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17.1 勾股定理
第十七章 勾股定理
第1课时 勾股定理
算一算：
地板中的数学问题
我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用砖铺成的地面（如图所示）：
毕达哥拉斯
A
B
C
穿越毕达哥拉斯做客现场
问题1 试问A、B、C面积之间有什么样的数量关系？
正方形A的面积
正方形B的面积
正方形C的面积
+
=
创设情境 温故探新
A
B
C
问题2 你能发现图中的等腰直角三角形有什么性质吗？
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理
创设情境 温故探新
图1-2
问题3 图中每个小方格的面积均为1，请分别计算出图①、②中A、B、C的面积，看看能得出什么结论？
图①
图②
A
B
A
B
C
C
A的
面积 B的
面积 C的
面积
图①
图②
16
9
25
4
9
13
网格中的发现
正方形A的面积
正方形B的面积
正方形C的面积
+
=
问题4 图中的这个直角三角形有三边有什么样的数量关系呢？
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
创设情境 温故探新
猜一猜 一般直角三角形三边还有这样的数量关系（即a2+b2=c2)吗？
a
b
c
勾股定理
一
合作交流探究新知
赵爽
拼一拼 请同学们准备四个完全相同的直角三角形，跟着我国汉代数学家赵爽拼图.
勾股定理的验证
二
合作交流探究新知
a
b
b
c
a
b
c
c2
b2
a2
=
+
这种用拼图的验证勾股定理的方法叫做弦图法
a
合作交流探究新知
a
b
c
S大正方形＝c2
S小正方形＝（b-a）2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
赵爽弦图
b-a
证明：
证一证
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
合作交流探究新知
赵爽所用的这种方法是我国古代常用的“出入相补法”.在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.
赵爽弦图
c
b
a
黄
实
朱实
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现.建议同学们课外认真阅读P30《勾股定理的证明》.
合作交流探究新知
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
a、b、c为正数
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
公式变形：
勾
股
弦
即：勾2+股2=弦2
勾股定理
合作交流探究新知
例1 在Rt△ABC中， ∠C=90°
（1）已知a=b=5,求c;
（2）已知a=1,c=2,求b;
解：
(1)根据勾股定理，得
(2)根据勾股定理，得
范例研讨运用新知
（3）已知a：b=1：2 ，c=5,求a;
（4）已知b=15，∠A=30°,求a,c.
例1 在Rt△ABC中， ∠C=90°
解：
(3)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程，得
x2+(2x)2=52
解得
(4)
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程，得
(2x)2-x2=152
解得
范例研讨运用新知
例2 已知：Rt△ABC中，AB＝４，AC＝３,则BC= .
5 或
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
温馨提示 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下，一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
范例研讨运用新知
1.如图所示，字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A.12 B.13 C.144 D.194
C
2.下列说法中正确的是（ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
C
反馈练习巩固新知
3.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是 .
25或7
4.直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的高线的长为 .
反馈练习巩固新知
5. 在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.
A
B
C
D
作AD⊥BC于D,
设BD=x,用含x的代数式表示CD
根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程模型求出x
利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积
反馈练习巩固新知
解：如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,
设BD=x,则CD=14-x,
由勾股定理得：AD2=AB2-BD2=152-x2,
AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,
故152-x2=132-(14-x)2,
解之得，x=9.
∴AD=12.
反馈练习巩固新知
勾股定理
内容
在Rt △ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
课堂小结
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第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
学习目标
1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理.
2.经历用面积法探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想，渗透观察、归纳、猜想、验证的数学方法，体验从特殊到一般的逻辑推理过程.
重点：探索和验证勾股定理.
难点：勾股定理的证明.
一、自学导航（课前预习）
1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）
（1）两锐角之间的关系：
（2）若D为斜边中点，则斜边中线
（3）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：
2、勾股定理证明：
方法一；
如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明.
S正方形＝_______________＝____________________
方法二；
已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c.
求证：a2＋b2=c2.
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等.
左边S=______________
右边S=_______________
左边和右边面积相等，
即 化简可得.
二、合作交流（小组互助）思考：
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（2）你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？
由此我们可以得出什么结论？可猜想：
如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么__________________________.
（三）展示提升（质疑点拨）
1.在Rt△ABC中， ，
（1）如果a=3，b=4，则c=________；
（2）如果a=6，b=8，则c=________；
（3）如果a=5，b=12，则c=________；
(4) 如果a=15，b=20，则c=________.
2、下列说法正确的是（　　）
A.若、、是△ABC的三边，则 （第1题）

B.若、、是Rt△ABC的三边，则
C.若、、是Rt△ABC的三边，， 则
D.若、、是Rt△ABC的三边， ，则
3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25 C．斜边长为5 D．三角形面积为20
4、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．
5、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的长为 .
（四）达标检测
1.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（ ）.
A.3个 B.2个 C.1个 D.4个
2. 四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为1，大正方形面积为13,直角三角形较小的直角边为a，较长的直角边为b，那么(a+b)2的值为（ ）.
13 B.19 C.25 D.169
3.小军量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米，宽为46厘米，则这台电视机的尺寸是（实际测量的误差可不计）（　　）
A.9英寸（23厘米） B.21英寸（54厘米） C.29英寸（74厘米） D.34英寸（87厘米）
4.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）
A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里
第2题图 第4题图
5.如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么直角三角形的面积是_____cm2.
6.三角形三个内角之比为1:2:3，则此三角形是 三角形，若此三个角的对边分别是a,b,c则它们三边的关系是 ．
7.如图，一个圆锥的高AO=12cm，底面直径为CB=10cm，则AB的长是 cm.
8.如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为 ．
第7题图 第8题图
9. 已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm，求这个三角形的面积．
10.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离.
参考答案
1.B 2.C 3.C 4.D
5.30 6.直角，a2+b2=c2 7.6 8.
9.解：如图，在等腰△ABC中，BC=12cm，AB=AC=10cm，作AD⊥BC，垂足为D，则D为BC中点，BD=CD=6cm，
在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2=102-62=64，
所以AD=8cm，
所以S△ABD=BC·AD=×12×8=48(cm2).
10.解：因为AC=150-60=90(mm)，BC=180-60=120(mm)，
所以AB2=AC2+BC2，AB2=902+1202 ,
所以AB=150(mm)．
（1）观察图1－1. A的面积是__________个单位面积；
B的面积是__________个单位面积；
C的面积是__________个单位面积.
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