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第12讲 数形结合与巧用放缩法
知识与方法
数形结合思想就是根据试题中给出的条件和结论,考虑几何含义来证明不等式.若想要运用好数形结合思想,必须灵活地把抽象笼统的数量关系式与直观明了的图形结合起来,然后在几何与代数的背景下寻找解题的突破口.数形结合有两种情况:一是以数解形,二是以形助数,而通常情况下我们是以形助数来解题,所谓“以形助数”就是构造出与题意相吻合的图形,并通过图象的性质来帮助解决“数”的问题.
典型例题
【例1】已知函数有两个极值点(e为自然对数的底数).
(1)求实数的取值范围;
(2)求证:.
【解析】(1)由于,则,
设,则.
令,解得.
所以当时,;当时,.
所以.
(1)当时,,所以函数单调递增,没有极值点;
(2)当时,,且当时,;
当时,.
此时,有两个零点,不妨设,则,所以函数有两个极值点时,实数的取值范围是;
(2)由(1)知,为的两个实数根,在上单调递减.
下面先证,只需证.
由于,得,
所以.
设,则,
所以在上单调递减,
所以,所以.
由于函数在上也单调递减,所以.
要证,只需证,即证.设函数,则.
设,则,
所以在上单调递增,,即.
所以在上单调递增,.
故当时,,则,
所以,亦即.
【点睛】第一问函数有两个极值点实质上就是其导数有两个零点,亦即函数与直线有两个交点,如图所示,显然实数的取值范围是.
第二问是极值点偏移问题的泛化,是拐点的偏移,依然可以使用极值点偏移问题的有关方法来解决.只不过需要挖掘出拐点偏移中隐含的拐点的不等关系,如本题中的,如果“脑中有'形'”,如图所示,并不难得出.
【例2】已知函数,且曲线在点处的切线与直线0垂直.
（1）求函数的单调区间;
(2)求证:时,.
【解析】(1)由,得.
因为曲线在点处的切线与直线垂直,
所以,所以,即.
令,则.
所以时,单调递减;
时,单调递增.
所以,所以单调递增.即的单调递增区间为,无递减区间;
(2)由知,
所以在处的切线为,即.
令,
则,
且,
时,单调递减;
时,单调递增.
因为,所以,
因为,
所以存在,使时,单调递增;
时,单调递减;
时,单调递增.
又,所以时,,
即,所以.
今 ,则.
所以时,单调递增;
时,单调递减,所以,即,
因为,所以,所以时,,
即时,.
强化训练
1.若关于的不等式有且仅有两个整数解,则实数的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设,
不等式即,
,由得,由得,
在单调递减,在单调递增.
作出的图象如图所示,直线过定点.若不等式有且仅有两个整数解,则这两个整数只能是0和,所以得,实数的取值范围是,故选:.
2.已知关于的不等式的解集中只有两个整数,则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】依题意,,
令,
则,
令,则,则在上单调递增,
又,
所以存在,使得,所以
即在单调递增,
当,即在单调递减,
因为,
且当时,,
又,
故要使不等式的解集中只有两个整数,的取值范围应为.
故选:.
3.已知函数.(1)讨论的单调性;
(2)定义:对于函数,若存在,使成立,则称为函数的不动点.如果函数存在不动点,求实数的取值范围.
【解析】(1)的定义域为,对于函数，
(1)当时,即时,在恒成立.
所以在恒成立.
所以在为增函数;
(2)当,即或时,
当时,由,
得或,所以在上递增,
在上递减.
在上递增;
当时,由在恒成立,
所以在为增函数.
综上:
当时,在上为增函数,
在上为减函数,
在上为增函数;
当时,在上为增函数.
(2),
因为存在不动点,所以方程有实数根,即有解,
令,
,
令,得,
当时,单调递减;
当时,单调递增;
所以,当时,有不动点,所以的范围为.
【点睛】导数式含参数时,如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点,般采用求根法和图像法.(1)对函数求导,结合二次函数的性质讨论的范围,即可判断的单调性;由存在不动点,得到有实数根,即有解,构造函数令,通过求导即可判断的单调性,从而得到的取值范围,即可得到的范围.
巧用放缩法
知识与方法
放缩法就是针对不等式的结构特征,运用不等式的性质,将不等式的一边或两边进行放大或缩小,也就是对代数式进行恰到好处的变形,使问题便于解决.
放缩法大致分为以下几类:
1.将代数式中的分母和分子同时扩大和缩小;
2.利用均值不等式或其它的不等式放缩数式;
3.也可以在不等式两边同时加上或减去某一项;
4.可以把代数式中的一些项进行分解再重新组合,这样就可以消去一些项便于求解,这也是我们常用的裂项法.
导数的解答题中,经常会用到一些不等式进行放缩,主要分为五类:
1.切线不等式
(1);(2)(4).
2.与三角有关的一些不等式
(1)当时,;
(2)当时,;
(3)当时,;
(4)当时,.
3.一些常见不等式(稍微提高)
(1)当时,;
(2)当时,;
(3)对数平均不等式:.
4.一些不常见的不等式
(1)当时,;
(2)当时,;当时,.
5.偶尔用上的不等式
当时,则:.
（当且仅当时等号成立.)
在解答导数问题时,我们经常使用到函数的切线、割线逼近进行放缩,两个常用的结论为(当且仅当时取等号),(当且仅当时取等号),借助这两个结论可以将超越函数放缩成一次函数.针对高考压轴导数问题,放缩法可以起到很好的效果.使用放缩法需要较高的拆分组合技巧,一定要点睛意同向传递,还要把握好放缩的“尺度”,否则将达不到预期的目的,或者会得出错误的结论.
典型例题
指数放缩
【例1】已知函数(其中常数,是自然对数的底数).
(1)讨论的单调性;
(2)证明:对任意的,当时,.
【解析】(1)求导,得.
当时,在上单调递增;
当时,令,得.
当时,单调递增;
当时,单调递减.
综上,当时,在上单调递增;
当时,在上单调递增,在上单调递减.
(2)解法1:指对处理技巧型
当时,要证,
即，即,
令,
则,
当时,令,得,
故当时,单调递减;
当单调递增.
所以,即.
(ii)当吋,令,得,或.
当单调递增;
当单调递减.
又,故此时,即.
综上,对任意的,当时,.
解法2:指对处理技巧主元放缩
当时,要证,即,
即证，
令,
则,
当时,,当且仅当时等号成立,
令,则在上恒成立,
故单调递增,,则,
所以时,单调递减;
当时,单调递增.
所以,即,即.
综上,对任意的,当时,.
解法3:直接讨论法
当时,要证,
即,令,
则,因此在上单调递增.
当时,在上恒成立,
故单调递增,又,故当时,单调递减,
当时,单调递增.
所以,即.
当时,令,得.
当单调递减;
当单调递增.
(ii)当时,,
又,故当时,单调递减;
当时,单调递增.
所以,即.
(iii)当时,则,
又,故存在唯一,使得,
当时,单调递增;
当时,单调递减.
又.故此时,即.
综上,对任意的,当时,.
解法4:主元放缩+指数放缩法
当时,要证,即,
令,则,令,得.
当单调递减;
当单调递增.
所以,即,当且仅当时等号成立,
故,当且仅当时等号成立;
要证,只需要证.
策略一:直接讨论法
令,
则,令,得.
当时,单调递减;
当时,单调递增.
又,
因此存在唯一,使得.
当时,单调递增;当单调递减.
又,故此时恒成立,即.
综上,对任意的,当时,.
策略二:指数处理,同解法1
即证,令,
则，
令,得,或.
当时,单调递增;
当时,单调递减.
又,故此时,即.
综上,对任意的,当时,.
策略三:指对处理,同解法2
即证，
令,则.
令,则在上恒成立,故单调递增,
从而,令,则.
当时,单调递减;
当时,单调递增.
所以,即,从而.
综上,对任意的,当时,.
【点睛】本题的第(2)问是一道开放性较强的试题,可以从多角度入手分析.
当时,要证,即,观察此时含有指数项,也含有二次项,直接讨论至少要求两次导数才便于探究(解法2),结合指对处理技巧,可考虑同时除以,这样求导后就只需要讨论二次型函数即可.
即证,求导后分耇竕是可因式分解的二次函数，且两根易求,分别为与.但对于是否在区间内不能确定,因此需要进行讨论.
解法1采用的是整理为型函数,解法2则是整理为型的函数,解法2采用的是直接讨论.对于解法4,观察到所证不等式中含有与,即可联想到,为此将待证式整理成,借助,只需要证明即可.接下来的证明与前述含参讨论的情形大同小异,可直接讨论,也可采用指对处理
对数放缩
【例2】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)证明:在且时,恒成立.
【解析】,且,
令,则,
当时,单调递减;
当时,单调递增;
故,即恒成立,故在上单调递增.
综上,的单调递增区间为,无单调递减区间.
(2)解法1:放缩法
今,则,
当单调递减;当单调递增.
故,即,当且仅当时等号成立.
因此,当,则,
而此时,所以;
另一方面,,由可知,
因此,
而在恒成立,故成立.
综上,不等式在,且时恒成立.
解法2:等价变形
当时,即证;
当,即证;
令,且,
则,令,
则,
故单调递增,,
故,所以单调递减,而,
故当时,,即;
当时,,即.
综上,不等式在且时成立.
指对混合放缩
【例3】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)证明:.
【解析】(1),
(1)若时,在上单调递减;
(2)若时,
当时,单调递减;
当时,单调递增;
综上若时,在上单调递减;
若时,在上单调递减;在上单调递增;
(2)证明:要证,
只需证,
由(1)可知当时,,即,
当时,上式两边取以为底的对数,可得,
用代替可得,又可得,
所以,
所以
从而不等式成立.
【例4】已知函数,且曲线在处的切线方程为.
(1)求的值;
(2)求函数在上的最小值;
(3)证明:当时,.
【解析】(1);
(3)即证:,因为,且曲线在处的切线方程为,
故可猜测:当且时,的图象恒在切线的上方.
下面证明:当时,.
解法1:
设,则,
今,
当时,单调递减;
当时,单调递增.
又
所以,存在,使得.
当时,;当;
故在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
又,所以,当且仅当时取等号.
故.
由(2)知,,故,所以,当且仅当时取等号.
所以,即.
所以,
即成立(当时等号成立).
故当时,.
解法2:
要证,等价于证明,
又,可转化为证明,
令,则,
因为,所以当时,单调递增;
当时,单调递减;
所以有最大值,故恒成立,即当时,.
三角放缩
【例5】设,且,函数.
(1)若在区间上有唯一极值点,证明:;
(2)若在区间没有零点,求的取值范围.
【解析】(1),若,则在区间至多有两个变号零点,故,令,得,其中,仅当时,,且在的左右两侧,导函数的值由正变负,故当时,在区间有唯一极值点,此时.
解法1:
将代入得,
(1)当,即时,,由不等式知:;
(2)当,即当时,,,由不等式知:.
由(1)(2)知.
解法2:
由,代入得
,即.
以下用分析法可证:.
(2)(1)当时,,所以,由零点存在性定理知,在区间至少有一个零点;
(2)当时,,
,
由零点存在定理可知,在区间至少有一个零点;
(3)当时,,
令,则,
在区间上,是增函数;
在区间上,,即递减,即递减,,
故在上递增,在上递减,
又,即在上,.
所以在区间上没有零点,满足题意.
综上所述,若在区间没有零点,则正数的取值范围是.
含三角函数的指对放缩
【例6】已知函数,其中.
(1)求证:当时,无极值点;
(2)若函数,是否存在,使得在处取得极小值 并说明理由.
【解析】(1)证明:,显然,
当时,,即,
所以函数在其定义域上为增函数,故无极值点;
(2),
显然是的极小值点的必要条件,为,即.
此时,显然当时,
,
当时,,
故,
令,则,故是减函数,
故当时,,即,
令,则,当时,,故在单调递增,
故当时,,即,
故当时,
,
因此,当时,是的极小值点,即充分性也成立.
综上,存在,使得在处取得极小值.
【点睛】本题第(2)问先由必要性探路可知,再证明当时,是函数的极小值点,即证明其充分性,由此即可得出结论.
【例7】已知函数,函数,且.
(1)讨论函数的单调性;
(2)证明:当时,;
(3)证明:当时,.
【解析】(1)定义域为.
当时,,则在上单调递减;
当时,令,得,即在上单调递增;
令,得,得在上单调递减.
综上所述,当时,在上单调递减;
当时,在上单调递增,在上单调递减.
(2)解法作差法+直接求导
设函数,则.
因为,所以,则,
从而在上单调递减,
所以,即.
解法2:常用不等式兵分两路
当时,,由知,
所以,所以.
令,则恒成立,又,
所以当时,有,即.
所以.
(3)证明:当时,,
由(1)知,所以,当时,,
所以.
从而
,
所以.
强化训练
1.已知函数在处取得极值.
(1)求,并求的单调区间;
(2)证明:当时,.
【解析】,
由题意可得,,故,
,
由可得,故函数单调递增区间,
由可得,故函数单调递减区间,
(2)证明:由(1)可知在上单调递增,在单调递减,
故,
即,故,
所以,当且仅当时取等号,
又因为,所以,
所以,
因为,所以,
因为,所以,
令,则,
由可得,,故在上单调递增,
由可得,,故在上单调递减,
所以,即在处取得等号,
所以,
由于取等条件不同,所以.
2.已知函数.
(1)若曲线存在一条切线与直线垂直,求的取值范围.
(2)证明:.
【解析】(1).因为的定义域为,所以.
因为曲线存在一条切线与直线垂直,所以,
解得或,则的取值范围为.
(2).
当时,;当时,.
所以.
设函数,则.
当时,;当时,.
所以.
因为.
因为,所以.
又,所以.
3.已知函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)为自然对数的底数,若时,恒成立,证明:.
【解析】(1)当时,,
则在上单调递增,又,
故当时,单调递减;
当时,单调递增.
综上,当时,的单调咸区间为,单调增区间为.
(2)对求导,得,知在上单调递增.
因为,故,
故存在唯一,使得,
即,所以.
当时,单调递减;
当时,单调递增.
又,故,
即在上恒成立.令,则在上单调递减,
故只需,即,
故,从而得证.
解法2:转化为关于的函数
所以,
则,
令,
则,
令,得.
当单调递减;当时,单调递增.
故,
即,从而不等式得证.第12讲 数形结合与巧用放缩法
知识与方法
数形结合思想就是根据试题中给出的条件和结论,考虑几何含义来证明不等式.若想要运用好数形结合思想,必须灵活地把抽象笼统的数量关系式与直观明了的图形结合起来,然后在几何与代数的背景下寻找解题的突破口.数形结合有两种情况:一是以数解形,二是以形助数,而通常情况下我们是以形助数来解题,所谓“以形助数”就是构造出与题意相吻合的图形,并通过图象的性质来帮助解决“数”的问题.
典型例题
【例1】已知函数有两个极值点(e为自然对数的底数).
(1)求实数的取值范围;
(2)求证:.
【例2】已知函数,且曲线在点处的切线与直线0垂直.
（1）求函数的单调区间;
(2)求证:时,.
强化训练
1.若关于的不等式有且仅有两个整数解,则实数的取值范围为
A. B. C. D.
2.已知关于的不等式的解集中只有两个整数,则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
3.已知函数.(1)讨论的单调性;
(2)定义:对于函数,若存在,使成立,则称为函数的不动点.如果函数存在不动点,求实数的取值范围.
巧用放缩法
知识与方法
放缩法就是针对不等式的结构特征,运用不等式的性质,将不等式的一边或两边进行放大或缩小,也就是对代数式进行恰到好处的变形,使问题便于解决.
放缩法大致分为以下几类:
1.将代数式中的分母和分子同时扩大和缩小;
2.利用均值不等式或其它的不等式放缩数式;
3.也可以在不等式两边同时加上或减去某一项;
4.可以把代数式中的一些项进行分解再重新组合,这样就可以消去一些项便于求解,这也是我们常用的裂项法.
导数的解答题中,经常会用到一些不等式进行放缩,主要分为五类:
1.切线不等式
(1);(2)(4).
2.与三角有关的一些不等式
(1)当时,;
(2)当时,;
(3)当时,;
(4)当时,.
3.一些常见不等式(稍微提高)
(1)当时,;
(2)当时,;
(3)对数平均不等式:.
4.一些不常见的不等式
(1)当时,;
(2)当时,;当时,.
5.偶尔用上的不等式
当时,则:.
（当且仅当时等号成立.)
在解答导数问题时,我们经常使用到函数的切线、割线逼近进行放缩,两个常用的结论为(当且仅当时取等号),(当且仅当时取等号),借助这两个结论可以将超越函数放缩成一次函数.针对高考压轴导数问题,放缩法可以起到很好的效果.使用放缩法需要较高的拆分组合技巧,一定要点睛意同向传递,还要把握好放缩的“尺度”,否则将达不到预期的目的,或者会得出错误的结论.
典型例题
指数放缩
【例1】已知函数(其中常数,是自然对数的底数).
(1)讨论的单调性;
(2)证明:对任意的,当时,.
对数放缩
【例2】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)证明:在且时,恒成立.
指对混合放缩
【例3】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)证明:.
【例4】已知函数,且曲线在处的切线方程为.
(1)求的值;
(2)求函数在上的最小值;
(3)证明:当时,.
三角放缩
【例5】设,且,函数.
(1)若在区间上有唯一极值点,证明:;
(2)若在区间没有零点,求的取值范围.
含三角函数的指对放缩
【例6】已知函数,其中.
(1)求证:当时,无极值点;
(2)若函数,是否存在,使得在处取得极小值 并说明理由.
【例7】已知函数,函数,且.
(1)讨论函数的单调性;
(2)证明:当时,;
(3)证明:当时,.
强化训练
1.已知函数在处取得极值.
(1)求,并求的单调区间;
(2)证明:当时,.
2.已知函数.
(1)若曲线存在一条切线与直线垂直,求的取值范围.
(2)证明:.
3.已知函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)为自然对数的底数,若时,恒成立,证明:.

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