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第二十二章　四边形
22.7　多边形的内角和与外角和
基础过关全练
知识点1　多边形的有关概念及多边形的内角和
1.【新独家原创】已知在六边形ABCDEF中,∠A=120°,∠B=90°,∠C=108°,∠D=134°,则∠E+∠F的度数为 (　　)
A.168°　　　　　　　　　　B.268°
C.288°　　　　　　　　　　D.298°
2.(2022四川成都成华期末)如图,在正五边形ABCDE中,连接AC,则∠CAE的度数是　　　　　.
(2022湖南长沙雨花模拟)八边形的内角和比七边形的内角和多
　　　　　度.
4.(2022重庆万州期末)把20根长度相等的木条分成三部分(每部分木条的根数不少于3),若其中两部分木条首尾相连恰好做成两个边数相等的多边形,将剩下的一部分木条首尾相连做成一个多边形.
(1)求这三个多边形的内角和;
(2)如果前两个多边形的边数和大于后一个多边形的边数,求这三个多边形的边数.
5.(2022福建泉州泉港期末)如图,点P为n边形内一点,连接PA,PB,PC.
(1)设n边形的内角和为W,请用含n的代数式表示W,并写出它的推理过程;
(2)若n边形是正六边形,△PAB是等腰直角三角形,∠PBA=90°,试求∠PCB的度数.
知识点2　多边形外角和
6.(2022北京房山二模)当多边形的边数增加1时,它的内角和与外角和 (　　)
A.都不变
B.都增加180°
C.内角和增加180°,外角和减少180°
D.内角和增加180°,外角和不变
7.(2022上海长宁兰生复旦中学期中)一个多边形的所有内角中,锐角最多有 (　　)
A.1个　　　　　　　　　　B.2个
C.3个　　　　　　　　　　D.5个
8.(2022海南海口模拟)六边形的外角和为 (　　)
A.360°　　　　　　　　　　B.540°
C.720°　　　　　　　　　　D.1 080°
9.(2022广东东莞东城一模)如图,在六边形ABCDEF中,若∠1+∠2+∠3=140°,则∠4+∠5+∠6= (　　)
A.200°　　　　　B.40°　　　　　C.160°　　　　　D.220°
10.【教材变式·P153练习T3改编】(2022山东济南钢城二模)一个正多边形的内角和为1 080°,那么它每个外角的度数是　　　　　.
11.【方程思想】(2022江苏徐州期中)一个多边形的每个外角都相等,且是它相邻的内角的,则此多边形是　　　　　边形.
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12.(2022河北中考,5,★☆☆)如图,将三角形纸片剪掉一角得四边形,设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α,β,则下列判断正确的是 (　　)
A.α-β=0
B.α-β<0
C.α-β>0
D.无法比较α与β的大小
13.(2022四川南充中考,5,★☆☆)如图,在正五边形ABCDE中,以AB为边向内作等边△ABF,则下列结论错误的是 (　　)
A.AE=AF　　　　　　　　　　B.∠EAF=∠CBF
C.∠F=∠EAF　　　　　　　　D.∠C=∠E
14.(2022河北石家庄四十一中模拟,1,★☆☆)如图,在四边形ABCD中,被遮住的∠C是 (　　)
A.锐角　　　　　B.直角　　　　　C.钝角　　　　　D.不确定
15.(2022河北唐山路北期末,14,★★☆)已知在一个凸多边形中,和一个内角相邻的外角与其余内角度数总和为600°,则这个多边形的边数是　 (　　)
A.5　　　　　B.6　　　　　C.7　　　　　D.5或6
(2022湖南株洲中考,17,★★☆)如图所示,已知∠MON=60°,正五边形ABCDE的顶点A,B在射线OM上,顶点E在射线ON上,则∠AEO=　　　　　度.
17.(2022四川遂宁中考,13,★★☆)如图,正六边形ABCDEF的顶点A,F分别在正方形BMGH的边BH,GH上.若正方形BMGH的边长为6,则正六边形ABCDEF的边长为　　　　　.
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18.【推理能力】如图,在四边形ABCD中,∠A=140°,∠D=80°.
(1)如图a,若∠B=∠C,则∠C=　　　度;
(2)如图b,若∠ABC的平分线BE交DC于点E,且BE∥AD,试求∠C的度数;
(3)①如图c,若∠ABC和∠DCB的平分线交于点E,试求∠BEC的度数;
②在①的条件下,若延长BA,CD交于点F(如图d),将原来的条件“∠A=140°,∠D=80°”改为“∠F=40°”,其他条件不变,则∠BEC的度数为　　　　　.
19.【应用意识】(2022江苏宿迁青华中学第一次月考)利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果.
几何模型:
如图①,我们称它为“A”型图案,易证明:∠EDF=∠A+∠B+∠C.
运用以上模型结论解决问题:
(1)如图②,“五角星”形,求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5的值.
分析:图中A1A3DA4是“A”型图,于是∠A2DA5=∠A1+∠A3+∠A4,所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=　　　　　;
(2)如图③,“七角星”形,求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数.
答案全解全析
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B　因为六边形的内角和是720°,
∠A=120°,∠B=90°,∠C=108°,∠D=134°,所以∠E+∠F=720°-∠A-∠B-∠C-∠D=720°-120°-90°-108°-134°=268°.
2.答案　72°
解析　∵五边形ABCDE是正五边形,
∴AB=BC,∠B=∠BAE=(5-2)×180°÷5=108°,∴∠BAC=∠BCA=×(180°-108°)=36°,∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=108°-36°=72°.
3.答案　180
解析　∵八边形的内角和为(8-2)×180°=1 080°,七边形的内角和为(7-2)×180°=900°,∴1 080°-900°=180°.
4.解析　设两个边数相等的多边形是m边形,另一个多边形是n边形(m≥3,n≥3,m,n为正整数).
(1)根据题意,有2m+n=20,则这三个多边形的内角和为2×(m-2)×180°+(n-2)×180°=(2m+n-6)×180°=14×180°=2 520°.
答:这三个多边形的内角和为2 520°.
(2)根据题意得∴n<10,
∵m≥3,n≥3,m,n为正整数,
∴m=6,n=8;m=7,n=6;m=8,n=4.
∴这三个多边形的边数是6,6,8或7,7,6或8,8,4.
5.解析　(1)W=(n-2)·180°.理由如下:
如图,连接PD,PE,PF,
在△PAB中,∠PAB+∠PBA+∠APB=180°,
在△PBC中,∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°,
在△PCD中,∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°,
……
∴W+(∠APB+∠BPC+∠CPD+…)=n·180°,
∴W=n·180°-360°=(n-2)·180°.
(2)∵△PAB是等腰直角三角形,∠PBA=90°,
∴∠PAB=∠APB=45°,AB=BP,
∵n边形是正六边形,∴∠ABC=120°,AB=BC,
∴∠PBC=∠ABC-∠PBA=30°,BP=BC,
∴△BPC是等腰三角形,
∴∠PCB=∠BPC=×(180°-∠PBC)=75°.
6.D　当多边形的边数增加1时,它的内角和增加180°,外角和是固定值360°,故选D.
7.C　因为多边形的外角和是360度,所以在外角中最多有3个钝角,若超过3个,则和一定大于360度,因为多边形的内角与其相邻外角互为邻补角,所以内角中最多有3个锐角.故选C.
8.A　由多边形的外角和为360°,可知六边形的外角和为360°,故选A.
9.D∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°,∠1+∠2+∠3=140°,
∴∠4+∠5+∠6=360°-140°=220°,故选D.
10.答案　45°
解析　设此多边形为n边形,根据题意得180°(n-2)=1 080°,解得n=8,
∴这个正多边形的每个外角的度数为360°÷8=45°.
11.答案　十
解析　设这个多边形的一个外角的度数为x,则x=(180°-x),解得x=36°,360°÷36°=10,故此多边形是十边形.
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12.A　∵任意多边形的外角和为360°,∴α=β=360°,∴α-β=0.故选A.
13.C　正五边形ABCDE的内角和为180°×3=540°,
∴∠C=∠D=∠E=∠EAB=∠ABC=540°÷5=108°,∴D不符合题意;
∵△ABF为等边三角形,
∴∠FAB=∠ABF=∠F=60°,AF=AB=FB,∴∠EAF=∠FBC=108°-60°=
48°,∵AE=AB,∴AE=AF,∴A、B不符合题意;∵∠F≠∠EAF,∴C符合题意.故选C.
C　根据题图可知,∠A+∠B+∠D<270°,
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∴∠C>90°,∴∠C是钝角,故选C.
15.D　设这个多边形的边数为n,这个内角为x°,则016.答案　48
解析　∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠EAB==108°,
∵∠EAB是△AEO的一个外角,
∴∠AEO=∠EAB-∠EOA=108°-60°=48°.
17.答案　4
解析　设AF=x,则AB=x,AH=6-x,∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠BAF=120°,∴∠HAF=60°,∵∠AHF=90°,∴∠AFH=30°,∴AF=2AH,即x=2(6-x),解得x=4,∴AB=4,故正六边形ABCDEF的边长为4.
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18.解析　(1)∵四边形ABCD中,∠A=140°,∠D=80°,
∴∠B+∠C=360°-(140°+80°)=140°,
∵∠B=∠C,∴∠C=70°.
故答案为70.
(2)∵BE∥AD,∴∠ABE+∠A=180°,
∴∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°,
∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=80°,
∴∠C=360°-(140°+80°+80°)=60°.
(3)①∵四边形ABCD中,∠A=140°,∠D=80°,
∴∠ABC+∠DCB=360°-(140°+80°)=140°,
∵BE,CE分别平分∠ABC,∠DCB,
∴∠EBC+∠ECB=70°,∴∠BEC=180°-70°=110°.
②∵∠F=40°,∴∠FBC+∠FCB=180°-40°=140°,
∵BE,CE分别平分∠ABC,∠DCB,
∴∠EBC+∠ECB=70°,∴∠BEC=180°-70°=110°.
故答案为110°.
19.解析　(1)因为∠A2DA5=∠A1+∠A3+∠A4,
∠A2DA5+∠A2+∠A5=180°,
所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=180°.
故答案为180°.
(2)如图,
由(1)得,∠1=∠A1+∠A4+∠A5,∠2=∠A2+∠A3+∠A6,
因为∠1+∠2+∠A7=180°,
所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7=180°.

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