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人教B版（2019）必修第二册《5.3.2 事件之间的关系与运算》巩固练习
一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）一个命题的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是
A. 命题是真命题 B. 命题的否命题是假命题
C. 命题的逆否命题是假命题 D. 命题的否命题是真命题
2.（5分）下列命题中的真命题是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两种商品连续天的销售数据，则下列说法错误的是
A. 乙销售数据的极差为 B. 甲销售数据的众数为
C. 乙销售数据的均值比甲大 D. 甲销售数据的中位数为
4.（5分）把红、黄、蓝、绿张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得蓝牌”与“丁分得蓝牌”
A. 是对立事件 B. 是不可能事件
C. 不是互斥事件 D. 是互斥但不对立事件
5.（5分）某创业公司共有名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了位代表，得到的数据分别为、、、、、、、、，若用样本估计总体，年龄在内的人数占公司人数的百分比是其中是平均数，为标准差，结果精确到
A. B. C. D.
6.（5分）执行如图所示程序框图，输出的值为
A. B. C. D.
7.（5分）某西瓜种植基地种植了三个品种的西瓜共计亩，其中品种亩，品种亩，品种亩．为了解该西瓜种植基地的西瓜产量，按照各品种的种植亩数在总体中所占的比例进行分层随机抽样，从总体中抽出亩作为样本进行调查，测得样本中品种总产量为吨，品种总产量为吨，品种总产量为吨，则这亩西瓜的总产量估计为
A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨
8.（5分）“”是“”的
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充分不必要条件
9.（5分）两名男生和两名女生站成一排照相，则两名男生相邻的概率为
A. B. C. D.
10.（5分）从年底开始，某有色金属的价格一路水涨船高，下表是年我国某企业的前个月该有色金属价格与月份的统计数据：
月份代码
价格万元
由上表可知其线性回归方程为，则
A. B. C. D.
11.（5分）如图，先画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第个正方形，依此类推，得到第个正方形在正方形内随机取一点，则此点取自正方形内的概率是

A. B. C. D.
12.（5分）已知命题是命题“若，则”的否命题；命题：“若复数是实数，则实数”，则下列命题中为真命题的是

A. B. C. D.
13.（5分）已知半径为的圆与轴交于，两点，圆心到轴的距离为若，并规定当圆与轴相切时，则圆心的轨迹为
A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）牡丹江一中期末一个总体的容量为，其中的个体编号为，，，…，现需从中抽取一个容量为的样本，请从随机数表的倒数第行下表为随机数表的最后行第列的开始，依次向下，到最后一行后向右，直到取足样本，则第一个入样的号码是__________，最后一个入样的号码是__________.
15.（5分）二进制数化为十进制数是______，再化为八进制数是______．
16.（5分）已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到四棱锥，则在翻折的过程中有下列结论：
①四棱锥的体积最大值为；
②四棱锥的外接球体积不变；
③异面直线与所成角的最大值为．
其中正确的是______填写所有正确结论的编号
17.（5分）已知是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是______．
18.（5分）若双曲线的离心率为，则______．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）年月日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了名学生，并获得了他们一周课外阅读时间单位：小时的数据，按阅读时间分组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制了频率分布直方图如下图所示．已知第三组的频数是第五组频数的倍．
求的值，并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；
现从第三、四、五这组中用分层抽样的方法抽取人参加校“中华诗词比赛”经过比赛后，从这人中随机挑选人组成该校代表队，求这人来自不同组别的概率．
20.（12分）新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长．下表是小王同学记录的某国连续天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数．
日期代码
累计确诊人数
为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：，对变量和的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下注：残差：经过计算得，，，，
其中，．
根据残差图，比较模型，的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；
根据问选定的模型求出相应的回归方程系数均保留一位小数；
由于时差，该国截止第天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布．小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在问求出的回归方程来对感染人数作出预测，那么估计该地区第天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
21.（12分）设命题：不等式恒成立；命题：函数在上单调递增
Ⅰ若命题为真命题，求实数的取值范围；
Ⅱ若命题：“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围．
22.（12分）已知袋中放有形状大小相同的小球若干，其中标号为的小球个，标号为的小球个，标号为的小球个，从袋中随机抽取一个小球，取到标号为的小球的概率为，现从袋中不放回地随机取出个小球，记第一次取出的小球标号为，第二次取出的小球标号为．
记“”为事件，求事件发生的概率．
在区间上任取两个实数，，求事件“恒成立”的概率．
23.（12分）某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人人，第二车间有工人人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间单位：分别进行统计，得到下列统计图表按照，，，分组．
分组 频数
合计
第一车间样本频数分布表
Ⅰ分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于的人数；
Ⅱ分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表
Ⅲ从第一车间被统计的生产时间小于的工人中随机抽取人，求抽取的人中，至少人生产时间小于的概率．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：逆命题和否命题互为逆否命题，
它们的真假性相同，
依题意，则命题的否命题是假命题，
故选：．
根据逆否命题的等价性进行判断．
这道题主要考查命题的真假判断，根据否命题和逆命题是逆否命题的关系是解决本题的关键．
2.【答案】D;
【解析】解：对于，当时，，不正确；
对于，当时，，不正确；
对于，，不正确；
对于，当时，，，满足条件，D正确；
故选：．
通过举例说明、不正确，D正确；可以推导出不成立．
该题考查了全称命题与特称命题真假的判定问题，解题时可以通过举例说明或正面推导的方法来解答，是基础题．
3.【答案】D;
【解析】解：对于，乙销售数据的极差为，选项正确；
对于，甲销售数据的众数为，选项正确；
对于，甲组数据主要集中在内，乙组数据主要集中在内，
所以乙销售数据的均值比甲大，选项正确；
对于，甲销售数据的中位数是，选项错误．
故选：
根据茎叶图中数据，结合极差、众数、平均数和中位数的定义，判断即可．
此题主要考查了根据茎叶图求数据的极差、众数、平均数和中位数的应用问题，是基础题．
4.【答案】D;
【解析】解：一次试验事件“甲分得蓝牌”与“丁分得蓝牌”不可能同时发生，也可能都不发生，
事件“甲分得蓝牌”与“丁分得蓝牌”是互斥但不对立事件，
故选：
解：根据互斥事件、对立事件的概念直接判断．
此题主要考查了互斥事件、对立事件的概念，是基础题．
5.【答案】C;
【解析】解，依题意，，
，
所以年龄在内的人数即在的人数有人，
故年龄在内的人数占公司人数的百分比为：，
故选：．
根据给出信息，计算，，数出年龄在内的人数，计算占比即可．
该题考查了用样本估计总体，考查了平均数和标准差的计算，属于基础题．
6.【答案】B;
【解析】解：由程序框图可知：，，，，，，，，，
而后输出值为，
故选：．
理解程序框图的相关作用，计算可得结论．
本小题通过程序框图考查学生的逻辑推理能力，要求学生将程序框图读懂，并且理解程序框图的相关作用，本小题是一道基本题．
7.【答案】C;
【解析】

根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
此题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
解：由题意可得，这亩西瓜的总产量估计为
故选：
8.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．
解出关于的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．

解：或，
或，
或推不出，
“”是“”的充分不必要条件
故选：．
9.【答案】B;
【解析】
此题主要考查等可能事件的概率.四个人站成一排，共有，名男生相邻，可以把两名男生看成一个元素，同另外两个元素进行排列，男生内部也有一个排列，共有，即可得到概率．

解：由题意知，四个人站成一排，共有种结果，
满足条件的事件是名男生相邻，可以把两名男生看成一个元素，
同另外两个元素进行排列，男生内部也有一个排列，共有种结果，
要求的概率是
故选

10.【答案】A;
【解析】解：由表中数据可得，，，
代入线性回归方程，得，
故选：
求出样本中心点，代入回归直线方程即可．
此题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题．
11.【答案】C;
【解析】
此题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出正方形面积之间的关系是解决本题的关键．
结合图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的则四边形的面积构成公比为的等比数列，根据几何概率的求法：所投点落在第四个正方形的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．

解：观察图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的，
四边形的面积构成公比为的等比数列，
第个正方形的面积为，
即第四个正方形的面积为，
根据几何概型的概率公式可得所投点落在第四个正方形的概率为，
故选
12.【答案】D;
【解析】
此题主要考查的知识点是复合命题及其真假判断，先判断两个简单命题的真假是解答的关键．

解：命题“若，则”的否命题为：“若，则”，
故命题为假命题；
若复数是实数，则，解得：，或，
故命题为假命题；
故命题为真命题.
故选

13.【答案】C;
【解析】解：设圆心，由题意可得，又，
由题意可得，
所以，
所以圆心的轨迹为椭圆，
故选：．
设圆心的坐标，由题意可得的坐标之间的关系，进而可得轨迹方程．
该题考查求轨迹方程的方法，及圆的性质，属于中档题．
14.【答案】;;
【解析】
此题主要考查简单随机抽样中的随机数表法，只需在随机数表中按照预先制定的规则进行不重复取数即可，属基础题.
解：根据题意，读取的号码依次为，舍去，舍去，舍去，，舍去，舍去，，，舍去，舍去，，，舍去，舍去，，…，所以抽取入样的号码是，，，，，，，则第一个入样的号码是，最后一个入样的号码是
15.【答案】54;66;
【解析】解：．
又


故答案为：，
要将 化为十进制我们可以利用累加权重法，分别求出各数位上的对应的权重，累加后即可得到答案；而要将所得的十进制再转化为进制数，则可以使用除求余法．
该题考查的知识点是进制之间的转化，熟练掌握十进制与其它进制之间的转化方法累加权重法，除求余法是解答本题的关键，属于基础题．
16.【答案】①②③;
【解析】解：矩形，，，可得，
在翻折的过程中，当面面时，
到底面的距离最大，且为直角三角形斜边边上的高为，
可得四棱锥的体积最大值为，故①正确；
取的中点，连接，，可得，即为四棱锥的外接球
的球心，且半径为，体积为，故②正确；
若，又，可得平面，即有，
由，，成立，故③正确．
故答案为：①②③．
考虑在翻折的过程中，当面面时，到底面的距离最大，进而得到棱锥体积最大，可判断①；
取的中点，可得为棱锥的外接球的球心，计算可判断②；
假设，由线面垂直的判断和性质，可判断③．
此题主要考查空间线面和线线的位置关系的判断，以及棱锥的体积计算，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
17.【答案】;
【解析】解：以、为邻边作平行四边形，则，
，
，
得：，
由此可得，是边上的中线的中点，
点到的距离等于到的距离的．
．
将一粒黄豆随机撒在内，黄豆落在内的概率为
故答案为：
根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点是边上的中线的中点．再根据几何概型公式，将的面积与的面积相除可得本题的答案．
本题给出点满足的条件，求点落在内的概率，着重考查了平面向量加法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题．
18.【答案】;
【解析】
此题主要考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
利用双曲线的简单性质，直接求解即可．

解：双曲线的离心率为，
可得：，解得．
故答案为：．
19.【答案】解：由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和为：
，
第三组的频率为，
，
该样本数据的平均数为：
，
所以可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值为小时．
从第、、组抽取的人数分别为、、，
设为，，，，，，则从该人中选拔人的基本事件有种，分别为：
，，，，，，，，，，，，，，，
其中来自不同的组别的基本事件有种，分别为：
，，，，，，，，，，，
这人来自不同组别的概率为．;
【解析】该题考查平均数，古典概型，频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和，第三组的频率，由此能求出和该样本数据的平均数，从而可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值．
从第、、组抽取的人数分别为、、，设为，，，，，，利用列举法能求出从该人中选拔人，这人来自不同组别的概率．
20.【答案】解：（1）选择模型①．理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好；
（2）由（1），知关于x的回归方程为，令z=，则=bz+a．
由所给数据得：=（1+4+9+16+25+36+49+65）=25.5；
=（4+8+16+31+51+71+97+122）=50；
：=≈1.9，
a==50-1.9×25.5≈1.6，∴y关于x的回归方程为．
（3）预测该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为156（人）．;
【解析】
选择模型根据残差图可以看出，模型的估计值和真实值相对比较接近，模型的残差相对较大一些，所以模型的拟合效果相对较好；
由，知关于的回归方程为，令，则求出样本中心，得到回归直线方程的斜率，求出回归直线方程即可．
利用回归直线方程，求解该地区第天新型冠状病毒感染确诊的累计人数．
该题考查回归直线方程的求法与应用，是基本知识的考查，基础题．
21.【答案】解：（I）由题意得：若命题p为真命题，则△=-12≤0，解得．
（II）若命题q为真命题，则 0＜m≤6，
由：“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，可知：p与q一真一假．
若p假q真，则，解得．
若p真q假，则，解得．
综上可得：，或．;
【解析】
由题意得：若命题为真命题，则．
若命题为真命题，可得，由：“”为真命题，且“”为假命题，可知：与一真一假．即可得出．
此题主要考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：根据从袋子随机抽取个小球，取到标号为的小球的概率是，可得，
解得．
从袋子中不放回地随机抽取个球，共有基本事件个，其中“”为事件的基本事件有个，则．
“恒成立”为事件，则事件等价于“恒成立，可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为，，，，
而事件构成的区域，，
所以．;
【解析】
此题主要考查等可能事件的概率，考查几何概型，解答该题的关键是确定其测度．
利用从袋子中随机抽取个小球，取到标号是的小球的概率是，确定的值，从袋子中不放回地随机抽取个球，共有基本事件个，其中“”为事件的基本事件有个，故可求概率．
记“恒成立”为事件，则事件等价于“恒成立，可以看成平面中的点，确定全部结果所构成的区域，事件构成的区域，利用几何概型可求得结论．
23.【答案】解：（I）估计第一车间生产时间小于75min的人数为200×=60（人），……..（2分）
估计第二车间生产时间小于75min的人数为
400×（0.025+0.05）×10=300（人）；……………………．（4分）
（II）第一车间生产时间平均值约为
=×（60×2+70×4+80×10+90×4）=78（min），……………………………．（5分）
第二车间生产时间平均值约为
=60×0.25+70×0.5+80×0.2+90×0.05=70.5（min）；…………………………..（6分）
∵＞，∴第二车间工人生产效率更高；………………………………..（8分）
（III）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75min的工人有6人，
其中生产时间小于65min的有2人，分别用A1、A2代表生产时间小于65min的工人，
用B1、B2、B3、B4代表生产时间大于或等于65min，且小于75min的工人；
抽取2人基本事件空间为Ω={（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），
（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）}共15个基本事件；……………………………………………..（9分）
设事件A=“2人中至少1人生产时间小于65min”，
则事件A={（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4）}共9个基本事件；………………………………………………（10分）
∴P（A）==．……………………………………………………（12分）;
【解析】
根据频率分布直方图和频率分布表计算第一、第二车间生产时间小于的人数；
分别计算第一、第二车间生产时间平均值，比较大小即可；
由题意利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．
此题主要考查了频率分布直方图与频率分布表的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率应用问题，是基础题．

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