,而,于是当时,.
综上得的取值范围是.
解法2:
,由(1)知,当且仅当时等号成立,
故.
当,即时,,
所以在上单调递增,故,即符合题意;
当时,由可得,
所以,
所以,
则当时,在上单调递减,
于是当时,,故不合题意.
综上所述,的取值范围是.
【例3】已知函数.
(1)若,判断在上的单调性;
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
【解析】(1)若.
当时,,,故,
故在上单调递增.
(2)解法1:分离参数隐零点求最值
由题意可知在区间上恒成立,
整理得.
设,
设,则,
所以在上单调递增,
又.
所以函数有唯一的零点,且.
当时,单调递减;
当时,单调递增.
即为在定义域内的最小值.
所以.因为,得
令,方程等价于.
而在上恒大于零,所以在单调递增.
故等价于.
设函数,易知单调递增.
又,
所以为的唯一零点.即.
故的最小值为.
所以,即.
综上,实数的取值范围是.
解法2:分离参数放缩法求最值
由题意可知在区间上恒成立,
即.
利用不等式(当且仅当时,等号成立),可得
,
当且仅当时,等号成立.
所以的最小值为1.
于是,得,实数的取值范围是.
【例4】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若,不等式对恒成立,求的取值范围.
【解析】(1).
①当时,恒成立,所以在单调递增;
②当时,今,得;令,得.
所以的单调递减区间为,单调递增区间为.
③当时,今,得;令,得.
所以的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)因为,所以恒成立.
设,
令,得;令,得.
所以,所以.
取,则,即,
所以.
设,因为,所以方程必有解,
所以当且仅当时,函数取得最小值2,
所以,即的取值范围为.
【点睛】本题在进行分参后,首先证明了一个常用的不等式:
当时,有,接下来利用该不等式直接得到,
从而得出的最小值2.最后证明能够取到最小值.
从而得出实数的取值范围.
本题也可用同构法解决:
,
,
故,即的取值范围为.
换元后分离参数
【例5】已知函数.
(1)若,求的单调区间和极值点;
(2)若时,恒成立,求实数的取值范围.
【解析】(1)时,
所以当.所以的单调递减区间为,单调递增区间为,极大值点为,无极小值点.
(2)解法1:
令,则对于恒成立,
即
易证(过程略),则,
即.
于是,由可得.
令,则.
当时,当时.
所以在上单调递增,在上单调递减,,
所以,实数的取值范围是.
解法
令,则对于恒成立,
即对于恒成立,
设
当时,当时
可得在上递增,在上递减,
所以,则,解得.
故实数的取值范围是.
【点睛】本题第问显然不能直接分离参数,如果利用处理也是十分复杂,于是着眼于简化指数进行换元:令,则对于恒成立.换元之后就可以轻松分离参数了,特别是解法2的处理手法值得回味.
半分离参数
【例6】已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)若在定义域内有唯一零点,求的取值范围;
(2)若在上恒成立,求的取值范围.
【解析】(1),
当时,,所以在上单调递增;
又,
由零点存在定理可知,函数在上有唯一零点.
故符合题意;
当时,令得,
当时,单调递减;
单调递增.
所以,
设,则,
当时,单调递增;
当时,单调递减,
所以,故.
综上:实数的取值范围为或.
(2)解法1:对恒成立,
即对恒成立,
即函数的图像恒在直线的下方.
而,
所以函数是上凸函数,且在处的切线斜率;
直线过定点,鈄率为,故,即的取值范围为.
解法2:
对恒成立,即对恒成立,
记,
①当时,设函数,
则,因此在单调递减,
又,故,
所以,
故对恒成立;
②当时,设函数,
则,所以在单调递减,
且,故.
当时,,
,
取,
则,
所以;
故不合题意.
③当时,取,
则.
故不合题意.
综上,的取值范围为.
【点睛】解法1将不等式进行变形为(其中为参数,为常数),不等号前后两个函数的图像特征为:“一直一曲”,而直线过定点.
半分离参数的方法,通过变形将不等式两边化为一直线与一曲线的形式,再结合图像利用函数凹凸性解决问题,过程简洁快捷.需要指出的是,这种解法只适用于选择题与填空题,不适用于解答题.
解法2是不分离参数,直接构造差函数对参数进行讨论,过程更加严谨,理由更加充分,
是解答题的一般做法.其中讨论的临界点,可以结合解法1的过程而得到.
【例7】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,对任意恒成立,求正整数的最大值.
【解析】(1)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)解法1:全分离
变形为,
令,
令,则,
所以在单调递增,
所以存在唯一,使得,即.
故当时,单调递减;
当时,单调递增.
所以,
即,又,所以,因为,所以.
解法半分离
恒成立,即图像恒在直线的上方.
因为,所以在单调递增,且下凸;
直线过定点.
设过的直线与相切于点,即.
切线斜率为,所以.
由,得,化简整理得,
所以.故.
下面估计的范围.
令,则,
所以在单调递增;
又,所以的唯一零点.
于是,因为,所以.
【点睛】需要点睛意的是,利用半分离参数求解含参问题,需要结合二阶导数研究函数的凹凸性,在解答题中有“以图代证”的嫌疑,因而这个解法一般只适用于选择题或填空题.
【例8】设函数,其中.若存在在唯一的整数使得.则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【解析】解法全分离参数
当时,有,这与题设矛盾,舍去;
当时,有,记,
则,
当时,;当时,,
故在上单调递增,在上单调递减,作出其大致图象如图所示.
由题意知,存在唯一的整数使得,即,
由图易知的取值范围是,选.
解法半分离参数
设,由题意知,存在唯一的整数,使得,,当时,,当时,,则在上单调递减,在上单调递增.作出与的大致图象如图所示.
因为,故只需即可,解得,则的取值范围是,
故选.
强化训练
1.设函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.
(1)求的值;
(2)若时,,求的取值范围.
【解析】(1)(过程略).
(2)由(1)知,,
①当时,,此时恒成立,则;
②当时,可化为:,令,则恒成立,
故在区间上单调递增,当时,取最小值,故;
③当时,可化为:,
令,则,
当时,,当时,,
故当时,取极大值1,故.
综上所述:,即的取值范围是.
2.设函数.
(1)求的单调区间;
(2)若为整数,且当时,,求的最大值.
【解析】(1)当时,在上单调递增,无减区间;
当时,的单调递减区间是,单调递增区间是.
(2)等价于(1),
令,则,
而函数在上单调递增,,
所以在存在唯一的零点.
故在存在唯一的零点.
设此零点为,则.
当时,;当时,.
所以在的最小值为.
又由,可得,所以.
由于(1)式等价于,故整数的最大值为2.
3已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若不等式对任意的都成立(其中是自然对数的底数).求的最大值.
【解析】(1)函数的定义域为,
设,则.
令,则.
当时,在上为增函数,
当时,在上为减函数.
所以在处取得极大值,而,所以,
函数在上为减函数.
于是当时,,
当时,.
所以,当时,在上为增函数.
当时,在上为减函数.
故函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)不等式等价于不等式.
由知,.
设,
则.
由(1)知,,即.
所以,于是在上为减函数.
故函数在上的最小值为.
所以的最大值为.分离参数法
知识与方法
分离参数法解决恒成立求参问题,可以有两个角度:全分离和半分离.
1.全分离参数法
将含参表达式中的参数从表达式中完全分离出来,使所研究的函数由动态变为定态,进而可得到新函数的图像、性质(最值),将求参数的范围问题转化为求函数的最值或值域问题.在分离参数时,需点睛意:(1)参数系数的正负是否确定;(2)分参后目标函数的最值是否易解,若不易解,极可能需要洛必达法则辅助.
2.半分离参数法
其一般步骤为:将不等式变形为或的形式(其中为参数,为常数),然后画出图像,由图像的上下方关系得到不等式,从而求得参数的取值范围.不等号前后两个函数的图像特征为:直线与曲线,而直线过定点.
需要说明的是:半分离参数法一般只适用于客观题,解答题则不宜使用.
典型例题
全分离参数
【例1】已知函数.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)当时,,求的取值范围.
【例2】设函数.
(1)若,求的单调区间;
(2)若当时,求的取值范围.
【例3】已知函数.
(1)若,判断在上的单调性;
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
【例4】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若,不等式对恒成立,求的取值范围.
换元后分离参数
【例5】已知函数.
(1)若,求的单调区间和极值点;
(2)若时,恒成立,求实数的取值范围.
半分离参数
【例6】已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)若在定义域内有唯一零点,求的取值范围;
(2)若在上恒成立,求的取值范围.
【例7】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,对任意恒成立,求正整数的最大值.
【例8】设函数,其中.若存在在唯一的整数使得.则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
强化训练
1.设函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.
(1)求的值;
(2)若时,,求的取值范围.
2.设函数.
(1)求的单调区间;
(2)若为整数,且当时,,求的最大值.
3已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若不等式对任意的都成立(其中是自然对数的底数).求的最大值.

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