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第4讲 局部隔离法
知识纵横
局部隔离法本来是物理力学中的一种方法,本来是指把要分析的物体从相关物体体系中隔离出来,作为研究对象,只分析该研究对象以外物体对该对象的作用力,不考虑研究对象对其它物体的作用力.我们在解决数学中的恒成立问题时,也常常借助这一方法,利用整体与局部的观点,隔离出局部的代数式,通过充分研究该代数式,使所研究的代数式结构特点进行凸显,进而解决整个问题.
典型例题
原函数中的局部隔离式
【例1】已知函数,如果当,且时,,求的取值范围.
【解析】由题意知.令,则
(i)当时,由知,当时,.而,
故当时,,可得;
当时,,可得.
从而当,且时,,即.
(ii)当时.由于当时,,故,而,故当时,,可得,与题设矛盾.
(iii)当时.此时,而,
故当时,,可得,与题设矛盾.
综上所述,的取值范围为.
【点睛】本题点睛意到,于是构造部分函数,则,求导得,对进行分类讨论,判断出的符号,进而解决问题.将对数单独作为一项,只需求导一次,便不再出现对数符号了.
【例2】已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)求在内的单调区间.
(2)设函数,证明:.
【解析】(1)因为,所以.又,
所以.
当时,;当时,.
所以在的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)证明:由(1)知.
设函数,则.
当时,;当时,.
所以,
所以.
设函数,则,设,
则,令,得,
则,
所以,从而为增函数,则,
因此,故.
【点睛】本题第问证明的关键是将函数进行因式分解,得到,然后分别考虑两个局部式子与的范围,即可得证.
事实上,本题由下面两个常见的不等式“拼凑”而成:与.
由(1),由(2),
(1)(2)两式相乘可得,即.
【例3】已知函数满足;若,求的最大值.
【解析】由题意,
令得,所以,即
所以,
所以,
设.
的图像是过的曲线,曲线随着的增大值增大且图像下凹.
的图像是过点且斜率为的直线,如图.
由,则曲线必在直线的上方或曲线与直线相切.
设曲线与直线的切点为,曲线在点的切线方程为,切线的斜率为,在轴上的截距为.
又直线的斜率为,在轴上的截距为,则有,
所以,
设,
当;当,
故有最大值,所以,的最大值为.
【点睛】(1)变形后的不等式两端的式子分别设为两个函数.一般的,两个函数中应有一个一次函数或常函数(因为一次函数或常函数的图像为直线,便于观察).
(2)由不等式关系找出函数图像的位置关系,根据直线的斜率、截距意义列式求解.
导函数中的因式分解
【例4】已知函数.当时,恒成立,求实数的取值范围.
【解析】当时,,即,
令
设,
当单调递增,
故,
所以当时,单调递减;
当时,单调递增,
所以,
所以,即实数的取值范围是.
【点睛】本题通过将导数通分、因式分解,考虑局部隔离式,由熟知的不等式可知,只需根据的正负就可以判断出的符号,得到的单调区间,进而解决问题.
【例5】已知函数.
(1)若,求证:当时,;
(2)若存在,使,求实数的取值范围.
【解析】(1)当.
设.
因为,从而,
所以在上单调递增,又,
所以时,,从而在上单调递增,
所以,即,即.
所以当时,.
(2)若存在,使得,即,
即存在,使得.
设,则.
设,
所以在上单调递增.
当时,,所以在恒成立,
所以在恒成立,所以在单调递增.
由于,所以,从而由,进而得.
【点睛】对于本题的第问,隔离出局部式,通过研究的性质,得到符号的判断结果,从而使问题顺利解决.
【例6】已知函数.
(1)求函数的图象在处的切线方程;
(2)若任意,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,证明:.
【解析】(1)对求导,得,所以,
所以切线方程为;
(2),令.
则.
令,求导,得.
①当,即时,恒成立,所以单调递增,
所以,所以,所以单调递增,从而,不符合题意;
②当,即时,恒成立,所以单调递减,
所以,所以,所以递减,从而,符合题意;
③当,即时,由,
所以在上,存在,使得,且时,,
所以递增,所以(不符合题意).
综上所述,所求实数的取值范围是.
(3)由(2)可知,当时,,所以.
又令,求导,
所以递减,从而,即在上恒成立.
令,得.
所以
.
即
所以,于是得证.
【点睛】本题第问对求导后,直接判断导数的正负不太容易,而通过对局部式的讨论,再结合,就可以确定的符号,使问题的解决更加清晰明了.
强化训练
1.已知函数.
(1)设函数,讨论的单调性;
(2)当时,恒成立,求的取值范围.
【解析】(1)由已知,得,所以.
①当时,在上单调递增.
②当时,令,得;
令,得.
所以在上单调递减,在上单调递增.
综上所述,当时,在上单调递增;当时,在上单调递
减,在上单调递增.
(2).
设,得.
设,则.
当时,在上单调递增,所以的值域是.
①当时,,则在上单调递增,
所以,符合题意.
②当时,,所以有唯一实根,即有唯一实根,当时,在上单调递减,所以,不符合题意.
综上所述,,即的取值范围是.
【点睛】本题第问先构造部分函数,求导得,进而求出的值域,然后根据的值域对进行分类讨论,从而判断出的符号.
2.已知不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.
【解析】,
令,
因为,所以当时递减,时递增,
所以,故.
3.已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
【解析】(1),
当时,是上的增函数,
当时,,
的单调减区间为,单调增区间为,
当时,
的单调減区间为,单调增区间为,
(2)由(1)知,
①当时,,
要使恒成立,只需即可,解得;
②当时,,
要使恒成立,只需即可,解得;
③当时,显然成立.
综上所述,若恒成立,则实数的取值范围为.
4.已知函数,当时,恒有,求实数的取值范围.
【解析】问题即:当时,恒成立,
令,由,得.
设,则是增函数,且.
(1)当时,,函数在上单调递减,在上单调递增.此
时,符合题意.
(2)当时,令,得,点睛意到.
当即时,在及上单调递增,在
上单调递减.
要使恒成立,只需,解得.
而,
所以符合题意.
当时,与矛盾,不合题意.
综上所述,.第4讲 局部隔离法
知识纵横
局部隔离法本来是物理力学中的一种方法,本来是指把要分析的物体从相关物体体系中隔离出来,作为研究对象,只分析该研究对象以外物体对该对象的作用力,不考虑研究对象对其它物体的作用力.我们在解决数学中的恒成立问题时,也常常借助这一方法,利用整体与局部的观点,隔离出局部的代数式,通过充分研究该代数式,使所研究的代数式结构特点进行凸显,进而解决整个问题.
典型例题
原函数中的局部隔离式
【例1】已知函数,如果当,且时,,求的取值范围.
【例2】已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)求在内的单调区间.
(2)设函数,证明:.
【例3】已知函数满足;若,求的最大值.
导函数中的因式分解
【例4】已知函数.当时,恒成立,求实数的取值范围.
【例5】已知函数.
(1)若,求证:当时,;
(2)若存在,使,求实数的取值范围.
【例6】已知函数.
(1)求函数的图象在处的切线方程;
(2)若任意,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,证明:.
强化训练
1.已知函数.
(1)设函数,讨论的单调性;
(2)当时,恒成立,求的取值范围.
2.已知不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.
3.已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
4.已知函数,当时,恒有,求实数的取值范围.

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