2023届高考数学二轮复习导数解题方法 第07讲 直接讨论(含解析)

资源下载
  1. 二一教育资源

2023届高考数学二轮复习导数解题方法 第07讲 直接讨论(含解析)

资源简介

直接讨论
知识与方法
直接讨论法是指在证明不等式时,可以通过求导得到函数的极值或最值,再对极值或最值进行讨论或比较的方法,关键在于求得极值点的过程,常用的手段为观察法、因式分解法、求根公式法等,对于有时无法求出极值点的情况,还可以借助于零点存在性定理进行讨论,进而研究出函数的最值.
典型例题
【例1】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数,当时,求证:.
【解析】(1)因为的定义域为,且;当时,恒成立,此时的单调递增区间是,无递减区间;当时,当时,单调递增;当时,单调递减.
所以的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)因为,且,
所以,所以在上单调递增.
所以,.
即当时,.
【例2】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,证明:.
【解析】(1)因为,定义域为
所以.
因为,所以当时,,
函数在内单调递减,在内单调递增;
当时,,
函数在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增;
当时,函数在内单调递增;
当时,,函数在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增.
(2)当时,由得,函数在内单调递减,在内单调递增.
函数在内的最小值为.
欲证不等式成立,
即证,即证
因为,所以只需证.
令所以.
所以函数在内单调递减,.
因为,所以.
所以,即当时,成立.
所以当时,.
【例3】已知函数,若曲线在1处的切线方程为.
(1)求实数的值;
(2)若不等式对任意恒成立,求的取值范围;
(3)设,其中,
证明:.
【解析】(1)由,得;
由.
根据题意可得解得;
(2)解法1:直接讨论法
由不等式对任意恒成立知恒成立,
令,显然为偶函数,故当时,恒成立.
显然为上的增函数,故,
即在上单调递增,.
(1)当,即时,,则有在上单调递增,
故,则在上单调递增,故,符合题意;
(2)当,即时,因为,
故存在,使得,
故在上单调递减,在上单调递增,
当时,,故在上单调递减,
故与矛盾.
综上,.
解法2:分离参数法+洛必达法则
由不等式对任意恒成立,知恒成立.
当时,不等式成立;
当时,,
令,由于为偶函数,故只需考虑的情况即可.
当时,.
今,
令,
当时,,故在上单调递增,
故.
因此当时,,故在上单调递增,
即有,故,所以在上单调递增,
由洛必达法则有,故.
(3),
由(2)知,当且仅当时,等号成立;
,当且仅当时,等号成立.
故,当且仅当时等号成立.
因此有
以上个式子相加得
强化训练
1..已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,证明:.
【解析】(1)由,可得
当时,,则函数在上为增函数,
当时,由,可得,由,可得
则函数在上为增函数,在上为减函数;
(2)证明:令,
令,则,
因为,所以
又,所以
所以在上为增函数,则,即,
由,可得,
所以.
2.已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)设,当时,证明:.
【解析】的定义域为,当时,
当时,
所以当时,在上单调递减,在单调递增;
当时,在上单调递增,在单调递减;
(2)证明:设,
则,
因为,所以当时,单调递减;
当时,单调递增,
所以.
设,则,
当时递增;当时递减,
所以,所以,所以即得证.
3..已知函数.
(1)当时,证明:对恒成立;
(2)若函数在存在极大值点,求的最小值.
【解析】(1)当时,,
要证对恒成立,
即证对恒成立,
即证对恒成立,
令,
则,
故在单调递增,
又,故,即,
故在上恒成立;
(2),
所以,
因为在上存在极大值点,
所以是方程的解,
即的解,所以
因为,所以,所以,
故,
设,
则,令,解得:或(舍去),
故当时,;当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
故,
即的最小值为.直接讨论
知识与方法
直接讨论法是指在证明不等式时,可以通过求导得到函数的极值或最值,再对极值或最值进行讨论或比较的方法,关键在于求得极值点的过程,常用的手段为观察法、因式分解法、求根公式法等,对于有时无法求出极值点的情况,还可以借助于零点存在性定理进行讨论,进而研究出函数的最值.
典型例题
【例1】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数,当时,求证:.
【例2】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,证明:.
【例3】已知函数,若曲线在1处的切线方程为.
(1)求实数的值;
(2)若不等式对任意恒成立,求的取值范围;
(3)设,其中,
证明:.
强化训练
1..已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,证明:.
2.已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)设,当时,证明:.
3..已知函数.
(1)当时,证明:对恒成立;
(2)若函数在存在极大值点,求的最小值.

展开更多......

收起↑

资源列表