资源简介 直接讨论知识与方法直接讨论法是指在证明不等式时,可以通过求导得到函数的极值或最值,再对极值或最值进行讨论或比较的方法,关键在于求得极值点的过程,常用的手段为观察法、因式分解法、求根公式法等,对于有时无法求出极值点的情况,还可以借助于零点存在性定理进行讨论,进而研究出函数的最值.典型例题【例1】已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若函数,当时,求证:.【解析】(1)因为的定义域为,且;当时,恒成立,此时的单调递增区间是,无递减区间;当时,当时,单调递增;当时,单调递减.所以的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)因为,且,所以,所以在上单调递增.所以,.即当时,.【例2】已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)当时,证明:.【解析】(1)因为,定义域为所以.因为,所以当时,,函数在内单调递减,在内单调递增;当时,,函数在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增;当时,函数在内单调递增;当时,,函数在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增.(2)当时,由得,函数在内单调递减,在内单调递增.函数在内的最小值为.欲证不等式成立,即证,即证因为,所以只需证.令所以.所以函数在内单调递减,.因为,所以.所以,即当时,成立.所以当时,.【例3】已知函数,若曲线在1处的切线方程为.(1)求实数的值;(2)若不等式对任意恒成立,求的取值范围;(3)设,其中,证明:.【解析】(1)由,得;由.根据题意可得解得;(2)解法1:直接讨论法由不等式对任意恒成立知恒成立,令,显然为偶函数,故当时,恒成立.显然为上的增函数,故,即在上单调递增,.(1)当,即时,,则有在上单调递增,故,则在上单调递增,故,符合题意;(2)当,即时,因为,故存在,使得,故在上单调递减,在上单调递增,当时,,故在上单调递减,故与矛盾.综上,.解法2:分离参数法+洛必达法则由不等式对任意恒成立,知恒成立.当时,不等式成立;当时,,令,由于为偶函数,故只需考虑的情况即可.当时,.今,令,当时,,故在上单调递增,故.因此当时,,故在上单调递增,即有,故,所以在上单调递增,由洛必达法则有,故.(3),由(2)知,当且仅当时,等号成立;,当且仅当时,等号成立.故,当且仅当时等号成立.因此有以上个式子相加得强化训练1..已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)当时,证明:.【解析】(1)由,可得当时,,则函数在上为增函数,当时,由,可得,由,可得则函数在上为增函数,在上为减函数;(2)证明:令,令,则,因为,所以又,所以所以在上为增函数,则,即,由,可得,所以.2.已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)设,当时,证明:.【解析】的定义域为,当时,当时,所以当时,在上单调递减,在单调递增;当时,在上单调递增,在单调递减;(2)证明:设,则,因为,所以当时,单调递减;当时,单调递增,所以.设,则,当时递增;当时递减,所以,所以,所以即得证.3..已知函数.(1)当时,证明:对恒成立;(2)若函数在存在极大值点,求的最小值.【解析】(1)当时,,要证对恒成立,即证对恒成立,即证对恒成立,令,则,故在单调递增,又,故,即,故在上恒成立;(2),所以,因为在上存在极大值点,所以是方程的解,即的解,所以因为,所以,所以,故,设,则,令,解得:或(舍去),故当时,;当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,故,即的最小值为.直接讨论知识与方法直接讨论法是指在证明不等式时,可以通过求导得到函数的极值或最值,再对极值或最值进行讨论或比较的方法,关键在于求得极值点的过程,常用的手段为观察法、因式分解法、求根公式法等,对于有时无法求出极值点的情况,还可以借助于零点存在性定理进行讨论,进而研究出函数的最值.典型例题【例1】已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若函数,当时,求证:.【例2】已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)当时,证明:.【例3】已知函数,若曲线在1处的切线方程为.(1)求实数的值;(2)若不等式对任意恒成立,求的取值范围;(3)设,其中,证明:.强化训练1..已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)当时,证明:.2.已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)设,当时,证明:.3..已知函数.(1)当时,证明:对恒成立;(2)若函数在存在极大值点,求的最小值. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2023届高考数学二轮复习导数经典技巧与方法 第07讲 直接讨论 Word版含解析.docx 2023届高考数学二轮复习导数经典技巧与方法 第07讲 直接讨论 Word版无答案.docx