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5.4.2 向心加速度
CAOZHONGWULI
第五章 曲线运动
物理
第4节
沪科版 物理 必修二
向心力：作用效果是产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。方向：指向圆心。物体做匀速圆周运动所需向心力大小可以表示为：
向心力的来源：向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
知识回顾
n
热身训练
【难度】★★【答案】D
天宫二号空间实验室在轨飞行时，可以认为它绕地球做匀速圆周运动。尽管线速度大小不变，但方向却时刻在变化，因此，它运动的加速度一定不为0。那么，该如何确定这个加速度的方向和大小呢？
新课引入
探究1 向心力与向心加速度
卫星绕地球做匀速圆周运动时，地球对其万有引力提供向心力；另一方面，卫星的速度不断变化，加速度不为零。那么向心力和这个加速度之间有怎样的关系呢？
知识点一：向心加速度
定义：做匀速圆周运动的物体具有的指向圆心的加速度。
方向：向心加速度总是指向圆心，与线速度方向垂直。
1
2
3
向心加速度的概念
效果：只改变速度的方向，不改变速度的大小。
意义：向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量。
4
5
注意：当ω常数时，a向心与r成正比；当 为常数时，a向心与r成反比。因此，若无条件说明，不能说a向心一定与r 成正比还是反比。
错题精讲
如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝ ，若在传动过程中，皮带不打滑。则 （ ）（多选）
A．A点与C点的角速度大小相等B．A点与C点的线速度大小相等C．B点与C点的角速度大小之比为2∶1D．B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4
【难度】★★【答案】BD【解析】处理传动装置类问题时，对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度相等；同轴转动的点，角速度相等。 vA＝vC，ωA＝ωB，选项B正确；根据vA＝vC及关系式v＝ωR，可得ωARA＝ωCRC，又RC＝RA/2，所以ωA＝ωC/2，选项A错误；根据ωA＝ωB，ωA＝ωC/2，可得ωB＝ωC/2，即B点与C点的角速度大小之比为1∶2，选项C错误；根据ωB＝ωC/2及关系式a＝ω2R，可得aB＝aC/4，即B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4，选项D正确。
匀速圆周运动的加速度 an 方向时刻在变，但大小不变。那么，加速度的大小怎么计算呢
在同一条直线上
　
速度变化量的求解方法　
v1
v2
Δv ＝？
v1
v2
Δv ＝？
v1
v2
Δv ＝？
不在同一条直线上
Δv = v2 v1
知识链接
知识点二 ：向心加速度大小
设质点沿半径为 r 的圆做匀速圆周运动，某时刻位于 A 点，速度为 vA ，经过时间 Δt 后位于 B 点，速度为 vB 。
Δv
O
A
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
vA
Δv
vB
vA
A
O
Δv 逐渐趋向于平行 OA
1. vA 、vB 的长度是否一样？
2. vA 平移时注意什么？
3. 表示什么？
4. Δv 与圆的半径平行吗？在什么条件下， Δv 与圆的半径平行？
结论：当 Δt 很小很小时，Δv 指向圆心
vA
vB
vA
vB
vA
vB
Δv
vA
vB
Δv
O
B
A
vA
vB
vA
Δv
vA、vB、Δv 组成的三角形与 ΔABO 相似
当 Δt 很小很小时，AB = AB = Δl
Δθ
Δθ
结合上节学习的向心力表达式，推导向心加速度的表达式：
向心加速度的表达式：
v 不变时，an与r 成反比
ω 不变时，an 与 r 成正比
an
v2
r
或者 an rω2
从公式 看，an 与 r 成反比，
从公式 an rω2 看，an 与 r 成正比，这两个结论是否矛盾？
an
v2
r
错题精讲
如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是半径3(1)，当大轮边缘上P点的向心加速度是0.6m/s2时，大轮上的S点和小轮上的Q点的向心加速度为aS＝______m/s2，aQ＝______m/s2
【难度】★★【答案】0.2m/s2；1.2m/s2
知识点三 ：水平轨道的匀速圆周运动
一、水平面内的匀速圆周运动规律总结
1、圆锥筒类问题（1）问题概述
（2）两点规律
①稳定状态下，小球所处的位置越高，半径r越大，角速度ω就越小，线速度v就越大。②小球受到的支持力FN＝ 和向心力F向＝ ，并不随位置的变化而变化。
2、圆锥摆问题（1）问题概述
如图所示为圆锥摆模型。向心力
（2）几类问题①摆线的拉力分析摆线的拉力F有两种基本思路：
②周期的计算设悬点到圆心的距离为h，根据牛顿第二定律有
由此可知，当g不变时，圆锥摆的周期只与h有关，与m、L、θ无关。③动态分析
a．根据F向＝mgtanθ＝mω2Lsinθ得cosθ＝ ，故当角速度ω增大时，θ增大，向心力增大，半径增大，周期变小。b．稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝ 和向心力也越大。
二、解决圆周运动问题的主要步骤
1、确定做匀速圆周运动的物体作为研究对象。
2、明确运动情况。包括搞清运动速率v、轨迹半径R及轨迹圆心O的位置等，只有明确了上述几点后，才能知道运动物体在运动过程中所需的向心力大小和方向（指向圆心）。
3、分析受力情况，对物体实际受力情况作出正确的分析，画出受力图，确定指向圆心的合外力F（即提供的向心力）。
下面列出一些圆周运动的实例，请大家对向心力进行分析。
4、代入公式 ，求解在求解匀速圆周运动的问题时，关键是对物体进行受力分析，看是哪一个力或哪几个力的合力来提供向心力
。
错题精讲
1. 如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动。若圆筒和物体以更大的角速度做匀速转动，下列说法正确的是 （ ） A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大B．物体所受弹力增大，摩擦力减小C．物体所受弹力减小，摩擦力也减小D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
【难度】★【答案】D【解析】物体在竖直方向上受重力G与摩擦力F，是一对平衡力，在向心力方向上受弹力FN。根据向心力公式，可知FN＝mω2r，当ω增大时，FN增大，所以应选D。
2. “飞车走壁”是一种传统的杂技艺术，演员骑车在倾角很大的桶面上做圆周运动而不掉下来。如图所示，已知桶壁的倾角为θ，车和人的总质量为m，做圆周运动的半径为r，若使演员骑车做圆周运动时不受桶壁的摩擦力，下列说法正确的是 （ ）
A．桶面对车的弹力为
B．桶面对车的弹力为
C．人和车的速度为
D．人和车的速度为
1.如右图所示，木板B托着木块A在竖直平面内做匀速圆周运动。从水平位置a到最高点 b的过程中（ ）
（A）B对A的支持力越来越大 （B）B对A的支持力越来越小（C）B对A的摩擦力越来越大 （D）B对A的摩擦力越来越小
举一反三
【答案】BD【解析】向心力可以是由一个力或是几个力的合力提供，物体做匀速圆周运动，合外力提供向心力，在水平位置a只有摩擦力提供向心力，支持力和重力相抵消；在最高点b，只有重力和支持力的合力提供向下的向心力，摩擦力为零。因此，从a到b，支持力逐渐变小，而摩擦力逐渐减小到零。
2.如图所示，一光滑轻杆沿水平方向放置，左端O处连接在竖直的转动轴上，a、b为两个可视为质点的小球，穿在杆上，并用细线分别连接Oa和ab，且Oa＝ab，已知b球质量为a球质量的3倍。当轻杆绕O轴在水平面内匀速转动时，Oa和ab两线的拉力之比为 （ ）
A．1∶3 B．1∶6C．4∶3 D．7∶6
【难度】★★【答案】D【解析】设a球质量为m，则b球质量为3m，由牛顿第二定律得：对a球：FOa－Fab＝mω2rOa对b球：Fab＝3mω2（rOa＋rab）由以上两式得，Oa和ab两线的拉力之比为7∶6，D正确。
反思好学
能力拓展
生活中的物理：登山时，登山运动员通常会被一个背囊装东西，那么运动员应该把重物放在背囊底部还是顶部？
【答案】登山时上身稍向前倾，如果把重物放在背囊底部，则重力的作用线常通过人体的脚跟之后，这样，登山时总会觉得有个隐形人把我们向后拉扯，产生后翻的力矩，很不舒服。反之，把重物放在背囊的顶部，则重力的作用线在脚跟范围内，走起来就稳定和舒服。此外，背囊要尽量靠贴背部。
若有所获，请给自己比个

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