资源简介

第20讲 取值范围问题的解法
这一节主要讲解解析几何的范围问题,相对于前一讲最值问题来说难度加大,但和最值问题的解题思路很像,解题的核心思路是:构建所求几何量的含参一元函数,形如,并且进一步找到自变量范围,进而求出值域,即所求几何量的范围,常见的函数有:
①二次函数;②"对勾函数";③反比例函数;④分式函数.若出现非常规函数,则可考虑通过换元“化归”为常规函数,或者利用导数进行解决.这里找自变量的取值范围在或者换元的过程中产生.除此之外,在找自变量取值范围时,还可以从以下几个方面考虑:
①利用判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
②利用已知参数的范围,求出新参数的范围,解题的关键是建立两个参数之间的等量关系.
③利用基本不等式求出参数的取值范围.
④利用函数值域的求法,确定参数的取值范围.
弦长的取值范围
【例1】若为圆的任意一条切线,与椭圆交于两点,,求的取值范围.
【解析】设直线方程为:.直线为圆的切线,
联立直线与椭圆方程得.,由韦达定理得
弦长.令,
【例2】过点的直线交椭圆于两点,为椭圆上一点,为坐标原点,且满足,其中,求的取值范围.
【解析】设直线的方程为:,,将该直线方程与椭圆方程联立得,设,
设.,有,
,把点坐标代入椭圆方程中得
简得,而,
,
.
令..
,
当的最大值为.当时,.
,
的取值范围为.
【例3】已知是椭圆的两个焦点,为坐标原点,点,在椭圆上,且是以为直径的圆,直线与相切,并且与椭圆交于不同的两点.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)当,且满足时,求弦长的取值范围。
【解析】(1)由得,可得,将点代入椭圆方程得
又,与上式联立解得,故椭圆标准方程为.
(2)直线与相切,则由得
直线与椭圆交于不同的两,点.设,
.
.
设,则.
在上单调递增,
.
弦长的取值范围为.
三角形面积的取值范围
【例1】如下图所示,已知椭圆左、右焦点分别为为椭圆上任意一点,过的直线与椭圆交于两点,点在线段上,且,点关于原点对称的点为点,求面积的取值范围.
【解析】由题意,,设,,则,
由题意可知,,
联立,整理得.
由根与系数的关系得,.
.
令,
则,
在上是增函数,
.
面积的取值范围为.
【例2】设直线与椭圆相交于不同的两点为线段的中点,为坐标原点,射线与椭圆相交于点,且点在以为直径的圆上.记的面积分别为,求的取值范围.
【解析】为线段的中点,.
(1)当直线的斜率不存在时,
由及椭圆的对称性,不妨设所在直线的方程为,得.
则.
(2)当直线的斜率存在时,设直线:.
联立,消去,得.
,即.
化简得经检验满足成立.
.
时,射线所在的直线方程为.
联立,
消去得.
.
,
.
综上,的取值范围为.
四边形面积的取值范围
【例1】已知椭圆的离心率为是椭圆的左、右焦点,是椭圆上一点,的最小值为2.
(1)求椭圆的方程.
(2)过点且与轴不重合的直线交椭圆于两点,圆是以为圆心椭圆的长轴长为半径的圆,过且与垂直的直线与圆交于两点,求四边形面积的取值范围.
【解析】(1)已知的最小值为,又,
解得粗圆方程为.
(2)①当与轴不垂直时,设的方程为,.
联立得,由韦达定理得,
设过点且与垂直的直线:到的距离为,
四边形的面积.
可得当与轴不垂直时,
四边形面积的取值范围为
②当与轴垂直时,其方程为,,四边形的面积为12.
综上,四边形面积的取值范围为.
【例2】已知椭圆0)的焦距为4,左、右焦点分别为,且与抛物线的交点所在的直线经过.
(1)求粗圆的方程.
(2)分别过作平行直线,若直线与交于两点,与拋物线无公共点,直线与交于两点,其中点在轴上方,求四边形的面积的取值范围.
【解析】(1)依题意得,则,
.
椭圆与拋物线的一个交点为.
于是,从而.
又,解得.
椭圆的方程为.
(2)依题意,直线的斜率不为0,设直线,
联立,消去得,由得.
联立,消去得
则
与间的距离(即点到的距离),
由椭圆的对称性知,四边形为平行四边形,
四边形的面积的取值范围为.
向量点积的取值范围
【例1】设直线与椭圆:交于两点,为坐标原点,若,求的取值范围.
【解析】设.
联立得,
,即
【例2】直线与椭圆交于不同的两点若存在点，使得四边形为平行四边形(为坐标原点),求的取值范围.
【解析】联立得.
与交于不同的两点,解得.
存在点,使得四边形为平行四边形,
设,则
参数的取值范围
【例1】过点的直线交椭圆于不同的两点(在之间),且满足,求的取值范围.
【解析】(1)当直线的斜率不存在时,即直线,此时,
由解得.
(2)当直线的斜率存在时,设直线:.
递增,
即,解得.
综上所述,的取值范围是.
【例2】设椭圆的左顶点为,右顶点为,设过点的直线与椭圆交于点,且点在第一象限,点关于轴对称点为点,直线与直线交于点,若直线斜率大于,求直线的斜率的取值范围.
【解析】设其中,则.由题意得.
则直线为:,直线为:.
联立得,
即.
【例3】若过点的直线与椭圆:交于不同的两点,且与圆没有公共点,设为椭圆上一点,满足(为坐标原点),求实数的取值范围.
【解析】由题意可知直线斜率不为0,设直线.
联立得.
由得.
设,
由韦达定理得.
.
.
点在椭圆上,,得.①
直线与圆没有公共点,则,②.
由①②可得,.
【例4】已知椭圆的一个顶点为,设椭圆与直线相交于不同的两点,当时,求的取值范围.
【解析】设,为弦的中点,联立得.
因直线与椭圆相交,故 ,
即①，
故,..
又,
,则,
即.②
把上式代入①式得解得.
由②式得解得.第20讲 取值范围问题的解法
这一节主要讲解解析几何的范围问题,相对于前一讲最值问题来说难度加大,但和最值问题的解题思路很像,解题的核心思路是:构建所求几何量的含参一元函数,形如,并且进一步找到自变量范围,进而求出值域,即所求几何量的范围,常见的函数有:
①二次函数;②"对勾函数";③反比例函数;④分式函数.若出现非常规函数,则可考虑通过换元“化归”为常规函数,或者利用导数进行解决.这里找自变量的取值范围在或者换元的过程中产生.除此之外,在找自变量取值范围时,还可以从以下几个方面考虑:
①利用判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
②利用已知参数的范围,求出新参数的范围,解题的关键是建立两个参数之间的等量关系.
③利用基本不等式求出参数的取值范围.
④利用函数值域的求法,确定参数的取值范围.
弦长的取值范围
【例1】若为圆的任意一条切线,与椭圆交于两点,,求的取值范围.
【例2】过点的直线交椭圆于两点,为椭圆上一点,为坐标原点,且满足,其中,求的取值范围.
【例3】已知是椭圆的两个焦点,为坐标原点,点,在椭圆上,且是以为直径的圆,直线与相切,并且与椭圆交于不同的两点.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)当,且满足时,求弦长的取值范围。
三角形面积的取值范围
【例1】如下图所示,已知椭圆左、右焦点分别为为椭圆上任意一点,过的直线与椭圆交于两点,点在线段上,且,点关于原点对称的点为点,求面积的取值范围.
【例2】设直线与椭圆相交于不同的两点为线段的中点,为坐标原点,射线与椭圆相交于点,且点在以为直径的圆上.记的面积分别为,求的取值范围.
四边形面积的取值范围
【例1】已知椭圆的离心率为是椭圆的左、右焦点,是椭圆上一点,的最小值为2.
(1)求椭圆的方程.
(2)过点且与轴不重合的直线交椭圆于两点,圆是以为圆心椭圆的长轴长为半径的圆,过且与垂直的直线与圆交于两点,求四边形面积的取值范围.
【例2】已知椭圆0)的焦距为4,左、右焦点分别为,且与抛物线的交点所在的直线经过.
(1)求粗圆的方程.
(2)分别过作平行直线,若直线与交于两点,与拋物线无公共点,直线与交于两点,其中点在轴上方,求四边形的面积的取值范围.
向量点积的取值范围
【例1】设直线与椭圆:交于两点,为坐标原点,若,求的取值范围.
【例2】直线与椭圆交于不同的两点若存在点，使得四边形为平行四边形(为坐标原点),求的取值范围.
参数的取值范围
【例1】过点的直线交椭圆于不同的两点(在之间),且满足,求的取值范围.
【例2】设椭圆的左顶点为,右顶点为,设过点的直线与椭圆交于点,且点在第一象限,点关于轴对称点为点,直线与直线交于点,若直线斜率大于,求直线的斜率的取值范围.
【例3】若过点的直线与椭圆:交于不同的两点,且与圆没有公共点,设为椭圆上一点,满足(为坐标原点),求实数的取值范围.
【例4】已知椭圆的一个顶点为,设椭圆与直线相交于不同的两点,当时,求的取值范围.

展开更多......

收起↑