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2023年中考数学复习讲义 圆
第一部分：知识点精准记忆
一、与圆有关概念：
1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(如上图中的AB)；
3.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距；
4.直径：经过圆心的弦叫做直径(如上图中的CD)；直径等于半径的2倍。
5.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
6.弧、优弧、劣弧：
（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，
以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB” ．
（2）大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示)；
（3）小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)。
7.等弧：在 同圆 或 等圆 中，能够互相 重合 的弧叫做等弧。
8.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
9.垂径定理及其推论：
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
（2）推论1：
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
（2）推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
10.圆的对称性：
（1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
（2）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
二、与圆有关的角：
1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
2.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
3.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
4.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
（1）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；
（2）推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；
（3）推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
三、与圆有关的位置关系：
1.点与圆的位置关系：
（1）设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：
①点P在圆外 d＞r；
②点P在圆内 d＜r；
③点P在圆上 d＝r。
（2）不在同一直线上的三点确定一个圆。
2.直线与圆的位置关系：
（1）直线和圆有三种位置关系，具体如下：
①相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
②相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线；
③相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
（2）如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：
①直线l与⊙O相交 d②直线l与⊙O相切 d=r；
③直线l与⊙O相离 d>r；
（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（4）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
（5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
（6）三角形的外心：三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点。
（7）三角形的内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点。
四、与圆有关的计算：
1.弧长及扇形的面积：
（1）半径为r，n°的圆心角所对的弧长公式： ；
（2）半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积公式： (l是扇形的弧长)；
2.圆锥的侧面积和全面积：
圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r；
那么这个扇形的半径为圆锥的母线长l，扇形的弧长为圆锥的底面圆周长2πr。
（1）圆锥的侧面积公式：
(其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径)；
（2）圆锥的全面积公式：
S圆锥全＝侧面积＋底面圆面积=πrl＋πr2；
3.求阴影部分面积的几种常见方法：
（1）公式法；
（2）割补法；
（3）拼凑法；
（4）等积变形构造方程法；
（5）去重法。
4.正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b，S正方形=。
第二部分：考点典例剖析
考点一： 圆的基本认识
【例1-1】（2021·山东临沂市·中考真题）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是___（只填写序号）．
①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；
②车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．
考点二、垂径定理及推论
【例2-1】（2022 青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为 　 　m．
【例2-2】（2022 长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为 　 　．
【例2-3】（2022 黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是 　 　．
【例2-4】（2021·湖北鄂州市·中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
考点三：弧、弦、圆心角、圆周角
【例3-1】（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2021·广西贵港市·中考真题）如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（ ）
A． B．2 C． D．1
【例3-3】（2022 雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 　 　．
【例3-4】（2022 锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为 　 　．
考点四：点、直线与圆的位置关系
【例4-1】（2021·上海中考真题）如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外
【例4-2】（2021·四川成都市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为_________．
【例4-3】（2022 常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，则⊙O的半径是 　　．
【例4-4】（2022 玉林）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来 　 　．
考点五：切线的性质与判定
【例5-1】（2021·山东泰安市·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ）
A．50° B．48° C．45° D．36°
【例5-2】（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，中，，以点C为圆心，为半径作，D为上一点，连接、，，平分．（1）求证：是的切线；（2）延长、相交于点E，若，求的值．
【例5-3】（2021·湖北随州市·中考真题）如图，是以为直径的上一点，过点的切线交的延长线于点，过点作交的延长线于点，垂足为点．（1）求证：；（2）若的直径为9，．①求线段的长；②求线段的长．
【例5-4】（2022 湖北）如图，点P是⊙O上一点，AB是一条弦，点C是APB (⌒)上一点，与点D关于AB对称，AD交⊙O于点E，CE与AB交于点F，且BD∥CE．给出下面四个结论：
①CD平分∠BCE；②BE＝BD；③AE2＝AF AB；④BD为⊙O的切线．
其中所有正确结论的序号是 　 　．
考点六： 三角形的内切圆与外接圆
【例6-1】（2021·四川泸州市·中考真题）在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】（2021·青海西宁·中考真题）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【例6-3】（2022 黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是 　 　cm2．（结果用含π的式子表示）
【例6-4】（2022 宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 　 　．
考点七： 正多边形与圆
【例7-1】（2021·河北中考真题）如图，点为正六边形对角线上一点，，，则的值是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．随点位置而变化
【例7-2】（2021·贵州安顺市·中考真题）如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ）
【例7-3】（2022 梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA＝1，则BE (⌒)，AE，AB所围成的阴影部分面积为 　 　．
【例7-4】（2022 宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是 　 　．
考点八： 弧长和扇形面积
【例8-1】（2021·浙江金华市·中考真题）在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到．
（1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B．①求的度数．②求AP的长．
（2）如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长．
【例8-2】（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，在菱形中，，，以为圆心、长为半径画，点为菱形内一点，连接，，．当为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【例8-3】（2021 凉山州）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4cm，则图中阴影部分面积为　cm2．
考点九： 圆锥的相关问题
【例9-1】（2021·广西来宾市·中考真题）如图，从一块边长为，的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以为圆心的圆上（阴影部分），且圆弧与，分别相切于点，，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是__________．
【例9-2】（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）将圆心角为的扇形围成底面圆的半径为的圆锥，则圆锥的母线长为_________．
三,中考真题
一、单选题
1．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏无锡·中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．12π B．15π C．20π D．24π
3．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50°
4．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰中，，BC= ，同时与边的延长线、射线相切，的半径为3．将绕点按顺时针方向旋转，、的对应点分别为、，在旋转的过程中边所在直线与相切的次数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
1．（2022·江苏淮安·中考真题）若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是______．（结果保留）
2．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，A、B、C点在圆O上， 若∠ACB=36°， 则∠AOB=________．
3.（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，线段扫过的面积为___________．
4．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则___________°．
5．（2022·江苏常州·中考真题）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______．
6．（2022·江苏泰州·中考真题）如图上，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为__________.
7．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为_________°．
8．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．
9．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____．
10．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______°
11．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，是⊙的直径，是⊙的切线，为切点，连接，与⊙交于点，连接．若，则_________．
12．（2022·江苏宿迁·中考真题）将半径为6cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为______cm．
13．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，圆锥的母线AB＝6，底面半径CB＝2，则其侧面展开图扇形的圆心角α＝_______．
14．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在矩形中，=6，=8，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是_____．
三、解答题
1．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
2．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上．
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
3．（2022·江苏镇江·中考真题）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是，高为．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径、以及、组成的轴对称图形，直线为对称轴，点、分别是、的中点，如图2，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角，发现并证明了点在上．请你继续完成长的计算．
参考数据：，，，，，．
4．（2022·江苏南通·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，平分，点E在的延长线上，连接．
(1)求直径的长；
(2)若，计算图中阴影部分的面积．
5．（2022·江苏盐城·中考真题）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
6．（2022·江苏常州·中考真题）（现有若干张相同的半圆形纸片，点是圆心，直径的长是，是半圆弧上的一点（点与点、不重合），连接、．
(1)沿、剪下，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
(2)分别取半圆弧上的点、和直径上的点、．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点，一定存在线段上的点、线段上的点和直径上的点、，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．
7．（2022·江苏泰州·中考真题）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒
(1)如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
(2)在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值.

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