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洛必达法则
知识与方法
与函数导数相关的压轴题,一般需要确定函数的值域和参数的取值范围,其传统做法是构造函数,然后通过分类讨论,求导分析单调性进行,过程相对复杂繁琐,且分类的情况较多.并且我们采用分离参数时,往往还会出现最值难以求解的情况,这时,我们就可以考虑使用“洛必达法则”来简化解题过程,快速解题.
下面,我们先来介绍一下洛必达法则：
法则1:
若函数和满足下列条件:
(1)及;
(2)在点的去心邻域内,与可导,且;
(3).
那么.
法则2:
若函数和满足下列条件:
(1)及;
(2)和在与内可导,且;
(3).
那么.
法则3:
若函数和满足下列条件:
(1)及;
(2)在点的去心邻域内,与可导,且;
(3).
那么.
利用洛必达法则解题时,应点睛意:
①将上面公式中的换成,洛必达法则也成立.
②洛必达法则可处理型.
③在着手求极限以前,首先要检查是否满足型定式,否则滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限.
④若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止.
典型例题
【例1】已知.
(1)求的单调区间;
(2)若对于任意,不等式成立,求的取值范围.
【例2】设函数,其中.
(1)讨论函数极值点的个数,并说明理由;
(2)若成立,求的取值范围.
【例3】已知.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)若在上单调递增,求实数的取值范围;
(3)令,存在,且,求实数的取值范围.
强化训练
1.已知函数,若当时,恒有成立,求实数的取值范围.
2.已知函数.
(1)若函数在点处的切线经过点,求实数的值;
(2)若关于的方程有唯一的实数解,求实数的取值范围.洛必达法则
知识与方法
与函数导数相关的压轴题,一般需要确定函数的值域和参数的取值范围,其传统做法是构造函数,然后通过分类讨论,求导分析单调性进行,过程相对复杂繁琐,且分类的情况较多.并且我们采用分离参数时,往往还会出现最值难以求解的情况,这时,我们就可以考虑使用“洛必达法则”来简化解题过程,快速解题.
下面,我们先来介绍一下洛必达法则：
法则1:
若函数和满足下列条件:
(1)及;
(2)在点的去心邻域内,与可导,且;
(3).
那么.
法则2:
若函数和满足下列条件:
(1)及;
(2)和在与内可导,且;
(3).
那么.
法则3:
若函数和满足下列条件:
(1)及;
(2)在点的去心邻域内,与可导,且;
(3).
那么.
利用洛必达法则解题时,应点睛意:
①将上面公式中的换成,洛必达法则也成立.
②洛必达法则可处理型.
③在着手求极限以前,首先要检查是否满足型定式,否则滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限.
④若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止.
典型例题
【例1】已知.
(1)求的单调区间;
(2)若对于任意,不等式成立,求的取值范围.
【解析】的定义域为,
,则,
所以当时,;当时,.
所以在单调递减,在单调递增,
所以时,,即在上单调递增.
所以的单调递增区间为,无减区间.
(2)解法1:分离参数洛必达法则
对任意,不等式成立等价于对任意恒成立.
当时,;
对任意,不等式恒成立等价于对任意恒成立.
记,
则
.
记,
则,
所以在单调递减,又,
所以时,,所以在单调递减.
所以.综上所述,实数的取值是.
解法2:直接讨论+分类讨论
“对任意,不等式恒成立”等价于“对任意,不等式恒成立”.令,
则,
令,则.
①当,即时,因为,
所以,所以,从而在上单调递减,
又,所以时,,
即,所以在上单调递减,
又,所以当时,,即符合题意;
②若,即时,
所以时,,
即,所以在单调递增.
所以当时,,故不符合题意.
③若时,则恒成立,所以在上单调递增,
故当时,,
即,所以在上单调递增,
所以当时,,故恒成立.
综上所述,实数的取值范围是.
解法构造函数+分类讨论
对任意,不等式恒成立等价于对任意恒成立.
令,
则,记.
①当时,,此时在单调递减,
又,所以时,,即对任意恒成立;
②当时,,此时在单调递增,又,
所以时,,即对任意恒成立,不符合题意;
③当时,不等式转化为,显然不成立;
④当,且时,方程的二根为.
若,则在单调递增,
又,所以,即不等式不恒成立;
⑤若,则在上单调递增,
又,所以时,,
即不等式不恒成立,不符合题意.
综上所述,实数的取值范围是.
【点睛】通过此例,我们可以发现使用“洛必达法则”的好处,可以较为简单地解决问题,在恒成立问题中的求参数取值范围,参数与变量分离较易理解,但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦,利用洛必达法则可以较好的处理它的最值,是一种值得借鉴的方法.
【例2】设函数,其中.
(1)讨论函数极值点的个数,并说明理由;
(2)若成立,求的取值范围.
【解析】,定义域为
,
当时,,函数在上为增函数,无极值点.
设,
当时,的根的个数就是函数极值点的个数.
若,即时,,函数在为增函数,无极值点.
若,即或,而当时,,此时方程在只有一个实数根,此时函数只有一个极值点;
当时,方程在有两个不相等的实数根,此时函数有两个极值点;
综上可知:
当时,的极值点个数为0;
当时,的极值点个数为1;
当时,的极值点个数为2.
(2)解法1:
由(1)可知当时在单调递增,
而,则当时,,符合题意;
当时,,方程的两根为:
,
当时,在单调递增,而,
则当时,,符合题意;
当时,,所以函数在单调递减,而,
则当时,,不符合题意;
当时,设,当时,
在单调递增,因此当时,
于是,当时,
此时,不符合题意.
综上所述,的取值范围是.
解法2:
函数,都有成立,
即恒成立,
设,
则
,
设,则,
所以和时,,所以在上单调递减,
时,,所以在上单调递增,
因为,
所以和时,,所以在与上递增.
当时,,所以,
由的单调性可得,;当时,,恒成立;
当时,,所以,由的单调性可得,
综上,.
【例3】已知.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)若在上单调递增,求实数的取值范围;
(3)令,存在,且,求实数的取值范围.
【解析】(1)当时,,则,所以,
当时,;当时,,
则在上单调递减,在上单调递增,
又因为,所以时,,所以在上单调递增；
(2)当时,在上单调递增,则时满足要求;当时,在上单调递增,则当时,恒成立,因为,当时,,所以在上单调递减,而,因为,所以,所以时,,故时不成立,当时,,当时,时,0,则在上单调递减,在上单调递增,因为时,,只需,即,
因为,所以,则,
综上所述,实数的取值范围是[0,e].
(3)因为,所以,因为,所以,
即,又,
所以,
即，
令,则,即方程有解.
解法1:分离参数洛必达法则
即,令,
则,
令,
所以当时,,故在上单调递增,
故,
由洛必达法则知:当时,,则,则,
所以实数的取值范围是.
解法2:
令,则时,有解,
,因为时,则,
当时,,即时,,则在上单调递减,又,故时,无解,则时不成立;
当时,当时,,
时,,
又,则,
而,
令,
因为,则,则在单调递减,,则在单调递减,
则,即,
故存在,使得,故时满足要求,
综上所述,实数的取值范围是.
【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性,求导得,则,由此得,从而得到函数的单调性;
(2)分类讨论,当时,,满足要求;当时,时,恒成立,而,再分和两种情况讨论即可求出答案;
(3)由题意得,即,进而有,令,则转化为时,方程有解.
一般地,含有参数的函数恒成立问题往往从三个角度求解:一是直接求导,通过对参数的讨论来研究函数的单调性,进一步确定参数的取值范围;二是借助函数单调性确定参数的取值范围,然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意,即确定所求;三是分离参数,求相应函数的最值或取值范围,当函数的最值不容易求解时,利用“洛必达法则”往往能化难为易,使问题得到解决.
强化训练
1.已知函数,若当时,恒有成立,求实数的取值范围.
【解析】因为,所以,
所以当时,,即递减,
当时,,即递增.
若当时,恒有成立,即恒有成立,
当时,不等式恒成立.
当时,恒有成立,即,
令,则.
今,则,进一步,
所以在上单调递减,所以,
所以在上单调递减,所以,
即在上恒成立,所以在上单调递减.
所以,所以.综上,的取值范围为.
2.已知函数.
(1)若函数在点处的切线经过点,求实数的值;
(2)若关于的方程有唯一的实数解,求实数的取值范围.
【解析】(1),
所以在点处的切线的斜率,
又,所以切线的方程为:,
即,由经过点可得:.
(2)易知,即为方程的根,因此只需说明:
当和时,原方程均没有实数根即可.
当时,
若,显然有,而恒成立,此时方程显然无解;
若,
令,故在单调递增,在单调递减,
故,
所以在单调递减,于是,
从而,此时方程也无解;
若,由,
记,则,
设,则对任意恒成立,
所以在上单调递减,所以恒成立,
令在上递增,在上递减
所以,可知原方程也无解.
由上面的分析可知,当时,,方程均无解.
当时,
若,显然有,而恒成立,此时方程显然无解;
若,和(1)中的分析同理可知此时方程也无解.
若,由,
记,
则,由(1)中的分析可知:,
故对任意恒成立,从而在上单调递增,点睛意到,
如果,即,则,
要使方程无解,只需,即,所以;
如果,即,此时,方程一定有解,不满足题意.
由上面的分析可知:当时,,方程均无解,
综合①②可知,当且仅当时,方程有唯一解.

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