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2023年九年级数学中考专题：实际问题与二次函数
1．某药店在口罩销售中发现：一款进价为元盒的口罩，销售单价为元盒时，每天可售出盒．药店在销售中发现：若销售单价每降价元，则每天可多售出盒，设每盒降价元，为整数）．
(1)为了尽快减少库存，当每盒降价多少元时，每天可盈利元？
(2)在满足药店正常销售的情况下，每盒降价多少元时，可取得最大利润，并求此时最大利润．
2．某超市经销一种商品，每千克的成本为10元，经试销发现，该种商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的两组对应值如下表所示：
销售单价x（元/千克） 12 14
销售量y（千克） 80 60
(1)请直接写出y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式______；
(2)为保证某天获得240元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
3．大学生小李和同学一起自主创业开办了一家公司，公司对经营的盈亏情况在每月的最后一天结算一次，在1～12月份中，该公司前个月累计获得的总利闻（万元）与销售时间（月）之间满足二次函数关系．
(1)求与函数关系式；
(2)求9月份一个月内所获得的利润；
(3)在前12个月中，哪个月该公司所获得利润最大 最大利润为多少
4．跳长绳时，当绳用到最高处时的形状是抛物线，如图正在用绳的两名同学拿绳的手间距为8米，手到地面的距离和均为米，身高为米的小红站在距点的水平距离为1米的点处，绳子用到最高处时刚好通过她的头顶点，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如果小明站在之间，且离点的距离为3米，当绳子用到最高处时刚好通过他的头顶正上方米处，求小明的身高是多少？
5．为应对近年冬季出现的寒冷天气，农科所在某蔬菜基地试用新型保温大棚技术．大棚横截面为抛物线型，一端固定在距离地面的墙体A处．另一端固定在对面墙体上距离地面的B处，现建立平面直角坐标系（如图所示）．已知大棚上某处离地面的高度y（单位：m）与其离墙体的水平距离x（单位：m）之间的关系满足：，两墙体之间的距离．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)现打算在大棚顶部最高处安装照明设备，试计算设备安装位置距离地面的高度；
(3)为了避免大雪压垮顶棚，现打算加装一根长度为的支撑立柱（立柱位于墙体和墙体之间），立柱距离两边墙体的水平距离不少于，直接写出立柱长度t的范围．
6．某公司购进一批受环境影响较大的商品，该商品需要在特定的环境中才能保存．已知该商品成本y（元/件）与保存的时间第x（天）之间的关系满足，该商品售价p（元/件）与保存时间第x（天）之间满足一次函数关系，其对应数据如下表所示．
x（天） … 1 2 …
p（元/件） … 97 105 …
(1)求商品的售价p（元/件）与保存时间第x（天）之间的函数解析式；
(2)求保存第几天时，该天此商品不赚也不亏；
(3)请你帮助该公司确定在哪一天卖出时，该天每件商品能获得最大利润，并求此时每件商品的售价是多少？
7．在新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研，某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．
(1)直接写出小明销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式_____，每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式_____．
(2)若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？
(3)求当销售单价定为多少元时，利润最大，最大利润是多少？
8．某世贸大商场为纪念建国73周年促销一款日化用品，该商品进货价为每件80元，经市场调研结果显示，当该日化用品的销售单价为100元时，每天可销售300件．销售单价每增加5元，每天的销售量将减少50件．
(1)当销售单价为110元时该日化用品每天的销售量为___________件．
(2)当销售单价为多少元时，销售该日化用品每天获得的利润最大？并求出最大利润．
9．某公司开发一种新产品，计划投入当地市场销售15个周期，经过市场调研及前两个周期的销售发现：销售总收入（万元）与销售周期之间满足函数关系式：前两个周期的销售总收入情况如下：
销售周期（个） 第1个周期 第2个周期
销售总收入（万元） 19 36
(1)求、的值．
(2)若开发这种新产品的总成本为60万元，问销售第几个周期时，销售总利润最大？最大是多少？
(3)当单个周期销售收入小于5万元时，该公司开始准备推出另一种产品，问该公司应在第几个销售周期开始推出新产品？
10．农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为6元/千克，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设售价为元/千克（且为正整数）．
(1)若某日销售量为24千克，求该日产品的单价；
(2)若政府将销售价格定为不超过18元/千克．设每日销售额为元，求关于的函数表达式，并求的最大值和最小值；
(3)市政府每日给农户补贴元后（为正整数），发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过450元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于440元，请直接写出所有符合题意的的值．
11．公路上正在行驶的甲车，发现前方处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：）、速度v（单位：）与时间t（单位：）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
(1)当甲车减速至时，它行驶的路程是多少？
(2)若乙车以的速度匀速行驶，当为何值时，两车相距最近，最近距离是多少？
12．某实验田计划种植一种新型农作物，经过调查发现，种植亩的总成本（万元）由三部分组成，分别是农机成本，管理成本，其他成本，其中农机成本固定不变为10万元，管理成本（万元）与成正比例，其他成本（万元）与的平方成正比例，在生产过程中，获得如下数据：
（单位：亩） 1 3
（单位：万元） 16 34
(1)求与之间的函数关系式：
(2)已知每亩的平均成本为12万元，求种植新型农作物的亩数是多少？
(3)若每亩的收益为15万元，当为何值时，实验田总利润最大，并求出最大利润．【注：总利润=总收益－总成本】
13．为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测．某社区准备搭建一个动态核酸检测点，现有33米可移动的隔离带，围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为）的矩形，内部分成两个区，区为登记区，区为检测区，入口通道在边上，两区通道在边上，出口通道在边上，通道宽均为1米．设，矩形的面积为．
(1)可表示为________；
(2)当为何值时，有最大值？最大值是多少？
(3)所围成矩形的面积能否达到96平方米？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由．
14．云南山川秀美，景区众多，近年来，云南加快建设旅游文化，致力发展旅游业，取得了显著成效．某景区的门票价格为每人80元，每天最多能接待2500名游客，在旅游旺季平均每天能售出1000张门票，为了吸引更多的游客，提高景区知名度，景区决定适当降低门票价格，经过调查发现，当票价每降低2元时，在旺季每天可以多卖出100张门票．设门票的售价为x元（x为正整数），每天门票的销售量为y张．
(1)求写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当门票的售价定为多少元时，该景区每天获得的门票收入最大，最大收入是多少元？
15．华鑫公司投资540万元购进一条生产线生产销售某产品，假定产销平衡，没有产品积压，生产销售这种产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图，其中段为反比例函数图象的一部分，设华鑫公司生产销售这种产品的年利润为w（万元）．
(1)请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
(2)求出这种产品的年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式：并求出年利润的最大值；
(3)华鑫公司计划五年刚好收回投资，如何确定售价（假定每年收回投资一样多）？
16．“全民防控新冠病毒”期间某药店销售一款消毒产品，如果每件利润为30元（市场管理部门规定，该消毒产品每件利润不能超过50元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．
(1)请写出y与x之间的函数表达式；（写出自变量x的范围）
(2)当x为多少时，药店每天销售这种消毒产品可获利润1800元？
(3)设药店每天销售这种消毒产品可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？
17．某商场经调研得出某种商品每天的利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：，其图象如图所示．
(1)求a与b的值：
(2)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)销售单价定在多少时，该种商品每天的销售利润为21元？结合图象，直接写出销售单价定在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于21元？
18．
试卷第6页，共6页
试卷第5页，共6页
参考答案：
1．(1)为了尽快减少库存，当每盒降价3元时，每天可盈利元
(2)每盒降价元时，可取得最大利润，此时最大利润为元
2．(1)
(2)16元/千克或14元/千克；
(3)当销售单价定为15元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是250元．
3．(1)
(2)11万元
(3)该公司12月所获得利润最大，最大利润为17万元
4．(1)；
(2)米．
5．(1)
(2)
(3)
6．(1)
(2)12天
(3)该商品在第3天卖出时，该天每件商品能获得最大利润，此时每件商品的售价为113元
7．(1)
(2)30元或40元
(3)当销售单价定为35元时，最大利润是2250元
8．(1)200
(2)当销售单价为105元时，销售该日化用品每天获得的利润最大，最大利润为6250元
9．(1)
(2)，最大，最大为40万元
(3)9
10．(1)14
(2)，最大338元，最小240元
(3)
11．(1)
(2)7秒时两车相距最近，最近距离是
12．(1)与之间的函数关系式为
(2)每亩的平均成本为12万元时，种植新型农作物的亩数是亩或亩
(3)当时，总利润最大，最大利润为万元
13．(1)
(2)当时，有最大值，最大值是108
(3)能围成96平方米的面积，此时的长为4米或8米
14．(1)，
(2)当门票售价定为50元时，该景区每天获得的收入最大，最大收入为125000元
15．(1)
(2)（万元）与（元件）之间的函数关系式为；年利润的最大值144万元
(3)售价定为10元或22元都可五年刚好收回投资
16．(1)
(2)10
(3)当x为20时w最大，最大值是2000元
17．(1)
(2)销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元
(3)销售单价在时，销售利润不低于21元
答案第2页，共3页
答案第3页，共3页

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