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第11讲 求值问题（1）
在立体几何中,通常会涉及求角度和距离的问题.对于求角度问题,如果学过空间向量可以快速地解决这类问题,这里讲的求角度问题是按照一般的方法求解的,不涉及空间向量,所以可以把它作为一个思维拓展来学习.
求体积
求体积时我们需要找合理的高和底面,带入体积公式,当然有时候我们无法直接求解,需要进行一些转换,通常有四种解法:直接转化法、顶点转移法、割补法和同底缩放法.具体看下面例题,要在解题过程中慢慢总结出自己的方法.
方法一:直接转化法
直接转化法:证明或者找到一组线面垂直关系,选择线面垂直的线作为高,线面垂直的面作为底,带入锥体体积公式求解.
【例1】如下图所示,在四棱锥中,底面为正方形,平面平面,点为的中点.
(1)求证:平面.
(2)求四棱锥的体积.
【解析】(1)证明为的中点,
,
平面平面,
平面平面,
平面.
(2),
.
.
【例2】如下图所示,在三棱锥中,平面平面为等边三角形,且,点,点分别为的中点.
(1)求证:平面平面.
(2)求三棱锥的体积.
【解析】(1)证明：为的中点,
.
平面平面,
平面平面,
平面,
平面.平面,
平面平面.
(2)且,
点.为的中点,
.
又平面,
.
【例3】如右图所示,在四棱锥的底面四边形中,,在中,,平面平面.
(1)证明:平面.
(2)若为线段的中点,求三棱锥的体积.
【解析】(1)证明如右图所示,取的中点,连接.
在中,,则为等边三角形.
点为的中点,.
平面平面,平面平面平面,
平面.
平面.
,
平面.在四边形中,且四边形为平行四边形.
平面.
(2)由(1)题知,四边形为平行四边形.
,
四边形为正方形,.
是边长4为等边三角形.
平面到平面的距离.
平面,
平面平面.
两点到平面的距离相等,均为.
又为线段的中点,到平面
的距离.
由(1)题知,平面,
又平面.
方法二:顶点转移法
顶点转移法:
第一步:找线面平行或面面平行.在求锥体体积时,找到与底面平行的直线或者平面,该直线或者平面包含着顶点.
第二步:顶点转移.利用线面平行或者面面平行距离相等的性质实现顶点转移,从而得到可直接求解的高线.
第三步:带入体积公式.求出底面积,求出高线,代入体积公式,即可求出锥体体积.
【例1】如下图所示,在六面体中,四边形是边长为4的正方形,,平面平面.求三棱锥的体积.
【解析】平面平面,
平面.
点到平面的距离等于点到平面的距离.
.
如下图所示,取的中点,连接.
,
平面平面,
平面.
棱锥的高.
,
.
方法三:割补法
割补法:若所求几何体的体积不容易直接求解出来,就通过切割组合的方式,先分别求出标准几何体体积,然后再通过组合切割的方式求解.
【例1】如下图所示,四棱锥中,底面,点,点分别为的中点,.求三棱锥的体积.
【解析】点为的中点,.又,
.
,
,
.
【例2】如下图所示,已知四边形和均为平行四边形,点在平面内的射影恰好为点,以为直径的圆经过点的中点为点的中点为点,且.
(1)求证:平面平面.
(2)求几何体的体积。
【解析】(1)证明点在平面内的射影恰好为点平面.
又∵平面,
∴平面平面.
又∵以为直径的圆经过点点.,点为正方形.
∵平面平面,
∴平面.
∵平面,
又∵,
∴.
∵的中点为,
∵.
∵平面平面,
平面.
∵平面,
∴平又平面.
(2)连接(图略),由(1)题知,
平面.
又∵,
∴平面.
又∵,
∴平面.
∴
.
∴几何体的体积为4.
【例3】如下图所示,四棱锥的侧面是正三角形,,且,点是的中点.
(1)求证:平面.
(2)若平面平面,且,求多面体的体积.
【解析】(1)证明：如下图所示,取的中点,连接.
是的中点,,且.
又,
,
即四边形是平行四边形.
.
又平面平面,
平面.
(2)取的中点,连接.
是正三角形,.
平面平面,交线为,
平面.
,所以平面,
.
.第11讲 求值问题（1）
在立体几何中,通常会涉及求角度和距离的问题.对于求角度问题,如果学过空间向量可以快速地解决这类问题,这里讲的求角度问题是按照一般的方法求解的,不涉及空间向量,所以可以把它作为一个思维拓展来学习.
求体积
求体积时我们需要找合理的高和底面,带入体积公式,当然有时候我们无法直接求解,需要进行一些转换,通常有四种解法:直接转化法、顶点转移法、割补法和同底缩放法.具体看下面例题,要在解题过程中慢慢总结出自己的方法.
方法一:直接转化法
直接转化法:证明或者找到一组线面垂直关系,选择线面垂直的线作为高,线面垂直的面作为底,带入锥体体积公式求解.
【例1】如下图所示,在四棱锥中,底面为正方形,平面平面,点为的中点.
(1)求证:平面.
(2)求四棱锥的体积.
【例2】如下图所示,在三棱锥中,平面平面为等边三角形,且,点,点分别为的中点.
(1)求证:平面平面.
(2)求三棱锥的体积.
【例3】如右图所示,在四棱锥的底面四边形中,,在中,,平面平面.
(1)证明:平面.
(2)若为线段的中点,求三棱锥的体积.
方法二:顶点转移法
顶点转移法:
第一步:找线面平行或面面平行.在求锥体体积时,找到与底面平行的直线或者平面,该直线或者平面包含着顶点.
第二步:顶点转移.利用线面平行或者面面平行距离相等的性质实现顶点转移,从而得到可直接求解的高线.
第三步:带入体积公式.求出底面积,求出高线,代入体积公式,即可求出锥体体积.
【例1】如下图所示,在六面体中,四边形是边长为4的正方形,,平面平面.求三棱锥的体积.
方法三:割补法
割补法:若所求几何体的体积不容易直接求解出来,就通过切割组合的方式,先分别求出标准几何体体积,然后再通过组合切割的方式求解.
【例1】如下图所示,四棱锥中,底面,点,点分别为的中点,.求三棱锥的体积.
【例2】如下图所示,已知四边形和均为平行四边形,点在平面内的射影恰好为点,以为直径的圆经过点的中点为点的中点为点,且.
(1)求证:平面平面.
(2)求几何体的体积。
【例3】如下图所示,四棱锥的侧面是正三角形,,且,点是的中点.
(1)求证:平面.
(2)若平面平面,且,求多面体的体积.

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