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构造函数
知识与方法
利用导数研究函数的单调性极值和最值,再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点,也是近几年高考的热点.解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式,而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.本节我们来探讨构造函数研究不等式的策略.
典型例题
构造差函数
当待证不等式的两边含有同一个变量时,一般可以通过“左减右”或“右减左”构造差函数,利用导数研究其单调性,进而借助单调性证明原不等式成立.
【例1】求证:当时,.
【例2】设,函数.
(1)若与有公共点,且在点处切线相同,求该切线方程;
(2)若函数有极值但无零点,求实数的取值范围;
(3)当时,求在区间的最小值.
变形构造函数
【例3】已知函数.
(1)若函数有唯一的极小值点,求实数的取值范围;
(2)求证:.
【例4】已知函数.
(1)当时,求在点处的切线;
(2)当时,若的极大值点为,求证:.
转化构造函数
在用导数处理不等式的过程中,有时需要将不等式转化之后再构造函数,其本质还是构
造函数,使得所构造的函数易于处理.
【例5】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,求证:在恒成立;
(3)求证:当时,.
换元构造函数
【例6】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,求证:.
递推关系构造
【例7】已知函数.
(1)证明:;
(2)数列满足:.
(i)证明:;
(ii)证明:.
强化训练
1.证明:当时,.
2.已知函数是函数的极值点.
(1)求;
(2)证明:.
3.已知函数,其中.
(1)当时,求曲线在点处切线的方程;
(2)当时,求函数的单调区间;
(3)若,证明对任意恒成立.构造函数
知识与方法
利用导数研究函数的单调性极值和最值,再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点,也是近几年高考的热点.解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式,而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.本节我们来探讨构造函数研究不等式的策略.
典型例题
构造差函数
当待证不等式的两边含有同一个变量时,一般可以通过“左减右”或“右减左”构造差函数,利用导数研究其单调性,进而借助单调性证明原不等式成立.
【例1】求证:当时,.
【解析】证法1:
今,则,
今,则,由,
当时单调递减;
当时单调递增,
所以,
又,故存在,使得,即
当时,当时,
又,且在单调递增,
故当时,当时,
所以在递增,在递减,在递增,又.
故当时,;
即当时,,所以.
证法2:
令,
当时,
当时,
所以在上单调递减,在上单调递增.
故对一切恒成立,
即：
【例2】设,函数.
(1)若与有公共点,且在点处切线相同,求该切线方程;
(2)若函数有极值但无零点,求实数的取值范围;
(3)当时,求在区间的最小值.
【解析】(1)由得.所以该切线方程为.
(2)当时,由恒成立,
可知函数在定义域单调递增,此时无极值.
当时,由得;
由得得.
于是为极大值点,且.
由于函数无零点,因此,解得.
(3)不妨设,得.设,因为,所以,
设的两根为,且,
由得且.
所以.
所以当时;
当时,;
当时,.
所以在递增,在递减.
(1)当时,即解得时,在递减;
所以.
(2)当时,即解得时,在[1,2递增;
所以.
(3)当时,即时,在递增,递减;
所以.
(i)当时,,所以.
(ii)当时,,所以.
综合(1)(2)(3)得在区间的最小值为:
变形构造函数
【例3】已知函数.
(1)若函数有唯一的极小值点,求实数的取值范围;
(2)求证:.
【解析】,,
设,
当时,,
在时,,即,所以单调递减,
在时,,所以单调递增,
所以函数有唯一的极小值点成立;
当时,令,得,
在时,,即,所以单调递减,
在时,,所以单调递增,
所以函数有唯一的极小值点成立;
当时,令,得,当时不合题意,
则,且,即且,
设,
在时,,即,所以单调递减,
在时,,所以单调递增,
在时,,即,所以单调递减,
所以函数有唯一的极小值点成立;
综上所述,的取值范围为且.
则,令,易知在上单调递增,且,
故当时,,此时单调递减;
当时,,此时单调递增.
所以的最小值为,
故当时,,即,
所以,即.
【点睛】本题第(2)问的证明中,将待证不等式进行等价变形,变形的目的就是构造函数证明不等式,构造函数需要考虑的问题就是:导数结构要简单,且能方便地判断出正负.对于含有指数与对数混合式的不等式,往往要将对数前面的系数变成常数,这样构造的函数,求一次导数之后便不再出现对数符号,可避免多次求导的麻烦.变形过程中,点睛意体会“对数靠边走,指数找朋友”的妙处.
【例4】已知函数.
(1)当时,求在点处的切线;
(2)当时,若的极大值点为,求证:.
【解析】(1).
(2)解法1:
当时,记,则与符号相同,令,即,记,则.
当时,时,在处取得极大值.再求,令,得,所以满足
记,
则,
所以在上单调递增,,
即.
从而不等式得证.
解法2:
当,
今,故,
(i)当,即时,
此时恒成立,即单调递增,无极值,不符合题意;
(ii)当,即时,由,
则在区间上有唯一零点,在上有唯一零点,
当时,,即单调递增;
当时,,即单调递减;
故在处取得极大值,因此,
又,则,
因此,
记,
则在上恒成立,
故单调递增,
因此,
也即,得证.
转化构造函数
在用导数处理不等式的过程中,有时需要将不等式转化之后再构造函数,其本质还是构
造函数,使得所构造的函数易于处理.
【例5】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,求证:在恒成立;
(3)求证:当时,.
【解析】(1),若在上单调递增;
若在上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)可知,当时,在上单调递增,则,故在恒成立;
(3)证明:由(2)可知:当时,,
所以当时,,即在恒成立.
下面只需证即可,
即证,
即证.
设,
设,
易知在上恒成立,所以在上单调递增,
所以,从而单调递增,
所以,从而.
所以,即当时,.
【点睛】本题第题巧妙利用已证不等式,将复杂的待证不等式
进行放缩,进而转化为证明,显然这是时的泰勒展开式.
还可以利用“指数找朋友”证明曾这个不等式,过程如下:
要证,只需证,
令,则,所以在上单调递减,
所以,即,所以.
故原不等式成立.
换元构造函数
【例6】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,求证:.
【解析】的定义域为.当时,在上单调递增;
当时,在和上单调递增,
在上单调递减.
(2)证明:由于,得,所以.
因为,所以,令,则.
所以.
要证,只需证明,即证.
由(1)可知,当时,在单调递增,
所以当时,有,即成立,
所以,故.
【点睛】本题通过换元,把转化为的函数,构造关于的函数就可以轻松解决问题.把的关系变形为齐次式,可设等构造函数来解决.该方法在第三章双变量问题处理会进一步深入介绍.
递推关系构造
【例7】已知函数.
(1)证明:;
(2)数列满足:.
(i)证明:;
(ii)证明:.
【解析】(1)由题意知,.
(1)当时,,所以在区间上单调递减;
(2)当时,令,所以在上单调递增,因此,故当时,,所以
在上单调递增,因此当时,,所以.
(2)(i)由(1)知,在区间上单调递增,,
因为,
故.
所以
因此,当时,.
又因为,所以.
(ii)函数,则,
令,则,所以在单调递增,
因此,
所以在区间上单调递减,所以.
因此,,所以.
强化训练
1.证明:当时,.
【解析】证法1:
设,
则,
所以在递增,所以,
所以在递增,所以.
证法2:
要证,只需证明.
令,则,
当时,所以在单调递增,
因此当时,,
所以,故.
2.已知函数是函数的极值点.
(1)求;
(2)证明:.
【解析】(1)得.
(2)证明:由(1)知,
要证,即证.
由得:且.
因为当时,;
当时,;
故只需证明,
即证且.
令,
则,
所以,当时,;当时,,
所以为的极小值点,
所以,即,
所以成立,即.
3.已知函数,其中.
(1)当时,求曲线在点处切线的方程;
(2)当时,求函数的单调区间;
(3)若,证明对任意恒成立.
【解析】(1).
(2)由函数,
则,
令,又,
①若,当变化时,的变化情况如下表:
所以在区间和内是增函数,在内是减函数.
(2)若,当变化时,的变化情况如下表:
所以在和内是增函数,在内是减函数.
(3)因,
所以在内是减函数,,则.
于是,
等价于,
即,
令,
因在内是减函数,
故,
所有从而在内是减函数,
所以对任意,有,即,
所以当时,对任意恒成立.

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