资源简介

端点效应法
知识与方法
端点效应法是一种必要性探路法,是指对某些与函数有关的恒成立问题,通过选取函数定义域内的某些特殊值,先得到一个必要条件,初步获得参数的范围,再在该范围内进行讨论,或去验证其充分性,进而得到参数的准确范围的方法.
在验证其充分性的时候,往往需要结合“矛盾区间”进行说明.“端点效应矛盾区间”才是完整的解题过程,其重点在于说明“矛盾”.
需要指出的是,必要性探路的方法求出的结果并不一定就是所求的实际范围,但可以缩小参数的讨论范围,减少分类讨论的类别.
典型例题
【例1】设函数.
（1）若,求的单调区间;
（2）若当时,求的取值范围.
【解析】在上单调递减,在上单调递增.
(2),再次求导可得,点睛意到在上单调递增,
所以,下面根据的正负进行讨论:
(1)当即时,单调递增,所以,
得在单调递增,故,满足题意.
(2)当即时,令,
则当时,单调递减,
此时单调递减,
因此,当时,,即不合题意.
综上所述,的取值范围是.
【点睛】点睛意区间端点0满足当在单调递增时必定满足题意.由,这里得到一个参数的范围,然而,这仅仅是一个必要条件.还需说明当时不合题意,才能得到的取值范围是.两种情形的分类讨论实际上是两次与间的连锁反应:
①当时,在上递增.这是符合题意的“端点效应”产生的连锁反应;
②当时,在上递减.这是不合题意的“端点效应”产生的连锁反应.
结合①②两点,便得参数的准确范围是.
由例1可以看出:所谓的“端点效应法”,是先考虑“端点效应”,再结合“矛盾区间”得出参数的取值范围的方法.“端点效应矛盾区间”,这是一个完整的解题过程,其重点在于“矛盾”而非“端点”.缺少“矛盾区间”说明的解法,得到的仅仅是一个必要条件,显然过程是不完整的.当然,说明“矛盾”的时候,只需举一个反例即可,并非一定要用到“矛盾区间”.
【例2】已知函数既存在极大值,又存在极小值.
(1)求实数的取值范围;
(2)当时,分别为的极大值点和极小值点.且,求实数的取值范围.
【解析】(1),因为存在极大值和极小值,所以方程有两个不等实根,所以且.这是必要条件,下面证明充分性.
令,解得,或,
①当时,,当或时,单调递增;当时,单调递减,
故当时,取得极大值,当时,取得极小值;
②当时,,
所以,当或时,单调递增;
当时,单调递减,
故当时,函数取得极小值,当时,函数取得极大值,
综上所述,的范围为.
(2)当时,由(1)可知的极大值点为,极小值点为,
所以,
因为,令,
因为对任意恒成立,
由于此时在上单调递减,所以,故,
故,即,
设,
当时,,
故在递增,
故,即,符合题意,
当时,,设的两根为,且,
则,故,
则当时,递减,
故当时,,即,矛盾,不合题意,
综上,,即,所以,故的取值范围为.
【例3】已知函数.
(1)探究函数单调性;
(2)若在上恒成立,求实数的取值范围.
【解析】在上单调递减,在上单调递增.
(2)依题意在上恒成立.
令,则,
令,则是上的增函数,即.
①当时,,所以,
因此是上的增函数,则,
因此时,成立.
②当时,令,得,
求得,(由于,所以舍去)
当时,,则在上递减,
当时,,则在上递增,
所以当时,,
因此时,不可能恒成立.
综合上述,实数的取值范围是.
【点睛】第二问讨论的依据是:(1)端点处为(2)得到一个的范围.
【例4】已知函数,当时,关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
【解析】点睛意到,不等式恒成立,则.
而.
下面根据及的正负进行讨论:
①若,则,所以在上单调递减,
得,故在上单调递减,
所以,符合题意;
②若,则,令,得,
则在上单调递增,得,
故在上单调递增,所以,故舍去.
③若,则在上单调递增,同上舍去.
综上所述,实数的取值范围是.
【例5】已知函数为常数.
(1)讨论的单调性;
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
【解析】在单调递减,在单调递增.
(2),
今,
.
由于,由,得,解得.
下证时,恒成立:
由于
令,
从而单调递增,所以,所以,
所以在上单调递增,从而.
符合题意,从而时满足题意;
再证时,不能恒成立:
首先,由,得,所以.当时,则,
当时,,
由,得,
所以时,.从而由零点存在性定理知,存在,使得.当时,,此时,,不合题意.由时,,由,得,所以时,,
从而,由零点存在性定理,存在,
使得,从而当时,,此时,,不符合题意.
综上所述,实数的取值范围是.
【点睛】端点效应的题目一般具有两个特点:
1.区间的端点不等式恰好是等式,例如本例,区间的端点值是,且;
2.对函数求导以后,会发现导函数一般是一个单调函数(要么导函数递增,要么导函数递减),而答案往往就是导函数全部都是非负数(原函数单调递增)或者导函数全部都是非正数(原函数单调递减)时取得.
上述分析我们可以在草稿纸上完成,然后在答题时需按下述步骤进行:
第一,讨论答案是正确的,如本例,我们先证明了时,它是满足题意的,这个说明过程相对简单;
第二,说明答案的反面是错误的,在说明答案的反面错误的时候,务必要使用零点存在性定理“卡”出一个矛盾区间,不要用极限“卡”出区间,这是整个题目的难点.然后再从这个矛盾区间出发,来说明答案不成立.
【例6】已知函数是的导函数.
(1)证明:在区间存在唯一的零点;
(2)若,求的取值范围.
【解析】(1)证明:由题意可知,,
今,则.
当时,,所以在上单调递增;
当时,,所以在上单调递减.
又因为,
所以,使得.所以在上无零点,在上有且只
有一个零点,即在区间上存在唯一的零点.
(2)由题意,令,则,从而有.
解法1:
令,
则,有,
又,
且.
当时,有恒成立,即在上单调递增,从而;
当时,有,故存在,使得,且
单调递增;时,单调递减.
又,从而恒成立.
综上所述,的取值范围是.
解法2:
由(1)知,由,可得.这是必要条件,下面证明充分性.
当单调递增,,即成立;
当时,单调递增,,
即成立;
当时,单调递减,,即成立;
又,
综上所述,当时,对任意,不等式都成立.
故实数的取值范围是.
【点睛】本题第(1)问,判断函数的零点个数问题,只需认真求导即可;第(2)问为恒成立问题,可利用必要性探路法取点,压缩参数的范围,通过特殊值压缩范围,先猜后证,沿着第(1)问的过程走下去,严谨论证.由,推导出后,只需证明符合题意即可.
强化训练
1.设函数.
(1)证明:的导数;
(2)若对任意的,都有,求的取值范围.
【解析】(1)(略);
(2)设,
则.
当时,,所以在上单调递增,
所以.
①当即时,对任意,都有,
所以在上单调递增,故,即符合题意;
②当即时,,
令,得,解得.
则当时,单调递减,
此时,不合题意.
综上,实数的取值范围是.
2.设函数,其中是的导函数.
若恒成立,求实数的取值范围.
【解析】求导得.
即.
记,则恒成立,点睛意到.
,
点睛意到分子在上单增,
且,故分类讨论如下(讨论的标准是的正负):
若,则,得在上单增,有,
符合题意;
若,则当时,,得在上单减,
有,舍去;
综上,的取值范围是.
3.已知函数,当时,,求实数的取值范围.
【解析】;
,
记,判别式,
下面根据及的正负进行讨论:
当时,,不合题意;
若,则在上单调递增,得,
即,得在上单调递增,有,不符合题意,舍去;
若,则在上单调递减,
今得.
当时,,即,
得在上单调递增,有,不合题意,舍去;
若,则在上单调递减,有,即,
于是在上单调递减,故,符合题意.
综上所述,实数的取值范围是.
4.设函数.
(1)求的单调区间;
(2)如果对任何,都有,求的取值范围.
【解析】(1).
当时,,即；
当时,,即.
因此在上单调递增,在上单调递减.
(2)令,
则.
点睛意到,
①当时,,所以在单调递增,
所以当时,,即,即符合题意.
②当时,令,则.
故当时,.
因此在,上单调增加.
故当时,,即.
于是,当时,,故不合题意.
③当时,有,故不合题意.
因此,的取值范围是.端点效应法
知识与方法
端点效应法是一种必要性探路法,是指对某些与函数有关的恒成立问题,通过选取函数定义域内的某些特殊值,先得到一个必要条件,初步获得参数的范围,再在该范围内进行讨论,或去验证其充分性,进而得到参数的准确范围的方法.
在验证其充分性的时候,往往需要结合“矛盾区间”进行说明.“端点效应矛盾区间”才是完整的解题过程,其重点在于说明“矛盾”.
需要指出的是,必要性探路的方法求出的结果并不一定就是所求的实际范围,但可以缩小参数的讨论范围,减少分类讨论的类别.
典型例题
【例1】设函数.
（1）若,求的单调区间;
（2）若当时,求的取值范围.
【例2】已知函数既存在极大值,又存在极小值.
(1)求实数的取值范围;
(2)当时,分别为的极大值点和极小值点.且,求实数的取值范围.
【例3】已知函数.
(1)探究函数单调性;
(2)若在上恒成立,求实数的取值范围.
【例4】已知函数,当时,关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
【例5】已知函数为常数.
(1)讨论的单调性;
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
【例6】已知函数是的导函数.
(1)证明:在区间存在唯一的零点;
(2)若,求的取值范围.
强化训练
1.设函数.
(1)证明:的导数;
(2)若对任意的,都有,求的取值范围.
2.设函数,其中是的导函数.
若恒成立,求实数的取值范围.
3.已知函数,当时,,求实数的取值范围.
4.设函数.
(1)求的单调区间;
(2)如果对任何,都有,求的取值范围.

展开更多......

收起↑