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第 13讲 极径的几何意义
（1）仰角和俯角.
在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫作仰角,在水平线下方的角叫作俯角(图45.1).
（2）方位角.
从正北方向线顺时针转到目标方向线形成的角叫作方位角(如图所示,点的方位角为).
该题型考查正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的应用;考查对实际问题的理解能力与运算求解能力;考查数形结合思想、函数与方程思想以及转化与化归思想;考查的核心素养是数学运算与数学建模.
对于极坐标来说,我们需要重点记住极坐标和直角坐标的互化公式,.
极坐标相关题目的核心在于理解极径的几何意义,即圆雉曲线上的点到极点的距离,,这也是极坐标的一个重要用途,即用来解决与极点相关的两类问题.
1.线段长度问题:||.
2.面积问题: .
线段相减求值
【例1】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的参数方程为(其中为参数),曲线(其中为参数).
(1)求直线及曲线的极坐标方程.
(2)若曲线与直线和曲线分别交于异于极点的两点,求的值.
【解析】(1)直线的参数方程为(其中为参数),消去参数得直线的一般方程:,
直线的极坐标方程为.
曲线(其中为参数)消去参数得曲线的标准方程:,
曲线的极坐标方程为.
(2)将分别代入和.
【例2】在直角坐标系中,已知曲线的方程为,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,在极坐标系中,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程.
(2)设射线与曲线和曲线依次相交于两点,求的值.
【解析】(1)当以原点为极点,轴的正半轴为极轴,为极角时,
根据直角坐标与极坐标的互化公式,
则有,
的直角坐标方程为,等价于极坐标方程为,即曲线的极坐标方程为.曲线的极坐标方程为,即,整理得.曲线的直角坐标方程为.
(2)射线与曲线和曲线依次相交于两点,
根据题意作出如下图所示图像,即射线为,结合图像知或,
在上,
则,
即得,
或.
线段相加求值
【例1】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.,设为曲线上的两点,且,求的最大值.
【解析】 不妨设的坐标为的坐标为,
则,
.
当,即时,
存在最大值,最大值是.
【例2】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程.
(2)当时,设直线与曲线相交于两点,求的取值范围。
【解析】(1)曲线的参数方程为(其中为参数),
消去参数得,
即,
,
.
曲线的极坐标方程为
.
(2)将代入曲线的极坐标方程,得.
设点,点,则根据二元一次方形根与系数的关系得
.
.
,
.
.
的取值范围为.
线段相乘求值
【例1】在直角坐标系中,曲线的参数方程是(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程.
(2)在曲线上取一点,直线绕极点逆时针旋转,交曲线于点,求的最大值.
【解析】(1)根据参数方程(为参数),消去得曲线的直角坐标方程:.
的极坐标方程为,即.
(2)设,,
则
当时,取得最大值,最大值为.
【例2】在平面直角坐标系中,曲线的方程为,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程.
(2)设点在曲线上,直线交曲线于点,求的最小值.
【解析】(1)将代入得,
曲线的极坐标方程为.
曲线的方程可化为,其中,
即,得,
的直角坐标方程为.
(2)由(1)题及题设条件知,,其中,
,令.
,
.
.
.
,当且仅当,即时,等号成立.
的最小值为4.
线段相除求值
【例1】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程.
(2)若射线与曲线交于点(不同于极点),与直线交于点,求的最大值.
【解析】(1)由已知,曲线的参数方程:(其中为参数),
消去参数得曲线的直角坐标方程:,即.
由得曲线的极坐标方程为,即.
直线的极坐标方程为,
.
,
直线的直角坐标方程为.
(2)设点为,点为,
则,
由得,
.
的最大值为.
【例2】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程.
(2)射线与曲线和直线分别交于两点(异于极点,求的最大值.
【解析】(1)将曲线的参数方程变形为(其中为参数),
消去参数得,即,
曲线的极坐标方程为,即.
(2)设点为,点为,将点代入曲线的极坐标方程得
将点代入直线的极坐标方程得,
.
当时,即当时,取得最大值.
线段综合问题
【例1】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),曲线.以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线与曲线分别交于点(均异于极点.
(1)求曲线的极坐标方程.
(2)当时,求的取值范围。
【解析】(1)曲线的参数方程为,整理得,由得曲线的极坐标方程为
曲线,得曲线的极坐标方程为.
(2)设点对应的极径分别为.
联立与曲线的极坐标方程得,
联立与的极坐标方程得.
.
令,则.
由对勾函数性质知函数在上单调递增,
时,时,,即,
的取值范围为.
【例2】在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线和直线的直角坐标方程.
(2)过极点引一条射线分别交曲线和直线于两点,求的最大值.
【解析】(1)曲线的参数方程为(其中为参数),整理得
.
曲线的直角坐标方程为.
直线的极坐标方程为,整理得.
将代入上式,
得直线的直角坐标方程:.
(2)在极坐标系内,设点,,点,
则.
又,
(当且仅当时取等号,符合题意).
的最大值为.
【例3】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),直线与曲线交于两点.以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程.
(2)若,求.
【解析】(1)曲线的参数方程是(其中为参数),消去参数,可得曲线的直角坐标方程:.
将代入上式得曲线的极坐标方程为
整理得.
(2)设点,点,由可得.
由(1)题可知,
则
面积问题
【例1】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(其中为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程.
(2)已知是曲线上的任意两点,且.,求面积的最大值.
【解析】(1)消去参数,得到曲线的标准方程:,
.
.
.
故曲线的极坐标方程为.
(2)在极坐标系中,不妨设,,其中,.
由(1)题知.
设的面积为,
.
.
.
当时,有最大值1,此时.
面积的最大值为.
【例2】已知曲线的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程.
(2)若射线与曲线交于两点,与直线交于点,射线与曲线交于两点,求的面积.
【解析】(1)曲线的参数方程为(其中为参数),变形得.
曲线的极坐标方程为.直线的极坐标方程为,直线的直角坐标方程为.
(2)由(1)题知曲线的极坐标方程为:
联立射线、曲线及直线的极坐标方程得.
联立射线与曲线的极坐标方程可得.
【例3】在平面直角坐标系中,直线的方程为,圆的参数方程为(其中为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
(1)求的极坐标方程.
(2)设直线与圆异于极点的交点分别是,求的面积.
【解析】（1）得第 13讲 极径的几何意义
（1）仰角和俯角.
在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫作仰角,在水平线下方的角叫作俯角(图45.1).
（2）方位角.
从正北方向线顺时针转到目标方向线形成的角叫作方位角(如图所示,点的方位角为).
该题型考查正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的应用;考查对实际问题的理解能力与运算求解能力;考查数形结合思想、函数与方程思想以及转化与化归思想;考查的核心素养是数学运算与数学建模.
对于极坐标来说,我们需要重点记住极坐标和直角坐标的互化公式,.
极坐标相关题目的核心在于理解极径的几何意义,即圆雉曲线上的点到极点的距离,,这也是极坐标的一个重要用途,即用来解决与极点相关的两类问题.
1.线段长度问题:||.
2.面积问题: .
线段相减求值
【例1】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐
标系,直线的参数方程为(其中为参数),曲线(其中为参数).
(1)求直线及曲线的极坐标方程.
(2)若曲线与直线和曲线分别交于异于极点的两点,求的值.
【例2】在直角坐标系中,已知曲线的方程为,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,在极坐标系中,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程.
(2)设射线与曲线和曲线依次相交于两点,求的值.
线段相加求值
【例1】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.,设为曲线上的两点,且,求的最大值.
【例2】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程.
(2)当时,设直线与曲线相交于两点,求的取值范围。
线段相乘求值
【例1】在直角坐标系中,曲线的参数方程是(其中为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程.
(2)在曲线上取一点,直线绕极点逆时针旋转,交曲线于点,求的最大值.
【例2】在平面直角坐标系中,曲线的方程为,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程.
(2)设点在曲线上,直线交曲线于点,求的最小值.
线段相除求值
【例1】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程.
(2)若射线与曲线交于点(不同于极点),与直线交于点,求的最大值.
【例2】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程.
(2)射线与曲线和直线分别交于两点(异于极点,求的最大值.
线段综合问题
【例1】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),曲线.以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线与曲线分别交于点(均异于极点.
(1)求曲线的极坐标方程.
(2)当时,求的取值范围。
【例2】在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线和直线的直角坐标方程.
(2)过极点引一条射线分别交曲线和直线于两点,求的最大值.
【例3】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),直线与曲线交于两点.以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程.
(2)若,求.
面积问题
【例1】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(其中为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程.
(2)已知是曲线上的任意两点,且.,求面积的最大值.
【例2】已知曲线的参数方程为(其中为参数),以原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程.
(2)若射线与曲线交于两点,与直线交于点,射线与曲线交于两点,求的面积.
【例3】在平面直角坐标系中,直线的方程为,圆的参数方程为(其中为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
(1)求的极坐标方程.
(2)设直线与圆异于极点的交点分别是,求的面积.

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