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第16讲 解析几何解题总思路
作为解析析几何的开篇,本章会对解析几何的总体解题思路做一个概述,这一节内容综合性很强,读者第一次没看懂也没关系,学习是一个反复的过程,“书读百遍,其义自见”.
首先读者需要明白的第一个问题就是:什么是解析几何 顾名思义,解析几何就是利用解析式(方程)来解决几何问题,几何问题包括位置关系、线段长度、面积、角度等基础问题,还包括最值、范围、定点、定值等问题、
根据解析几何定义,我们可以看到,解析式只是作为一个工具,而真正的核心还是几何,在解决这些几何问题时,我们的核心思路是:几何和解析式之间的相互转换.一方面需要把给出的几何条件翻译成解析式,例如,,或者要把给出的解析式还原成几何条件,例如:是平行四边形.另一方面需要把待解决的几何问题转化为解析式,例如:证明点在以为直径的图内,要转换为证明.
在解决解析几何问题时,我们的核心思路是：
第一步:引参.引人参数设直线方程,分三种情况:(1)若题设条件中已知点,,则引人斜率参数,设点斜式直线式方程:;(2)若题设条件中已知斜率,点不固定,则引入截距参数,设斜截式直线方程:;(3)若题设中只说是动直线,则引人参数和,设斜截式直线方程:
第二步:联立方程.把所设直线方程与曲线方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.
第三步:求解判别式.计算一元二次方程的根的判别式.
第四步:写出根之间的关系.设交点为,得到根与系数的关系:.
第五步:凑韦达,整体代换.根据题设条件和求解的问题,去凑出韦达定理,进而可以整体代换,这个过程把第一步引入的参数实现了转移.
第六步:消参.把第一步设出来的参数最终消掉(最值范围问题可以不用消完),消参的方式有等式带人消参、因式相减消参、分式相除消参、因式无关消参等方式,具体方法在第7章的和中进行讲解.
注意:以上是解题的大体思路,大家可以不按这个顺序,核心就是三步:(1)引参.(2)凑韦达.(3)消参.
以上就是我们解析几何的一个大体解题思路,其中最核心的就是“设而不求,整体代换”,也就是去凑韦达定理,韦达定理是用二次方程的系数运算来表示两个根的和、积与系数的关系(后面简称“根与系数的关系”),其在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个:一是联立方程,消元后的二次方程通常含有参数,进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂,难以参与后面的运算;二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系进而在思路上就想利用韦达定理,绕开繁杂的求根结果,通过整体代人的方式得到答案.这里需要说明的是,所谓凑韦达不仅指凑出根的和、积,凑出根的差、商也是可以的,如,,也就是说得到两根的加、减、乘、除关系都可以算是凑韦达,从而实现整体代换.下面的例子就是凑出根的商的形式,我们通过下面这个例子来讲解解析几何问题求解的一般思路.
【例】 在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且在所有过焦点的弦中,弦长的最小值为.
(1)求椭圆方程.
(2)若过点的直线与粗圆交于不同的两点(点在之间),求三角形与三角形的面积比值的范围.
【解析】 (1).
.
由椭圆性质可得,焦点弦的最小值为.
.
的方程为.
(2)设直线,点,(直线过定点,所以引入斜率参数).
.
(凑韦达,这里是两根相除的形式).联立直线方程与椭圆方程:
(得判别式)
(整体代换,实现参数转移).
设,所解不等式为
虽然凑韦达是整个解析几何的核心,但也并不是所有解析几何的问题都需要凑出韦达来求解.例如,直线过原点,或者直线过曲线上的定点都是可以直接求出坐标点的,或者所求的问题与两根的和、积无关,这时候韦达定理豪无用武之地.
第 17讲 求轨迹方程的五种方法
求轨迹方程是解析几何最基本的问题,通常放在第一问,相对比较简单,如果放在第二问来考查,则通常用参数法.对于求轨迹方程,我们要明确的是求动点的轨迹方程.其最终目的是求出动点坐标的无参等式,即或者极坐标下.我们常用的有五种方法:待定系数法、定义法、相关点法、直接法、参数法,其一般解题步骤如下.
(1)建系:建立直角坐标系.
(2)设点:将所求动点坐标设为,同时将其他相关点坐标化(末知的暂用参数表示).
(3)列式:从已知条件中发掘的关系,列出方程.
(4)化简:将方程进行变形化简,并求出的范围.
方法一:待定系数法
题设条件:题目中明确给出所求曲线方程的形式.
思路:只需设含有参数的曲线方程,根据条件,列出关于参数的方程组,解出参数,即可得到曲线方程及其待求参数.
(1)直线:.
(2)圆:或者.
(3)椭圆标准方程:(或,由焦点所在的轴决定，
椭圆方程通式:.
(4)双曲线标准方程:,或,由焦点所在的轴决定.
双曲线方程通式:.
(5)抛物线标准方程:.
抛物线方程通式:.
【例1】已知圆经过两点,且被直线截得的线段长为.求圆的方程.
【解析】 设圆的方程为.
点在圆上,将两点坐标代入得.
又由已知,联立得
.
解得.
由韦达定理知:.
由已知有,即
,
即,整理得.
则或者.
所求圆的方程为:或.
【例2】在平面直角坐标系中,椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,点和点为椭圆上两点,求椭圆的标准方程.
【解析】 根据题意,设椭圆的方程为,
点和点为梢圆上两点,将点的坐标代入方程联立得
【解析】得.
椭圆的标准方程为.
【例3】已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别为和,在椭圆上有一点满足,且的面积为2,求椭圆的方程.
【解析】
由椭圆的定义得,
.
,
解得.
椭圆的方程为.
【例4】 椭圆的上顶点为是上的一点,以为直径的圆经过椭圆的右焦点,求椭圆的方程.
【解析】 由题意知,.
为直径的圆经过,
.
.
.
.
将点代入椭圆方程得
.
.
椭圆的方程为.
方法二:定义法
定义法:如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,根据定义,可先设出轨迹方程,再根据已知条件,待定方程中的参数,即可得到轨迹方程.
常见的曲线定义及特征待求参数有:
(1)圆:平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹,或直角圆,即若,则点在以为直径的圆上.
确定方程的参数:圆心坐标,半径.
(2)椭圆:平面上到两个定点(关于坐标轴对称)的距离之和为常数(常数大于定点距离)的点的轨迹.
确定方程的参数:到两个定点的距离之和为,两个定点间的距离为.
(3)双曲线:平面上到两个定点(关于坐标轴对称)的距离之差的绝对值为常数(小于定点距离)的点的轨迹.
注意:若只是到两定点的距离之差为常数(小于定点距离),则为双曲线的一支.
确定方程的参数:到两个定点的距离之差的绝对值为,两个定点间的距离.
(4)拋物线:平面上到一定点的距离与到一定直线的距离(定点在定直线外)相等的点的轨迹.
确定方程的参数:焦准距.若曲线位置位于标准位置(即标准方程的曲线),则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程.
【例1】已知动圆过定点且与圆相切,记动圆圆心的轨迹为曲线,求曲线的方程.
【解析】设动圆的半径为,
根据已知,点在圆内,则有.
.
的轨迹是以为焦点,长轴长为4的椭圆.
设曲线的方程为0),则,,故曲线的轨迹方程为.
【例2】已知圆的方程为,圆的方程为,若动圆与圆内切与圆外切,求动圆圆心的轨迹的方程.
【解析】 设动圆的半径为,
动圆与圆内切,与圆外切,
,且.
,
.
动圆圆心的轨迹是以为焦点,长轴长为的椭圆,.
.
故动圆圆心的轨迹的方程为.
【例3】已知圆的圆心为,点是圆上的动点,点,线段的垂直平分线交于点,求点的轨迹的方程.
【解析】 (1)由题意知,线段的垂直平分线交于点,
.
.
点在以为焦点,长轴长为4的椭圆上,
.
点的轨迹的方程为.
【例4】 在平面内,已知点,动点到点的距离比到轴的距离大2,求动点的轨迹的方程.
【解析】动点到点的距离比到轴的距离大2,
动点到点的距离等于到直线的距离.
当动点的纵坐标为非负数时,点的轨迹是以点为焦点的抛物线,
曲线的方程为.
当动点的纵坐标为负数时,点的轨迹方程是.
【例5】已知一动圆与定圆外切,且与直线相切,记动点的轨迹为曲线,求曲线的方程.
【解析】 设圆的圆心为,动圆的半径为.
由动圆与定圆外切可知,.
又动圆与直线相切,
点到直线的距离为.
点到直线的距离等于点到定点.的距离.
点的轨迹是以为焦点的拋物线,其方程为.
曲线的方程为.
【例6】已知动圆过点并且与圆外切,动圆圆心的轨迹为,求曲线的轨迹方程.
【解析】
方法三:相关点法
相关点法:若所求点与某已知曲线方程上的一点存在某种相关关系,则可根据相关关系用表示出,即,然后代人到所在的曲线方程中,即可得到关于的方程.
【例1】已知圆,点为圆上的动点,轴,垂足为,若,设点的轨迹为曲线,求曲线的方程.
【解析】 设,则点坐标为,
点为圆上的点,.
曲线的方程为.
【例2】已知线段的端点的坐标是,端点在圆4上运动,求线段的中点的轨迹的方程.
【解析】 点的坐标为,点的坐标为,由于点的坐标为,且点是线段的中点,
于是有.
点在圆上运动,
点的坐标满足方程
即.
把(1)式代入(2)式得
.
整理得.
点的轨迹的方程为.
方法四:直接法
直接法:如果难以判断动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义,但点满足的等量关系容易建立,则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系,再用点的坐标表示该等量关系式,即可得到轨迹方程.
【例1】已知在中,点的坐标分别是,动点满足,求动点的轨迹方程.
【解析】 设动点的坐标为,
则,
.
,
.
化简得,
即动点的轨迹方程为
【例2】已知点,圆,过点的动直线与圆交于两点,线段的中点为点为坐标原点,求点的轨迹方程.
【解析】 圆的方程可化为,
圆的圆心为,半径为4.
设,则.
由题设知,故,即.
点在圆的内部,
的轨迹方程是.
【例3】已知动圆过定点,且在轴上截得弦的长为4,求动圆圆心的轨迹的方程.
【解析】 设动圆圆心为点,由题可知
当点不在轴上,过点作交于点,则点是的中点.
.
.
化简得.
当在轴上时,动圆过定点,且在轴上截得弦的长为4,
与原点重合,即点也满足方程.
综上,动圆圆心的轨迹的方程为.
【例4】 已知圆上有一定点为圆内一点,为圆上的动点,若,求线段的中点的轨迹方程.
【解析】 设的中点为,
在Rt中,.
设点为坐标原点,伡接,则,
.
代入相应点的坐标得.
故线段的中点的轨迹方程为.
【例5】在平面直角坐标系中，的两个顶点的坐标分别为,平面内两点同时满足以下三个条件:
(1)是三条边中线的交点.(2)是的外心.(3).
求的顶点的轨迹方程.
【解析】 设,
是的外心，
.
在线段的中垂线上..
.
又是三条边中线的交点,
点是的重心心.
.
.
又,
,
化简得.
顶点的轨迹方程为.
方法五:参数法
参数法:从条件中无法直接找到的联系,但可通过一辅助变量,分别找到与的联系,从而得到和的方程:,即曲线的参数方程,消去参数后即可得到轨迹方程.
【例1】已知抛物线,过点的动直线与抛物线交于不同的两点,分别以为切点作抛物线的切线,直线交于点,求动点的轨迹方程.
【解析】
则以为切点的切线方程为,整理得,
同理,以为切点的切线为
联立方程,
解得.
设直线的方程为,
联立方程,
整理得.
恒成立.
由韦达定理得2,故直线的交点为.
的参数方数为(其中为参数).
消去参数可得点的轨迹方程为.
注意:本题可参看“8.5阿基米德三角形结论”一节快速解题.
【例2】若斜率为2的直线与椭圆交于两点,点为弦的中点,求点的轨迹方程.
【解析】 依题意,设斜率为2的弦所在直线的方程为点坐标为点坐标为,弦的中点的坐标为,联立方程,消去整理得,即,两式消掉,整理得.又因为弦的中点在椭圆内部,
.
点的轨迹方程为
.
注意:本题可参看“8.1弦中点结论”节快速解题.
【例3】为椭圆上异于点的两点,若直线与的斜率之和为0,求线段的中点的轨迹方程.
【解析】 设直线的斜率为直线的方程为,即.
与椭圆联立方程整理得
,
即,
点的横坐标为,纵坐标为,
即点的坐标为
.
直线与的斜率之和为,
直线的斜率为,
同理,用替换点的坐标得点的坐标,
点的坐标为.
点的参数方程为(其中为参数).
消去参数得点的轨迹方程. ,
联立方程,
解得.
. 点的轨迹方程.
【例4】若直线与椭圆交于两点,坐标原点在以为直径的圆上,于点,试求点的轨迹方程.
【解析】设.
(1)若轴,可设,因,则.
由得,即.若轴,可设,同理可得
(2)当直线的斜率存在且不为0时,设
联立方程，消去整理得.
则.
.
由,得.
故,即.①
由可知,直线的方程为
联立方程得
②
把②式代入①(1)式并化简得.
综合①式、②式可知,点的轨迹方程为.第16讲 解析几何解题总思路
作为解析析几何的开篇,本章会对解析几何的总体解题思路做一个概述,这一节内容综合性很强,读者第一次没看懂也没关系,学习是一个反复的过程,“书读百遍,其义自见”.
首先读者需要明白的第一个问题就是:什么是解析几何 顾名思义,解析几何就是利用解析式(方程)来解决几何问题,几何问题包括位置关系、线段长度、面积、角度等基础问题,还包括最值、范围、定点、定值等问题、
根据解析几何定义,我们可以看到,解析式只是作为一个工具,而真正的核心还是几何,在解决这些几何问题时,我们的核心思路是:几何和解析式之间的相互转换.一方面需要把给出的几何条件翻译成解析式,例如,,或者要把给出的解析式还原成几何条件,例如:是平行四边形.另一方面需要把待解决的几何问题转化为解析式,例如:证明点在以为直径的图内,要转换为证明.
在解决解析几何问题时,我们的核心思路是：
第一步:引参.引人参数设直线方程,分三种情况:(1)若题设条件中已知点,,则引人斜率参数,设点斜式直线式方程:;(2)若题设条件中已知斜率,点不固定,则引入截距参数,设斜截式直线方程:;(3)若题设中只说是动直线,则引人参数和,设斜截式直线方程:
第二步:联立方程.把所设直线方程与曲线方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.
第三步:求解判别式.计算一元二次方程的根的判别式.
第四步:写出根之间的关系.设交点为,得到根与系数的关系:.
第五步:凑韦达,整体代换.根据题设条件和求解的问题,去凑出韦达定理,进而可以整体代换,这个过程把第一步引入的参数实现了转移.
第六步:消参.把第一步设出来的参数最终消掉(最值范围问题可以不用消完),消参的方式有等式带人消参、因式相减消参、分式相除消参、因式无关消参等方式,具体方法在第7章的和中进行讲解.
注意:以上是解题的大体思路,大家可以不按这个顺序,核心就是三步:(1)引参.(2)凑韦达.(3)消参.
以上就是我们解析几何的一个大体解题思路,其中最核心的就是“设而不求,整体代换”,也就是去凑韦达定理,韦达定理是用二次方程的系数运算来表示两个根的和、积与系数的关系(后面简称“根与系数的关系”),其在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个:一是联立方程,消元后的二次方程通常含有参数,进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂,难以参与后面的运算;二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系进而在思路上就想利用韦达定理,绕开繁杂的求根结果,通过整体代人的方式得到答案.这里需要说明的是,所谓凑韦达不仅指凑出根的和、积,凑出根的差、商也是可以的,如,,也就是说得到两根的加、减、乘、除关系都可以算是凑韦达,从而实现整体代换.下面的例子就是凑出根的商的形式,我们通过下面这个例子来讲解解析几何问题求解的一般思路.
【例】 在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且在所有过焦点的弦中,弦长的最小值为.
(1)求椭圆方程.
(2)若过点的直线与粗圆交于不同的两点(点在之间),求三角形与三角形的面积比值的范围.
【解析】 (1).
.
由椭圆性质可得,焦点弦的最小值为.
.
的方程为.
(2)设直线,点,(直线过定点,所以引入斜率参数).
.
(凑韦达,这里是两根相除的形式).联立直线方程与椭圆方程:
(得判别式)
(整体代换,实现参数转移).
设,所解不等式为
虽然凑韦达是整个解析几何的核心,但也并不是所有解析几何的问题都需要凑出韦达来求解.例如,直线过原点,或者直线过曲线上的定点都是可以直接求出坐标点的,或者所求的问题与两根的和、积无关,这时候韦达定理豪无用武之地.
第 17讲 求轨迹方程的五种方法
求轨迹方程是解析几何最基本的问题,通常放在第一问,相对比较简单,如果放在第二问来考查,则通常用参数法.对于求轨迹方程,我们要明确的是求动点的轨迹方程.其最终目的是求出动点坐标的无参等式,即或者极坐标下.我们常用的有五种方法:待定系数法、定义法、相关点法、直接法、参数法,其一般解题步骤如下.
(1)建系:建立直角坐标系.
(2)设点:将所求动点坐标设为,同时将其他相关点坐标化(末知的暂用参数表示).
(3)列式:从已知条件中发掘的关系,列出方程.
(4)化简:将方程进行变形化简,并求出的范围.
方法一:待定系数法
题设条件:题目中明确给出所求曲线方程的形式.
思路:只需设含有参数的曲线方程,根据条件,列出关于参数的方程组,解出参数,即可得到曲线方程及其待求参数.
(1)直线:.
(2)圆:或者.
(3)椭圆标准方程:(或,由焦点所在的轴决定，
椭圆方程通式:.
(4)双曲线标准方程:,或,由焦点所在的轴决定.
双曲线方程通式:.
(5)抛物线标准方程:.
抛物线方程通式:.
【例1】已知圆经过两点,且被直线截得的线段长为.求圆的方程.
【解析】 设圆的方程为.
点在圆上,将两点坐标代入得.
又由已知,联立得
.
解得.
由韦达定理知:.
由已知有,即
,
即,整理得.
则或者.
所求圆的方程为:或.
【例2】在平面直角坐标系中,椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,点和点为椭圆上两点,求椭圆的标准方程.
【解析】 根据题意,设椭圆的方程为,
点和点为梢圆上两点,将点的坐标代入方程联立得
【解析】得.
椭圆的标准方程为.
【例3】已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别为和,在椭圆上有一点满足,且的面积为2,求椭圆的方程.
【解析】
由椭圆的定义得,
.
,
解得.
椭圆的方程为.
【例4】 椭圆的上顶点为是上的一点,以为直径的圆经过椭圆的右焦点,求椭圆的方程.
【解析】 由题意知,.
为直径的圆经过,
.
.
.
.
将点代入椭圆方程得
.
.
椭圆的方程为.
方法二:定义法
定义法:如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,根据定义,可先设出轨迹方程,再根据已知条件,待定方程中的参数,即可得到轨迹方程.
常见的曲线定义及特征待求参数有:
(1)圆:平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹,或直角圆,即若,则点在以为直径的圆上.
确定方程的参数:圆心坐标,半径.
(2)椭圆:平面上到两个定点(关于坐标轴对称)的距离之和为常数(常数大于定点距离)的点的轨迹.
确定方程的参数:到两个定点的距离之和为,两个定点间的距离为.
(3)双曲线:平面上到两个定点(关于坐标轴对称)的距离之差的绝对值为常数(小于定点距离)的点的轨迹.
注意:若只是到两定点的距离之差为常数(小于定点距离),则为双曲线的一支.
确定方程的参数:到两个定点的距离之差的绝对值为,两个定点间的距离.
(4)拋物线:平面上到一定点的距离与到一定直线的距离(定点在定直线外)相等的点的轨迹.
确定方程的参数:焦准距.若曲线位置位于标准位置(即标准方程的曲线),则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程.
【例1】已知动圆过定点且与圆相切,记动圆圆心的轨迹为曲线,求曲线的方程.
【解析】设动圆的半径为,
根据已知,点在圆内,则有.
.
的轨迹是以为焦点,长轴长为4的椭圆.
设曲线的方程为0),则,,故曲线的轨迹方程为.
【例2】已知圆的方程为,圆的方程为,若动圆与圆内切与圆外切,求动圆圆心的轨迹的方程.
【解析】 设动圆的半径为,
动圆与圆内切,与圆外切,
,且.
,
.
动圆圆心的轨迹是以为焦点,长轴长为的椭圆,.
.
故动圆圆心的轨迹的方程为.
【例3】已知圆的圆心为,点是圆上的动点,点,线段的垂直平分线交于点,求点的轨迹的方程.
【解析】 (1)由题意知,线段的垂直平分线交于点,
.
.
点在以为焦点,长轴长为4的椭圆上,
.
点的轨迹的方程为.
【例4】 在平面内,已知点,动点到点的距离比到轴的距离大2,求动点的轨迹的方程.
【解析】动点到点的距离比到轴的距离大2,
动点到点的距离等于到直线的距离.
当动点的纵坐标为非负数时,点的轨迹是以点为焦点的抛物线,
曲线的方程为.
当动点的纵坐标为负数时,点的轨迹方程是.
【例5】已知一动圆与定圆外切,且与直线相切,记动点的轨迹为曲线,求曲线的方程.
【解析】 设圆的圆心为,动圆的半径为.
由动圆与定圆外切可知,.
又动圆与直线相切,
点到直线的距离为.
点到直线的距离等于点到定点.的距离.
点的轨迹是以为焦点的拋物线,其方程为.
曲线的方程为.
【例6】已知动圆过点并且与圆外切,动圆圆心的轨迹为,求曲线的轨迹方程.
【解析】
方法三:相关点法
相关点法:若所求点与某已知曲线方程上的一点存在某种相关关系,则可根据相关关系用表示出,即,然后代人到所在的曲线方程中,即可得到关于的方程.
【例1】已知圆,点为圆上的动点,轴,垂足为,若,设点的轨迹为曲线,求曲线的方程.
【解析】 设,则点坐标为,
点为圆上的点,.
曲线的方程为.
【例2】已知线段的端点的坐标是,端点在圆4上运动,求线段的中点的轨迹的方程.
【解析】 点的坐标为,点的坐标为,由于点的坐标为,且点是线段的中点,
于是有.
点在圆上运动,
点的坐标满足方程
即.
把(1)式代入(2)式得
.
整理得.
点的轨迹的方程为.
方法四:直接法
直接法:如果难以判断动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义,但点满足的等量关系容易建立,则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系,再用点的坐标表示该等量关系式,即可得到轨迹方程.
【例1】已知在中,点的坐标分别是,动点满足,求动点的轨迹方程.
【解析】 设动点的坐标为,
则,
.
,
.
化简得,
即动点的轨迹方程为
【例2】已知点,圆,过点的动直线与圆交于两点,线段的中点为点为坐标原点,求点的轨迹方程.
【解析】 圆的方程可化为,
圆的圆心为,半径为4.
设,则.
由题设知,故,即.
点在圆的内部,
的轨迹方程是.
【例3】已知动圆过定点,且在轴上截得弦的长为4,求动圆圆心的轨迹的方程.
【解析】 设动圆圆心为点,由题可知
当点不在轴上,过点作交于点,则点是的中点.
.
.
化简得.
当在轴上时,动圆过定点,且在轴上截得弦的长为4,
与原点重合,即点也满足方程.
综上,动圆圆心的轨迹的方程为.
【例4】 已知圆上有一定点为圆内一点,为圆上的动点,若,求线段的中点的轨迹方程.
【解析】 设的中点为,
在Rt中,.
设点为坐标原点,伡接,则,
.
代入相应点的坐标得.
故线段的中点的轨迹方程为.
【例5】在平面直角坐标系中，的两个顶点的坐标分别为,平面内两点同时满足以下三个条件:
(1)是三条边中线的交点.(2)是的外心.(3).
求的顶点的轨迹方程.
【解析】 设,
是的外心，
.
在线段的中垂线上..
.
又是三条边中线的交点,
点是的重心心.
.
.
又,
,
化简得.
顶点的轨迹方程为.
方法五:参数法
参数法:从条件中无法直接找到的联系,但可通过一辅助变量,分别找到与的联系,从而得到和的方程:,即曲线的参数方程,消去参数后即可得到轨迹方程.
【例1】已知抛物线,过点的动直线与抛物线交于不同的两点,分别以为切点作抛物线的切线,直线交于点,求动点的轨迹方程.
【解析】
则以为切点的切线方程为,整理得,
同理,以为切点的切线为
联立方程,
解得.
设直线的方程为,
联立方程,
整理得.
恒成立.
由韦达定理得2,故直线的交点为.
的参数方数为(其中为参数).
消去参数可得点的轨迹方程为.
注意:本题可参看“8.5阿基米德三角形结论”一节快速解题.
【例2】若斜率为2的直线与椭圆交于两点,点为弦的中点,求点的轨迹方程.
【解析】 依题意,设斜率为2的弦所在直线的方程为点坐标为点坐标为,弦的中点的坐标为,联立方程,消去整理得,即,两式消掉,整理得.又因为弦的中点在椭圆内部,
.
点的轨迹方程为
.
注意:本题可参看“8.1弦中点结论”节快速解题.
【例3】为椭圆上异于点的两点,若直线与的斜率之和为0,求线段的中点的轨迹方程.
【解析】 设直线的斜率为直线的方程为,即.
与椭圆联立方程整理得
,
即,
点的横坐标为,纵坐标为,
即点的坐标为
.
直线与的斜率之和为,
直线的斜率为,
同理,用替换点的坐标得点的坐标,
点的坐标为.
点的参数方程为(其中为参数).
消去参数得点的轨迹方程. ,
联立方程,
解得.
. 点的轨迹方程.
【例4】若直线与椭圆交于两点,坐标原点在以为直径的圆上,于点,试求点的轨迹方程.
【解析】设.
(1)若轴,可设,因,则.
由得,即.若轴,可设,同理可得
(2)当直线的斜率存在且不为0时,设
联立方程，消去整理得.
则.
.
由,得.
故,即.①
由可知,直线的方程为
联立方程得
②
把②式代入①(1)式并化简得.
综合①式、②式可知,点的轨迹方程为.

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