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第二十四讲 数列前n项和的求法
【考纲解读】
理解数列前n项和的定义，掌握一些简单数列求前n项和的基本方法；
能够运用简单数列求前n项和的基本方法熟练地解答与数列相关的问题。
【知识精讲】
数列前n项和的概念：
1、数列前n项和的定义：一个数列的前n项相加所得的结果，叫做这个数列的前n项和，通常用来表示（即=++----------+）；
2、数列｛｝的前n项和公式的定义：一个数列的前n项和可以用与序号n相关的一个式子来表示，这个式子叫做数列｛｝的前n项和公式； ， n=1，
3、数列的通项与前n项和之间的关系： = - ， n≥2。
二、数列前n项和的求法：
1、基本数列前n项和的求法：
（1）基本数列包括：①等差数列；②等比数列；
（2）等差数列的前n项和公式：①已知等差数列｛｝的首项，末项和项数n时，=；② 已知等差数列｛｝的首项，公差d和项数n时，=n+；
（3）等比数列的前n项和公式：①已知等比数列｛｝的首项，公比q（q≠1）和项数n，=；②已知等比数列｛｝的第m（m＜n）项，公比q（q≠1）和项数n，=；③已知等比数列｛｝的首项，公比q（q=1）和项数n，=n。
2、裂项相消法求数列前n项的和：
（1）适用范围（数列的结构特征）：①数列的通项是一个分式；②通项中分式的分子是一个常数，分母可以分解成几个因式的积；（2）裂项相消法的基本方法：①裂项，从通项入手，把分式裂成几个分式的差；②表示每一项用裂成的几个分式代入；③消去中间的所有项；④将剩下的项求和就可求出数列的前n项和。
3、拆项求和法求数列前n项的和：
（1）适用范围（数列的结构特征）：①数列的每一项都是几项的和；②各项中的相应项分离出来构成一个基本数列；（2）拆项求和法的基本方法：①拆项，把数列中的每一项拆成几项；②表示每一项用拆成的几项代入；③将各项中相应的项分离出来分别集中在一起，得到几个基本数列的求和；④分别求出各基本数列的和，再相加求出数列的前n项合。
4、并项求和法求数列前n项的和：
（1）适用范围（数列的结构特征）：①数列的相邻两项合并后得到一个新数列；②新数列是一个基本数列；（2）并项求和法的基本方法：①并项，把数列的相邻两项合并成一项；②表示每一项是相邻两项的和，得到一个基本数列的求和；③运用基本数列的求和公式求出数列的前n项合。
5、倒序相加法求数列前n项的和：
（1）适用范围（数列的结构特征）：①数列的每一项是两个因式的积；②项中第一个因式与序号相关，第二个因式分离出来构成等差数列；（2）倒序相加法的基本方法：①倒序，把原数列的首项作为末项，末项作为首项进行倒序；②两个式子相加，得到一个新数列；③提出新数列的公因式得到一个基本数列；④求出基本数列的和再与公因式相乘除以2求出数列的前n项和。
6、错项相减法求数列前n项的和：：
（1）适用范围（数列的结构特征）：①数列的每一项都是两个因式的积；②项中的第一个因式分离出来构成一个等差数列，项中的第二个因式分离出来构成一个等比数列；（2）错项相减法的基本方法：①错项，表示，式子两边同乘以等比数列的公比；②相减，两个式子相减，其中一部分构成一个基本数列；③求出基本数列的和再与剩余项相加；④求出得到数列的前n项和。
【探导考点】
考点1拆项求和法求数列前n项的和：热点①已知数列的前n项和公式，构造一个与已知数列通项公式相关的数列，求该数列前n项和；热点②已知两个基本数列的通项公式，构造一个数列使其通项为已知两个数列通项的和（或差），求该数列前n项和；热点③已知数列的通项公式是一个分段式，各段的式子是基本数列，求该数列前n项和；
考点2错项相减法求数列前n项的和：热点①已知数列的前n项和公式，构造一个与已知数列通项公式相关的数列，求该数列前n项和；热点②已知两个基本数列的通项公式，构造一个数列使其通项为已知两个数列通项的积，求该数列前n项和；热点③已知两个基本数列的通项公式，构造一个新数列使其通项为已知两个数列通项的商，求该数列前n项和；
考点3裂项相消法求数列前n项的和：热点①已知数列通项=，求数列｛｝前n项和；热点②已知数列通项=，求数列｛｝前n项和。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
等差数列｛｝中，已知+=16，则该数列的前11项和等于（ ）
A 58 B 88 C 143 D 176
2、设｛｝是公比为q的等比数列，是它的前n项和，若{}是等差数列，则q等于（ ）
A 1 B 0 C 1或0 D -1
3、已知等差数列｛｝满足： +=4，+=10。
求：数列｛｝前n项和；
4、设等差数列｛｝的前n项和为，已知=，=20。
求：数列｛｝前n项和。
5、已知各项均为正数的等比数列｛｝中，=5，=10。
求：数列｛｝前n项和；
6、已知数列｛｝是首项为1的等比数列，是｛｝的前n项和，且9=。
求：数列｛｝前n项和。
『思考问题1』
（1）【典例1】是基本数列（等差数列或等比数列）的求和问题，解答这类问题需要理解并掌握等差数列，等比数列的前n项和公式；
（2）由基本数列的求和公式可知：求基本数列前n项和的关键是由条件求出①数列的首
项；②数列的公差（或公比）；
（3）求基本数列的首项，公差（或公比）的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根据条件列出关于数列首项，公差（或公比）的方程（或方程组），②求解方程（或方程组）；③得出基本数列的首项，公差（或公比）。
〔练习1〕解答下列问题：
1、已知数列｛｝的前n项和为，并满足=2-，=4-，则等于（ ）
A 7 B 12 C 14 D 21
2、设等比数列｛｝的公比q=2，前n项和为，则的值为（ ）
A B C D
3、已知｛｝是等差数列，若+=7，+=28。求数列｛｝前n项和；
4、设等差数列｛｝的前n项和为，若= =12。求数列｛｝前n项和。
5、已知数列｛｝是等比数列，若=2，与2的等差中项为。 求数列｛｝前n项和；
6、设｛｝是由正数组成的等比数列，是｛｝的前n项和，已知=1，=7。求数列｛｝前n项和。
【典例2】按要求解答下列各题：
1、已知等差数列｛｝的前n项和为，=5，=15，则数列{}的前100项和为（ ）
A B C D
2、数列｛｝中，=，若｛｝的前n项和=，则n等于（ ）
A 2016 B 2017 C 2018 D 2019
3、已知函数f(x)= 的图像过点（4，2），令=(n∈)，记数列｛｝的前n项和为，则= ；
4、为数列｛｝的前n项和，已知＞0，+2=4+3。
（1）求｛｝的通项公式；
（2）设=，求,数列｛｝的前n项和。
5、设=n(n+1)，=，是数列｛｝的前n项和，
求证：＜。
『思考问题2』
(1) 【典例2】中数列的共同特征是：①数列的项是一个分式；②项中分式的分子是一个常数，分母可以分解成两个因式的积；
（2）具有这种特征的数列求和时常采用的方法是裂项相消法；它的常见类型有：①=；②=两种类型；
(3）裂项相消法求和的基本方法是：①裂项，从入手，把分式裂成两个分式的差；②表示每一项用裂成的两个分式代入；③消去中间的所有项；④将剩下的项求和。
〔练习2〕解答下列问题：
1、数列｛｝的通项公式为= ，若前n项和为10，则项数为（ ）
A 11 B 99 C 120 D 121
2、在数列｛｝中，=++-----------+，设=。求数列｛｝的前n项和；
3、求数列，，，-----------，的前n项的和；
4、设数列｛｝的前n项和为，求。
5、在数列｛｝中，=1，当n2时，其前n项和满足=（-）。
（1）求的表达式；
（2）设=，求数列｛｝的前n项和。
【典例3】解答下列问题：
1、若数列｛｝的通项公式=（3n-2）.，则数列｛｝的前n项和= ；
2、设数列｛（n+1）｝的前n项和为，则= ；
3、数列｛｝满足：=3+-1（n≥2），其中=365。
（1）求：，，；
（2）若存在一个实数，使得为等差数列，求；
（3）求数列｛｝的前n项和。
4、已知数列｛｝的前n项和=3+8n，数列｛｝是等差数列，且=+。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）令= ，求数列｛｝的前n项和（2016全国高考山东卷）
『思考问题3』
(1) 【典例3】中数列的共同特征是：①数列的项是两个因式的积；②把每一项的相应因式分离出来构成一个等差数列和一个等比数列；
（2）这种数列求和常用的方法是错项相减法；
(3）错项相减法的基本方法是：①错项，表示，式子两边同乘以等比数列的公比；②相减，两个式子相减，其中一部分构成基本数列（等差数列或等比数列）；③求出基本数列的和再与剩余项相加；④求出得到数列的和。
〔练习3〕解答下列问题：
1、求数列2，3，5，---------------（2n-1) 的前n项的和；
2、设数列｛｝的前n项和为，求；
3、设等差数列｛｝的公差为d，前n项和为，等比数列｛｝的公比为q，已知=，=2，q=d，=100。
（1）求数列｛｝，｛｝的通项公式；
（2）当d＞1时，记=，求数列｛｝的前n项和。
【典例4】按要求解答下列各题：
1、数列7，77，777，7777，------77----7，----的前n项的和为（ ）
A （-1）B （-1）C ［（-1）-1］ D ［ （-1）-n］
求数列2+2，3+4，4+8，------（n+1）+的前n项的和；
3、求数列1+1，+4，+7，------，+（3n-2）的前n项的和；
4、已知数列｛｝的前n项和= (n∈)。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）设= + ，求数列｛｝的前2n项和。
『思考问题4』
(1) 【典例4】中数列的共同特征是：①数列的项是两项的和；②各项中第一项分离出来构成一个基本数列，各项中第二项分离出来也构成一个基本数列；
（2）这种数列求和常用的方法是拆项求和法；
(3）拆项求和法的基本方法是：①拆项，把数列中的每一项拆成两项；②表示每一项用拆成的两项代入；③将各项中第一项，第二项分别集中在一起，得到两个基本数列的和；④分别求出两个基本数列的和，再相加。
〔练习4〕解答下列问题：
1、数列2+，4+，6+，--------------2n+的前n项和为，则= ；
2、若数列｛｝的通项公式= +2n-1，则数列｛｝的前n项和= ；
3、数列2+，4+，6+，-----，2n+的前n项的和为，则= ；
4、已知数列｛｝的通项公式=2. +.（ln2-ln3）+.nln3的前n项和为，则= ；
5、求数列1+3，3+9，5+27，------------（2n-1）+的前n项的和；
【典例5】解答下列问题：
1、若数列｛｝的通项公式=（3n-2），则++-------+等于（ ）
A 15 B 12 C -12 D -15
2、已知=1-2+3-4+5-6+-----+.n，则++等于（）
A -5 B -1 C 0 D 6
3、求数列，-，，-，-------，-的前n项和为，则= ；
『思考问题5』
(1) 【典例5】中数列的共同特征是：①数列的项是符号交错；②相邻两项合并后构成一个新数列，这个新数列是一个基本数列；
（2）这种数列求和常用的方法是并项求和法；
(3）合并求和法的基本方法是：①并项，把数列的相邻两项合并成一项；②表示每一项是相邻两项的和得到一个基本数列；③运用基本数列的求和公式求出结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、已知=2-4+6-8+10-12+-----+2n，则++等于（ ）
A -10 B -2 C 0 D 12
2、求数列，-，，-，-------，，-的前n项和；
【追踪考试】
【典例6】解答下列问题：
1、记为数列{}的前n项和，已知+n=2+1。
（1）证明：数列{}是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最小值（2022全国高考甲卷）
2、记为数列｛｝的前n项和，已知=1，{}是公差为的等差数列。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）证明：+ +------+ <2（2022全国高考新高考I卷）
3、已知数列｛｝为等差数列，数列｛｝是公比为2的等比数列，且-=-
=-。
（1）证明：=；
（2）求集合{k|=+，1m500}中元素个数（2022全国高考新高考II卷）
4、已知等差数列{}满足2+=0，=2-2。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设=，求数列{}的前n项和（成都市2019级高三一诊）
5、记为{}的前n项和，已知>0，=3，且数列{}是等差数列，证明：数列{}是等差数列（2021全国高考甲卷）。
6、记为等比数列{}的前n项和，若=4，=6，则=（ ）（2021全国高考甲卷）
A 7 B 8 C 9 D 10
7、已知等差数列｛｝的前n项和满足：=0，=-5。
（1）数列｛｝的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和（2021全国高考乙卷）。
+1，n为奇数，
8、已知数列｛｝满足：=1，= +2，n为偶数。
（1）记=，写出，，并求数列{}的通项公式；
（2）求｛｝的前20项和（2021全国高考新高考I）。
9、已知｛｝是递增的等比列数，=1，且2，，成等差数列。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）设=（n∈），求数列｛｝的前n项和（2020成都市高三二珍）
10、设等比数列｛｝满足+=4，-=8。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）记为数列｛｝的前n项和，若+=，求m（2020全国高考新课标III）。
11、记为等比数列｛｝前n项和，若-=12，-=24，则=（ ）（2020全国高考新课标II）
A -1 B 2- C 2- D -1
12、记为等差数列｛｝的前n项和，若=-2，+=2，则= （2020全国高考新课标II）
13、设等差数列｛｝的前n项和为，且0，=3，则=（ ）（2020成都市高三一诊）
A B C D
14、在等比数列｛｝中，已知=8，且，+1，成等差数列。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）求数列｛|-4|｝的前n项和（2017成都市一珍）
『思考问题6』
【典例6】是近几年高考（或高三诊断考试或高一下期期末考试）试卷中有关数列前n项和的试题，归结起来主要包括：①求基本数列（等差数列或等比数列）前n项和问题；②裂项相消求和法；③错项求和法；④拆项求和法；⑤并项求和法等几种类型；
解答问题的基本方法是：①根据问题结构特征判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出问题的结果。
〔练习6〕解答下列问题：
1、若各项均为整数的递增数列{}的前n项和为，且4，则满足=50的n的最大值为（ ）（成都市高2021级2021-2022学年度下期期末名校联盟考试）
A 6 B 7 C 8 D 9
2、已知数列{}的前n项和为=，则++------+的最小值为 。（成都市高2021级2021-2022学年度下期期末名校联盟考试）
3、已知等差数列{}的前n项和为，若>0，+<0，则满足>0的最小正整数n的值为（ ）（成都市高2020级2020-2021学年度下期期末名校联盟考试）
A 22 B 23 C 24 D 25
4、已知数列{}满足+=3n+1，为数列{}的前n项和，则=（ ）（成都市高2020级2020-2021学年度下期期末名校联盟考试）
A 300 B 320 C 340 D 360
5、设{}是首项为1的等比数列，数列{}满足：=，已知，3，9成等差数列。
（1）求数列{}，{}的通项公式；
（2）记和分别为{}，{}的前n项和，证明：<（2021全国高考乙卷）。
6、记是公差不为0的等差数列{}的前n项和，若=，.=。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）求使>成立的n的最小值（2021全国高考新高考II卷）。
7、已知｛｝是递增的等比列数，=1，且2，，成等差数列。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）设=（n∈），求数列｛｝的前n项和（2020成都市高三二珍）
8、已知等差数列｛｝的前n项和为，且=2，=66.
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）若数列｛｝满足=，求数列｛｝的前n项和（2017成都市高三零珍）
9、已知数列｛｝的前n项和= (n)。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）设= + ，求数列｛｝的前2n项和。
10、已知等比数列｛｝的前n项和为，公比q＞1，且+1为，的等差中项，=14。
（1）求数列｛｝的通项公式；
(2)记=.，求数列｛｝的前n项和（2019成都市高三二诊）
11、设{ }是等差数列，=-10，+10，+8，+6成等比数列。
（1）求数列{ }的通项公式；
（2）记{ }的前n项和为，求的最小值（2019全国高考北京）
12、已知等比数列{}的前n项和，且=3，{+}为常数数列，且为数列{}的前n项和。（成都市高2021级2021-2022学年度下期期末名校联盟考试）
（1）求数列{}的通项公式；
（2）若存在正整数i，j（其中0第二十四讲 数列前n项和的求法
【考纲解读】
1.理解数列前n项和的定义，掌握一些简单数列求前n项和的基本方法；
2.能够运用简单数列求前n项和的基本方法熟练地解答与数列相关的问题。
【知识精讲】
数列前n项和的概念：
1、数列前n项和的定义：一个数列的前n项相加所得的结果，叫做这个数列的前n项和，通常用来表示（即=++----------+）；
2、数列｛｝的前n项和公式的定义：一个数列的前n项和可以用与序号n相关的一个式子来表示，这个式子叫做数列｛｝的前n项和公式； ， n=1，
3、数列的通项与前n项和之间的关系： = - ， n≥2。
二、数列前n项和的求法：
1、基本数列前n项和的求法：
（1）基本数列包括：①等差数列；②等比数列；
（2）等差数列的前n项和公式：①已知等差数列｛｝的首项，末项和项数n时，=；② 已知等差数列｛｝的首项，公差d和项数n时，=n+；
（3）等比数列的前n项和公式：①已知等比数列｛｝的首项，公比q（q≠1）和项数n，=；②已知等比数列｛｝的第m（m＜n）项，公比q（q≠1）和项数n，=；③已知等比数列｛｝的首项，公比q（q=1）和项数n，=n。
2、裂项相消法求数列前n项的和：
（1）适用范围（数列的结构特征）：①数列的通项是一个分式；②通项中分式的分子是一个常数，分母可以分解成几个因式的积；（2）裂项相消法的基本方法：①裂项，从通项入手，把分式裂成几个分式的差；②表示每一项用裂成的几个分式代入；③消去中间的所有项；④将剩下的项求和就可求出数列的前n项和。
3、拆项求和法求数列前n项的和：
（1）适用范围（数列的结构特征）：①数列的每一项都是几项的和；②各项中的相应项分离出来构成一个基本数列；（2）拆项求和法的基本方法：①拆项，把数列中的每一项拆成几项；②表示每一项用拆成的几项代入；③将各项中相应的项分离出来分别集中在一起，得到几个基本数列的求和；④分别求出各基本数列的和，再相加求出数列的前n项合。
4、并项求和法求数列前n项的和：
（1）适用范围（数列的结构特征）：①数列的相邻两项合并后得到一个新数列；②新数列是一个基本数列；（2）并项求和法的基本方法：①并项，把数列的相邻两项合并成一项；②表示每一项是相邻两项的和，得到一个基本数列的求和；③运用基本数列的求和公式求出数列的前n项合。
5、倒序相加法求数列前n项的和：
（1）适用范围（数列的结构特征）：①数列的每一项是两个因式的积；②项中第一个因式与序号相关，第二个因式分离出来构成等差数列；（2）倒序相加法的基本方法：①倒序，把原数列的首项作为末项，末项作为首项进行倒序；②两个式子相加，得到一个新数列；③提出新数列的公因式得到一个基本数列；④求出基本数列的和再与公因式相乘除以2求出数列的前n项和。
6、错项相减法求数列前n项的和：：
（1）适用范围（数列的结构特征）：①数列的每一项都是两个因式的积；②项中的第一个因式分离出来构成一个等差数列，项中的第二个因式分离出来构成一个等比数列；（2）错项相减法的基本方法：①错项，表示，式子两边同乘以等比数列的公比；②相减，两个式子相减，其中一部分构成一个基本数列；③求出基本数列的和再与剩余项相加；④求出得到数列的前n项和。
【探导考点】
考点1拆项求和法求数列前n项的和：热点①已知数列的前n项和公式，构造一个与已知数列通项公式相关的数列，求该数列前n项和；热点②已知两个基本数列的通项公式，构造一个数列使其通项为已知两个数列通项的和（或差），求该数列前n项和；热点③已知数列的通项公式是一个分段式，各段的式子是基本数列，求该数列前n项和；
考点2错项相减法求数列前n项的和：热点①已知数列的前n项和公式，构造一个与已知数列通项公式相关的数列，求该数列前n项和；热点②已知两个基本数列的通项公式，构造一个数列使其通项为已知两个数列通项的积，求该数列前n项和；热点③已知两个基本数列的通项公式，构造一个新数列使其通项为已知两个数列通项的商，求该数列前n项和；
考点3裂项相消法求数列前n项的和：热点①已知数列通项=，求数列｛｝前n项和；热点②已知数列通项=，求数列｛｝前n项和。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
等差数列｛｝中，已知+=16，则该数列的前11项和等于（ ）
A 58 B 88 C 143 D 176
【解析】
【知识点】①等差数列前n项和公式及运用；②等差数列首项，公差的定义与性质；③等差数列通项公式及运用。
【解题思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据问题条件得到关于首项为，公差d的等式，运用等差数列前n项和公式就可求出结果。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，+=+3d++7d=2+10d=
16，+5d=8，=11+d=11+55d=11（+5d）=118=88，B正确，
选B。
2、设｛｝是公比为q的等比数列，是它的前n项和，若{}是等差数列，则q等于（ ）
A 1 B 0 C 1或0 D -1
【解析】
【知识点】①等比数列前n项和公式及运用；②等比数列首项，公比的定义与性质；③等差数列的定义与性质。
【解题思路】设等比数列｛｝的首项为，运用等比数列前n项和公式，结合问题条件条件得到关于首项为，公比q的等式，根据等差数列的定义与性质就可求出公比q。
【详细解答】设等比数列｛｝的首项为，①当q=1时，===-------==
，=n，显然数列{}是等差数列，符合题意；②当q 1时，=，=
=（1+q），==（1+q+），，，成等差数列，2（1+q）
=+（1+q+），2+2q=2+q+，q(q-1)=0，q=0或q=1，此时无解，综上所述q=1，A正确，,选A。
3、已知等差数列｛｝满足： +=4，+=10。
求：数列｛｝前n项和；
【解析】
【知识点】①等差数列前n项和公式及运用；②等差数列首项，公差的定义与性质；③等差数列通项公式及运用。
【解题思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据问题条件得到关于首项为，公差d的方程组，求解方程组得出首项为，公差为d的值，运用等差数列前n项和公式就可求出结果。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，+=+d++3d=2+4d =4，+=+2d++4d=2+6d =10。+2d =2①，+3d =5②，联立①②解得=-4，d =3，
=-4n+3=-n。
4、设等差数列｛｝的前n项和为，已知=，=20。
求：数列｛｝前n项和。
【解析】
【知识点】①等差数列前n项和公式及运用；②等差数列首项，公差的定义与性质；③等差数列通项公式及运用。
【解题思路】设等差数列｛｝的公差为d，根据问题条件得到关于首项为，公差d的方程，求解方程得出公差为d的值，运用等差数列前n项和公式就可求出结果。
【详细解答】设等差数列｛｝的公差为d，=，=4+d=2+6d=20，
d=3，=n+3=。
5、已知各项均为正数的等比数列｛｝中，=5，=10。
求：数列｛｝前n项和；
【解析】
【知识点】①等比数列前n项和公式及运用；②等比数列首项，公比的定义与性质；③等比数列通项公式及运用。
【解题思路】设等比数列｛｝的公比为q，运用等比数列通项公式，结合问题条件条件得到关于首项为，公比q的方程组，求解方程组得出首项为，公比q的值，根据等比数列前n项和公式就可得出结果。
【详细解答】设等比数列｛｝的公比为q，==5，==10，
q=①，=，联立①②解得=，q=，=
=。
6、已知数列｛｝是首项为1的等比数列，是｛｝的前n项和，且9=。
求：数列｛｝前n项和。
【解析】
【知识点】①等比数列前n项和公式及运用；②等比数列首项，公比的定义与性质。
【解题思路】设等比数列｛｝的公比为q，运用等比数列前n项和公式，结合问题条件条件得到关于公比q的方程，求解方程得出公比q的值，根据等比数列前n项和公式就可得出结果。
【详细解答】设等比数列｛｝的公比为q，①当q=1时， ===-------==
，=n，显然9=不成立；②当当q 1时，9=，
==，=9，q=2，=1，=。
『思考问题1』
（1）【典例1】是基本数列（等差数列或等比数列）的求和问题，解答这类问题需要理解并掌握等差数列，等比数列的前n项和公式；
（2）由基本数列的求和公式可知：求基本数列前n项和的关键是由条件求出①数列的首
项；②数列的公差（或公比）；
（3）求基本数列的首项，公差（或公比）的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根据条件列出关于数列首项，公差（或公比）的方程（或方程组），②求解方程（或方程组）；③得出基本数列的首项，公差（或公比）。
〔练习1〕解答下列问题：
1、已知数列｛｝的前n项和为，并满足=2-，=4-，则等于（ ）
A 7 B 12 C 14 D 21 （答案：C）
2、设等比数列｛｝的公比q=2，前n项和为，则的值为（ ）（答案：A）
A B C D
3、已知｛｝是等差数列，若+=7，+=28。求数列｛｝前n项和；（答案：=+n)
4、设等差数列｛｝的前n项和为，若= =12。求数列｛｝前n项和。（答案：=n(n+1)）
5、已知数列｛｝是等比数列，若=2，与2的等差中项为。 求数列｛｝前n项和；（答案：=32-）
6、设｛｝是由正数组成的等比数列，是｛｝的前n项和，已知=1，=7。求数列｛｝前n项和。（答案：=8-）
【典例2】按要求解答下列各题：
1、已知等差数列｛｝的前n项和为，=5，=15，则数列{}的前100项和为（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①数列前n项和公式及运用；②等差数列前n项和公式及运用；③等差数列通项公式及运用。
【解题思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，运用等差数列前n项和公式与通项公式，结合问题条件得到关于首项为，公差为d的方程组，求解方程组得出首项为，公差为d的值，根据等差数列通项公式求出，代入进行裂项，运用数列前n项和公式就可得出结果。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d， =+4d=5，=5+10d =15，
+4d=5①，+2d =3②，联立①②解得=1，d=1，=1+n-1=n，=
=-，=+++------++=1-+-+-+-------+-+-
=1-=，=，A正确，选A。
2、数列｛｝中，=，若｛｝的前n项和=，则n等于（ ）
A 2016 B 2017 C 2018 D 2019
【解析】
【知识点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用。
【解题思路】运用数列通项公式，结合问题条件求出数列的前n项和公式，根据前n项和的值得到关于n的方程，求解方程就可得出结果。
【详细解答】=，=-，=+++------++=1-+
-+-+-------+-+-=1-==，n=2017，B正确，选B。
3、已知函数f(x)= 的图像过点（4，2），令=(n∈)，记数列｛｝的前n项和为，则= ；
【解析】
【知识点】①函数解析式的定义与求法；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用。
【解题思路】运用函数解析式的求法求出函数f(x)的解析式，根据数列通项公式，结合问题条件求出数列的前n项和公式，从而求出的值。
【详细解答】函数f(x)= 的图像过点（4，2），2=，a=， f(x)= ，
====，=+++------
++=-1+-+-+--------+-+-=-1，
=-1=-1。
4、为数列｛｝的前n项和，已知＞0，+2=4+3。
（1）求｛｝的通项公式；
（2）设=，求,数列｛｝的前n项和。
【解析】
【知识点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用；③等差数列的定义，性质与判定。
【解题思路】（1）当n=1时，由+2=4+3求出的值；当n2时，运用数列前n项和公式，通项公式，结合问题条件得到关于，的等式，利用等差数列判定的基本方法判定数列｛｝为等差数列，根据等差数列通项公式求出，验证n=1时是否成立，从而求出数列｛｝的通项公式；（2）由（1）得到,数列｛｝的通项公式，把裂成两项的差，根据数列前n项和公式求出数列｛｝的前n项和。
【详细解答】（1）当n=1时，+2=4+3，+2=4+3，-2-3=0，
=-1或=3，>0，=3；当n2时，+2=4+3，-+2（-
）=4（-）=4，（+）（--2）=0，+>0，--2=0，
-=2，=3，+2=4（+）+3，-2-15=0，=-3或=5，
>0，=3，当n2时，数列｛｝是以5为首项，2为公差的等差数列，
=5+2（n-2）=2n+1（n2），当n=1时，=21+1=2+1=3成立，=2n+1(n∈)；
（2）由（1）知，===-，=-+-+
-+---------+-+-=-==。
5、设=n(n+1)，=，是数列｛｝的前n项和，
求证：＜。
【解析】
【知识点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用。
【解题思路】运用数列通项公式，结合问题条件得到数列｛｝的通项公式，根据数列前n项和公式求出数列数列｛｝的前n项和，证明＜。
【详细解答】=n(n+1)，=，==
=<=（-），=++-------+
+<（1-+-+-+-------+-+-）=（1-）=
<，-=-=-<0，<，＜。
『思考问题2』
(1) 【典例2】中数列的共同特征是：①数列的项是一个分式；②项中分式的分子是一个常数，分母可以分解成两个因式的积；
（2）具有这种特征的数列求和时常采用的方法是裂项相消法；它的常见类型有：①=；②=两种类型；
(3）裂项相消法求和的基本方法是：①裂项，从入手，把分式裂成两个分式的差；②表示每一项用裂成的两个分式代入；③消去中间的所有项；④将剩下的项求和。
〔练习2〕解答下列问题：
1、数列｛｝的通项公式为= ，若前n项和为10，则项数为（ ）
A 11 B 99 C 120 D 121 （答案：C）
2、在数列｛｝中，=++-----------+，设=。求数列｛｝的前n项和；（答案：=）
3、求数列，，，-----------，的前n项的和；（答案：=）
4、设数列｛｝的前n项和为，求。（答案：=）
5、在数列｛｝中，=1，当n2时，其前n项和满足=（-）。
（1）求的表达式；（答案：=）
（2）设=，求数列｛｝的前n项和。（答案：=）
【典例3】解答下列问题：
1、若数列｛｝的通项公式=（3n-2）.，则数列｛｝的前n项和= ；
【解析】
【知识点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用。
【解题思路】运用数列通项公式，结合问题条件得到数列｛｝的前n项和关于n的式子，根据=（3n-2）.的结构特征，把数列前n项和关于n的式子两边同乘以2得到又一个数列前n项和关于n的式子，两个式子相减得出c(c为常数)关于n的式子，这个式子中的一部分是等差数列（或等比数列），利用等差数列（或等比数列）的前n和公式求出这部分的和，从而可以求出数列｛｝的前n项和的值。
【详细解答】=（3n-2）.，=+++------++=2+4+7
+--------+（3n-5）+（3n-2）①，2=2（+++------++）=
+4+7+--------+（3n-5）+（3n-2）②，①-②得：-=2+3+3
+3+--------+3-（3n-2）=2+3（+++-------+）-3n-2）=2+
3（）-（3n-2）=2+3-4-（3n-2）=-2-（3n-5），
=（3n-5）+2。
2、设数列｛（n+1）｝的前n项和为，则= ；
【解析】
【知识点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用。
【解题思路】运用数列通项公式，结合问题条件得到数列｛｝的前n项和关于n的式子，根据=（n+1）的结构特征，把数列前n项和关于n的式子两边同乘以得到又一个数列前n项和关于n的式子，两个式子相减得出c(c为常数)关于n的式子，这个式子中的一部分是等差数列（或等比数列），利用等差数列（或等比数列）的前n和公式求出这部分的和，从而可以求出数列｛｝的前n项和的值。
【详细解答】=（n+1），=+++------++=2+3+4
+--------+n+（n+1）①，=2+3+4+--------+ n
+（ n+1）②，①-②得：=1++++-----+-（n+1）=-（n+1）=2-2-（n+1）=2-（n+3）=4-（n+3）。
3、数列｛｝满足：=3+-1（n≥2），其中=365。
（1）求：，，；
（2）若存在一个实数，使得为等差数列，求；
（3）求数列｛｝的前n项和。
【解析】
【知识点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用；③等差数列的定义与性质。
【解题思路】（1）由问题条件分别令n=4，或n=3或n=2就可求出，，的值；（2）分别令n=1，或n=2或n=3分别得到，，，运用等差数列的定义与性质，结合（1）的结果得出关于的方程，求解这个方程，就可运求出的值；（3）用数列通项公式，结合问题条件得到数列｛｝的前n项和关于n的式子，根据=（n+）. +的结构特征，把数列前n项和关于n的式子两边同乘以3得到又一个数列前n项和关于n的式子，两个式子相减得出c(c为常数)关于n的式子，这个式子中的一部分是等差数列（或等比数列），利用等差数列（或等比数列）的前n和公式求出这部分的和，从而可以求出数列｛｝的前n项和的值。
【详细解答】=3+-1（n≥2），=365，当n=4时，=3+-1，365=
3+81-1，=95；当n=3时，=3+-1，95=3+27-1，=23；当n=2时，=3+-1，23=3+9-1，=5；（2）=5，=23，=95，数列，
当n=1时，=，当n=2时，=，当n=3时，=，
数列成等差数列，=+，138+6=45+9+95+，
=-，（3）由（2）知=，=，-=1，数列是以为首项，1为公差的等差数列，=+（n-1）1=n+，=（n+）. +，
=+++------++=3+2+3+-------+（n-1）+n+（3+
++-------++）+n①，3=3（+++------++）=+2+3+
-------+（n-1）+n+（3+++-------++）+n②，①-②得：-2
=3+++------+- n-（3+++-------++）-n=- n-n，= n+
n= n（1+）。
4、已知数列｛｝的前n项和=3+8n，数列｛｝是等差数列，且=+。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）令= ，求数列｛｝的前n项和（2016全国高考山东卷）
【解析】
【知识点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用。
【解题思路】（1）由问题条件当n=1时，根据=3+8n就可求出的值；当n2时，运用公式=-求出，验证n=1时是否成立，求出数列｛｝的通项公式，从而求出数列｛｝的通项公式；（2）由= 数列｛｝的通项公式，根据数列｛｝通项公式，结合问题条件得到数列｛｝的前n项和关于n的式子，根据=6（n+1）的结构特征，把数列前n项和关于n的式子两边同乘以2得到又一个数列前n项和关于n的式子，两个式子相减得出c(c为常数)关于n的式子，这个式子中的一部分是等差数列（或等比数列），利用等差数列（或等比数列）的前n和公式求出这部分的和，从而可以求出数列｛｝的前n项和的值。
【详细解答】=3+8n，当n=1时，==31+81=3+8=11；当n2时，=-=3+8n-3-8（n-1）=6n+5，当n=1时， =61+5=11成立，
=6n+5(n∈)，数列｛｝是等差数列，且=+，设数列｛｝的首项为，公差为d，=6n+5=+=2+（2n-1）d①，=6（n-1）+5=6n-1=+=2+（2n-3）d②，=4，d=3，=4+3（n-1）=3n+1(n∈)；（2）=
===6（n+1），=+++------++=6[22
+3+4+-------+n+（n+1）]①，2=2（+++------++）
=6[2+3+4+-------+n+（n+1）]②，①-②得：-=6[2+2+
++------+-（n+1） ]= 6[2+-（n+1）]= 6[-（n+1）]
=-6n.，=6n.。
『思考问题3』
(1) 【典例3】中数列的共同特征是：①数列的项是两个因式的积；②把每一项的相应因式分离出来构成一个等差数列和一个等比数列；
（2）这种数列求和常用的方法是错项相减法；
(3）错项相减法的基本方法是：①错项，表示，式子两边同乘以等比数列的公比；②相减，两个式子相减，其中一部分构成基本数列（等差数列或等比数列）；③求出基本数列的和再与剩余项相加；④求出得到数列的前n项和。
〔练习3〕解答下列问题：
1、求数列2，3，5，--------（2n-1) 的前n项的和；(答案：=6+2（n-1）)
2、设数列｛｝的前n项和为，求；(答案：=2-（n+2）)
3、设等差数列｛｝的公差为d，前n项和为，等比数列｛｝的公比为q，已知=，=2，q=d，=100。
（1）求数列｛｝，｛｝的通项公式；（答案：=2n-1，=；）
（2）当d＞1时，记=，求数列｛｝的前n项和。(答案：=6-（2n+3）)
【典例4】按要求解答下列各题：
1、数列7，77，777，7777，------77----7，----的前n项的和为（ ）
A （-1）B （-1）C ［（-1）-1］ D ［ （-1）-n］
【解析】
【知识点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用。
【解题思路】运用数列通项公式，结合问题条件得到数列｛｝的通项公式：=77-----7=7
11-----1=7（1+10++------+）=7=-，将每一项分成两项，从而可知数列｛｝由两个基本数列（等差数列或等比数列），利用基本数列的前n项和公式，分别求出两个基本数列的前n和，把两个前n和相加，就可求出数列｛｝的前n项和的值。
【详细解答】数列｛｝的通项公式：=77-----7=7 11-----1=7（1+10++------+）
=7=-，=（10+++------+）-n=
-n=[（-1）-n]，D正确，选D。
求数列2+2，3+4，4+8，------（n+1）+的前n项的和；
【解析】
【知识点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用。
【解题思路】运用数列通项公式，结合问题条件得到数列｛｝的通项公式：=（n+1）+，将每一项分成两项，从而可知数列｛｝由两个基本数列（等差数列或等比数列），利用基本数列的前n项和公式，分别求出两个基本数列的前n和，把两个前n和相加，就可求出数列｛｝的前n项和的值。
【详细解答】=（n+1）+，=[2+3+4+-------+（n+1）]+(2+4+8+--------+)
=+=+-2。
3、求数列1+1，+4，+7，------，+（3n-2）的前n项的和；
【解析】
【知识点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用。
【解题思路】运用数列通项公式，结合问题条件得到数列｛｝的通项公式：=（n+1）+，将每一项分成两项，从而可知数列｛｝由两个基本数列（等差数列或等比数列），利用基本数列的前n项和公式，分别求出两个基本数列的前n和，把两个前n和相加，就可求出数列｛｝的前n项和的值。
【详细解答】=+（3n-2），=（1+++-------+）+[1+4+7+-----+（3n-2）]
=+=+。
4、已知数列｛｝的前n项和= (n∈)。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）设= + ，求数列｛｝的前2n项和。
【解析】
【知识点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用。
【解题思路】（1）运用数列通项公式与前n项和公式之间的关系，结合问题条件就可求出数列｛｝的通项公式；（2）由（1）得到数列｛｝的通项公式：=（n+1）+，将每一项分成两项，从而可知数列｛｝由两个基本数列（等差数列或等比数列），利用基本数列的前n项和公式，分别求出两个基本数列的前n和，把两个前n和相加，就可求出数列｛｝的前n项和的值。
【详细解答】数列｛｝的前n项和= (n∈)，当n=1时，==
=1；当n2时，=-=-==2n-1，
当n=1时， =21-1=1成立，=2n-1(n∈)；（2）由（1）得=2n-1，= + ，=+（2n-1），=（2+++---------+）-（1+5+9+-------+
4n-3）+（3+7+11+-------+4n-1）=-+=
--（2-n）+（2+n）=+2n-。
『思考问题4』
(1) 【典例4】中数列的共同特征是：①数列的项是两项的和；②各项中第一项分离出来构成一个基本数列，各项中第二项分离出来也构成一个基本数列；
（2）这种数列求和常用的方法是拆项求和法；
(3）拆项求和法的基本方法是：①拆项，把数列中的每一项拆成两项；②表示每一项用拆成的两项代入；③将各项中第一项，第二项分别集中在一起，得到两个基本数列的和；④分别求出两个基本数列的和，再相加。
〔练习4〕解答下列问题：
1、数列2+，4+，6+，--------------2n+的前n项和为，则= ；（答案：=-+n(n+1)+1）
2、若数列｛｝的通项公式= +2n-1，则数列｛｝的前n项和= ；（答案：=+-2）
3、数列2+，4+，6+，-----，2n+的前n项的和为，则= ；（答案：=-+n(n+1)+）
4、已知数列｛｝的通项公式=2. +.（ln2-ln3）+.nln3的前n项和为，则= ；（答案：当n为偶数时，=+ln3-1；当n为奇数时，=+ln3
-（n-1）ln3-1；）
5、求数列1+3，3+9，5+27，------------（2n-1）+的前n项的和；（答案：=+-）
【典例5】解答下列问题：
1、若数列｛｝的通项公式=（3n-2），则++-------+等于（ ）
A 15 B 12 C -12 D -15
【解析】
【知识点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用。
【解题思路】运用数列通项公式，结合问题条件得到数列｛｝前n项和的表示式，注意相邻两项的符号，把它们相加，从而得到一个项数是原数列项数一半的新数列，这个新数列是基本数列，利用基本数列前n项和公式就可求出数列｛｝的前n项和的值。
【详细解答】=（3n-2），=-1+4-7+10+-------- -25+28=(-1+4)+(-7+10)+(-13
+16)+(-19+22)+(-25+28)=3+3+3+3+3=15, A正确，选A。
2、已知=1-2+3-4+5-6+-----+.n，则++等于（）
A -5 B -1 C 0 D 6
【解析】
【知识点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用。
【解题思路】运用问题条件得到数列｛｝前n项和的表示式，注意相邻两项的符号，把它们相加，从而得到一个项数是原数列项数一半的新数列，这个新数列是基本数列，利用基本数列前n项和公式就可求出数列｛｝的前n项和的值。
【详细解答】=1-2+3-4+5-6+-----+.n，=1-2+3-4+5-6=（1-2）+（3-4）+（5-6）
=-1-1-1=-3；=1-2+3-4+5-6+7-8+9-10=（1-2）+（3-4）+（5-6）+（7-8）+（9-10）=-1-1-1-
1-1=-5；=1-2+3-4+------+13-14+15=（1-2）+（3-4）+------+（11-12）+（13-14）+15=-1-1-
1-------1+15=-7+15=8；++=-3-5+8=0，C正确，选C。
3、求数列，-，，-，-------，-的前n项和为，则= ；
【解析】
【知识点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用。
【解题思路】运用数列通项公式，结合问题条件得到数列｛｝前n项和的表示式，注意相邻两项的符号，把它们相加，从而得到一个项数是原数列项数一半的新数列，这个新数列是基本数列，利用基本数列前n项和公式就可求出数列｛｝的前n项和的值。
【详细解答】-=（100+99）（100-99）=1991=199，-=（98+97）（98-97）=1951=195，---------，-=（4+3）（4-3）=71=7，-=（2+1）（2-1）=31=3，
=-+-+-------+-+-=199+195+------+7+3==50
101=5050。
『思考问题5』
(1) 【典例5】中数列的共同特征是：①数列的项是符号交错；②相邻两项合并后构成一个新数列，这个新数列是一个基本数列；
（2）这种数列求和常用的方法是并项求和法；
(3）合并求和法的基本方法是：①并项，把数列的相邻两项合并成一项；②表示每一项是相邻两项的和得到一个基本数列；③运用基本数列的求和公式求出结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、已知=2-4+6-8+10-12+-----+2n，则++等于（ ）（答案：C）
A -10 B -2 C 0 D 12
2、求数列，-，，-，-------，，-的前n项和；（答案：=5100）
【追踪考试】
【典例6】解答下列问题：
1、记为数列{}的前n项和，已知+n=2+1。
（1）证明：数列{}是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最小值（2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质；②数列通项公式与前n项和公式之间的关系及运用；③证明数列是等差数列的基本方法；④等差数列通项公式及运用；⑤等比中项定义与性质；⑥等差数列前n项和公式及运用；⑦求一元二次函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据等差数列的性质，运用证明数列是等差数列的基本方法，结合问题条件就可证明数列{}是等差数列；（2）根据等差数列通项公式表示出，，关于的式子，运用等比中项的性质得到关于的方程，求解方程求出的值，由等差数列前n和公式得到关于n的一元二次函数，利用一元二次函数求最值的基本方法就可求出的最小值。
【详细解答】（1）证明：当n2时， +n=2+1， 2=2n+n-①，2=2（n-1）+n-1-②，①-②得：2（-）=2=2n+n--2（n-1）-n+1+，2（n-1）-2（n-1）=2（n-1），-=1（n2，n），当n=2时，- =1，数列{}是以为首项，1为公差的等差数列；（2）由（1）
知，=+3，=+6，=+8，，，成等比数列， =（+3）（+8），
=-12，数列{}是以-12为首项，1为公差的等差数列，=-12n+1
=-n，当且仅当n=-==13（或n=12）时，取得最小值为= = =（13-25）=-78，若，，成等比数列，则的最小值为-78。
2、记为数列｛｝的前n项和，已知=1，{}是公差为的等差数列。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）证明：+ +------+ <2（2022全国高考新高考I卷）
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前N项和公式及运用；④数列前N项和公式与通项公式之间的关系及运用；⑤裂项相消求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（1）根据等差数列的性质，结合问题条件得到与之间的关系式，求出，从而得到关于，的等式，运用判断一个数列是等差数列的基本方法判断数列｛｝是等差数列，利用等差数列的通项公式就可求出数列｛｝的通项公式；（2）根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。（文）（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等差数列｛｝的首项为，公差为d的方程组，求解方程组求出等差数列｛｝的首项为，公差为d的值就可求出数列｛｝的通项公式；（2）根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。
【详细解答】（1）=1，==1，=1，{}是公差为的等差数列，
=1+（n-1）=n+，=（n+），=（n+）（n2），
-==n（-）+-，（n-1）-（n+1）=0，
=，=，-------，=，=，=，=1+=，
3（+）=4，=3=3，=（n2），当n=1时，=
=1成立，数列｛｝的通项公式为： =；（2）证明：由（1）知，=，
==2（-），+ +------+ =2（1-+-+-------+-
+-）=2（1-）<21=2，+ +------+ <2。
3、已知数列｛｝为等差数列，数列｛｝是公比为2的等比数列，且-=-
=-。
（1）证明：=；
（2）求集合{k|=+，1m500}中元素个数（2022全国高考新高考II卷）
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质；②等比数列定义与性质；③等差数列通项公式及运用；④等比数列通项公式及运用；⑤表示集合的基本方法。
【解题思路】（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，等比数列｛｝首项为，根据等差数列和等比数列的性质，运用等差数列和等比数列的通项公式，结合问题条件得到关于，d，的方程组，求解方程组求出，就可证明结论；（2）由（1）知==，根据等差数列和等比数列的通项公式，结合问题条件得到k关于m的表示式，由m的取值范围，求出k的取值范围，从而就可求出求集合{k|=+，1m500}中元素个数。
【详细解答】（1）证明：设等差数列｛｝的首项为，公差为d，等比数列｛｝首项为，-=-=-，+d-2=+2d-4，d-2=0①，+2d-4=8--3d，12-2-5d=0②，联立①②得：2-2=0，=；（2）
由（1）知==，=.=d.，+=+(m-1)d+=md，=+，
d.=md，=m，1m500，1500，0k-28，2k10，
集合{k|=+，1m500}={2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合{k|=+，1m500}中元素个数是9个。
4、已知等差数列{}满足2+=0，=2-2。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设=，求数列{}的前n项和（成都市2019级高三一诊）
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③数列前n项和定义与性质；④求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（1）根据等差数列的性质，运用等差数列通项公式得到关于等差数列{}的首项，公差的方程组，求解方程组求出数列{}的首项，公差的值就可得出数列{}的通项公式；（2）根据数列前n项和的性质，运用求数列前n项和的基本方法就可求出数列{}的前n项和。
【详细解答】（1）设等差数列{}的首项为，公差为d， 2+=0，=2-2，
3+6d=0①，+6d=2+6d-2②，联立①②解得：=2，d=-1，数列{}的通项公式为=2+（n-1）(-1)=-n+3；（2）===， 数列{}的前n项和为=+2+1+++------+==8（1-）=8-。
5、记为{}的前n项和，已知>0，=3，且数列{}是等差数列，证明：数列{}是等差数列（2021全国高考甲卷）。
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④证明数列是等差数列的基本方法。
【解题思路】根据等差数列的性质和等差数列通项公式，结合问题条件得到关于等差数列{}公差d，的等式，从而把公差d表示为关于首项的式子，运用等差数列前n项和公式得到关于数列首项的式子，从而得到关于数列首项的式子，利用证明数列为等差数列的基本方法就可证明数列{}是等差数列。
【详细解答】证明：设等差数列{}的公差为d，>0，=3，=，==2，d=-=2-=， =+（n-1）=n，=，当n=1时，==，当n2时，=-=
-=（-+2n-1）=（2n-1），=[2（n-1）-1] =（2n-3），-=[2n-1-(2n-3)] =2为常数， -=3-=2，数列{}是以为首，2为公差的等差数列。
6、记为等比数列{}的前n项和，若=4，=6，则=（ ）（2021全国高考甲卷）
A 7 B 8 C 9 D 10
【解析】
【考点】①等比数列定义与性质；②等比数列前n项和公式及运用。
【解题思路】根据等比数列的性质和等比数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等比数列{}首项，公比的方程组，求解方程组求出等比数列{}首项，公比的值，运用等比数列前n项和公式求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q， =（1+q）=4①，=（1+q++）=6②，联立①②解得：=8-4，q=，==7，A正确，选A。
7、已知等差数列｛｝的前n项和满足：=0，=-5。
（1）数列｛｝的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和（2021全国高考乙卷）。
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④裂项相消求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等差数列｛｝的首项为，公差为d的方程组，求解方程组求出等差数列｛｝的首项为，公差为d的值就可求出数列｛｝的通项公式；（2）根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。
【详细解答】（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=3+3d=0①，=5+10d=-5②，联立①②解得：=1，d=-1，=1-（n-1）=2-n，即数列｛｝的通项公式为： =2-n；（2）===（-），=（-1-1+1-+-+-+-------+-+
-）=（-1-）=-，即数列｛｝的前n项和为-。
+1，n为奇数，
8、已知数列｛｝满足：=1，= +2，n为偶数。
（1）记=，写出，，并求数列{}的通项公式；
（2）求｛｝的前20项和（2021全国高考新高考I）。
【解析】
【考点】①数列递推公式及运用；②等差数列的定义与性质；③等差数列通项公式及运用；④等差数列前n项和公式及运用；⑤判断一个数列是等差数列的基本方法。
【解题思路】（1）根据数列递推公式，结合问题条件求出，，运用判断一个数列是等差数列的基本方法，判断数列{}为等差数列，利用等差数列的通项公式就可求出数列{}的通项公式；（2）由（1）知求数列｛｝的奇项数列和偶项数列都是以3为公差的等差数列，运用等差数列的前n项和公式就可求出｛｝的前20项和。
【详细解答】（1）=1，=，==+1=1+1=2，==+1=+2+1=2+2+1=5，
==+1=+2+1=+3，=，-=+3-=3，数列{}是以2为首项，3为公差的等差数列，=2+3（n-1）=3n-1，即数列{}的通项公式为：
=3n-1；（2）由（1）知数列｛｝的奇项数列和偶项数列都是以3为公差的等差数列，=101+3+102+3=30+1093=300，即数列｛｝的前20项和为300。
9、已知｛｝是递增的等比列数，=1，且2，，成等差数列。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）设=（n∈），求数列｛｝的前n项和（2020成都市高三二珍）
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等差中项的定义与性质；③等比数列通项公式的定义
与求法；④对数的定义与性质；⑤裂项相消求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（1）运用等比数列通项公式和等差中项的性质得到关于公比q的方程，求解方程求出等比数列｛｝的公比就可得到等比数列｛｝的通项公式；（2）根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和。
【详细解答】（1）设等比数列｛｝的公比为q， =q，=，=，
2，，成等差数列，3=2q+，-3+2q=0，q=0或q=1或q=2，=1，｛｝是递增的等比列数，q=2，=1=；
（2）===-，=1-+-+-------+-
+-=1-=。
10、设等比数列｛｝满足+=4，-=8。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）记为数列｛｝的前n项和，若+=，求m（2020全国高考新课
标III）。
【解析】
【考点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式定义及运用；③对数的定义与性质；④等比数列前n项和公式及运用。
【解题思路】（1）运用等比数列｛｝的通项公式得到关于首项，公比q的方程组，求解方程组求出首项，公比q的值就可得到数列｛｝的通项公式；（2）运用对数的定义与性质求出数列｛｝的通项公式，从而得到数列｛｝的前n项和公式，根据数列｛｝的前n项和公式得到关于m的方程，求解方程就可得出m的值。
【详细解答】（1）设等比数列｛｝的公比为q，+=（1+q）=4①，-=（-1）=8②，联立①②解得：q=3，=1，数列｛｝的通项公式为=1=；
（2）==n-1，=0+1+2+-------+（n-1）=，=，=，==，+=，+=，-5m-6=0，m=-1或m=6，m， m=6。-4n+=-4n-2。
11、记为等比数列｛｝前n项和，若-=12，-=24，则=（ ）（2020全国高考新课标II）
A -1 B 2- C 2- D -1
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用。
【解题思路】运用等比数列通项公式结合问题条件求出等比数列的首项和公比的值，求出等比数列通项与前n项和，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，-=12，-=24，（
-1）=12①，（-1）=24②，联立①②解得：=1，q=2，=，==-1，==2-，B正确，选B。
12、记为等差数列｛｝的前n项和，若=-2，+=2，则= （2020全国高考新课标II）
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的公差为d，结合问题条件得到关于d的方程，求解方程得出d的值，从而求出数列前n项和就可求出的值。
【详细解答】设等差数列｛｝的公差为d，=-2，+=2，-4+6d=2，d=1，=10（-2）+1=-20+45=25。
13、设等差数列｛｝的前n项和为，且0，=3，则=（ ）（2020成都市高三一诊）
A B C D
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，结合问题条件得到关于，d的等式，从而把d表示成关于的式子，得出数列前n项和，求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=+4d=3=3+6d，
d=-,=n+=n(n+1), ==,C正确，选C。
14、在等比数列｛｝中，已知=8，且，+1，成等差数列。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）求数列｛|-4|｝的前n项和（2017成都市一珍）
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等差中项的定义与性质；③求等比数列通项公式的基本方法；④拆项求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（1）运用等比数列通项公式和等差中项的性质，结合问题条件得到关于首项，公比q的方程组，求解方程组求出首项，公比q的值，从而求出数列｛｝的通项公式；（2）根据（1）的结果，求出数列｛-4｝的通项公式，利用拆项求和法求出数列｛-4｝的前n项和。
【详细解答】（1）设等比数列｛｝的公比为q， ==8①，，+1，成等差数列，2q+2=+②，联立①②解得=2，q=2，数列｛｝的通项公式为：=2=；（2）由（1）知-4==-4，=2-4+-4+-4+-----+-4
=（-4-4--------4）+（2+++-----+）=-4n+=-4n-2。
『思考问题6』
【典例6】是近几年高考（或高三诊断考试或高一下期期末考试）试卷中有关数列前n项和的试题，归结起来主要包括：①求基本数列（等差数列或等比数列）前n项和问题；②裂项相消求和法；③错项求和法；④拆项求和法；⑤并项求和法等几种类型；
解答问题的基本方法是：①根据问题结构特征判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出问题的结果。
〔练习6〕解答下列问题：
1、若各项均为整数的递增数列{}的前n项和为，且4，则满足=50的n的最大值为（ ）（成都市高2021级2021-2022学年度下期期末名校联盟考试）（答案：B）
A 6 B 7 C 8 D 9
2、已知数列{}的前n项和为=，则++------+的最小值为 。（成都市高2021级2021-2022学年度下期期末名校联盟考试）（答案：）
3、已知等差数列{}的前n项和为，若>0，+<0，则满足>0的最小正整数n的值为（ ）（成都市高2020级2020-2021学年度下期期末名校联盟考试）（答案：B）
A 22 B 23 C 24 D 25
4、已知数列{}满足+=3n+1，为数列{}的前n项和，则=（ ）（成都市高2020级2020-2021学年度下期期末名校联盟考试）（答案：C）
A 300 B 320 C 340 D 360
5、设{}是首项为1的等比数列，数列{}满足：=，已知，3，9成等差数列。
（1）求数列{}，{}的通项公式；（答案：=，=n；）
（2）记和分别为{}，{}的前n项和，证明：<（2021全国高考乙卷）。（提
示：分别求出，就可证明结论）
6、记是公差不为0的等差数列{}的前n项和，若=，.=。
（1）求数列{}的通项公式；（答案：=n-；）
（2）求使>成立的n的最小值（2021全国高考新高考II卷）。（答案：使>成立的n的最小值为4。）
7、已知｛｝是递增的等比列数，=1，且2，，成等差数列。
（1）求数列｛｝的通项公式；（答案：=；）
（2）设=（n∈），求数列｛｝的前n项和（2020成都市高三二珍）（答案：=。）
8、已知等差数列｛｝的前n项和为，且=2，=66.
（1）求数列｛｝的通项公式；（答案：=n；）
（2）若数列｛｝满足=，求数列｛｝的前n项和（2017成都市高三零珍）（答案：=-2。）
9、已知数列｛｝的前n项和= (n)。
（1）求数列｛｝的通项公式；（答案：=2n-1；）
（2）设= + ，求数列｛｝的前2n项和。（答案：=+2n-。）
10、已知等比数列｛｝的前n项和为，公比q＞1，且+1为，的等差中项，=14。
（1）求数列｛｝的通项公式；（答案：=；）
(2)记=.，求数列｛｝的前n项和（2019成都市高三二诊）（答案：=（n-1）+2。）
11、设{ }是等差数列，=-10，+10，+8，+6成等比数列。
（1）求数列{ }的通项公式；（答案：=2n-12；）
（2）记{ }的前n项和为，求的最小值（2019全国高考北京）（答案：的最小值是-25。）
12、已知等比数列{}的前n项和，且=3，{+}为常数数列，且为数列{}的前n项和。（成都市高2021级2021-2022学年度下期期末名校联盟考试）
（1）求数列{}的通项公式；（答案：=3；）
（2）若存在正整数i，j（其中0HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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